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第1页1．2余弦定理第2页要点1余弦定理三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即：a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC．第3页要点2余弦定理的推论cosA＝b2＋c2－a22bc，cosB＝a2＋c2－b22ac，cosC＝a2＋b2－c22ab．第4页要点3余弦定理及勾股定理(1)若一个三角形两边的平方和大于第三边的平方，则第三边所对的角是锐角．(2)若一个三角形两边的平方和小于第三边的平方，则第三边所对的角是钝角．(3)若一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，则第三边所对的角是直角．第5页1．利用余弦定理求角的优势．答：求角时，一般用余弦定理来求，其原因是三角形中角的范围是(0，π)，在此范围内同一个正弦值一般对应两个角，一个锐角和一个钝角，即用正弦定理求出角的正弦值后，还需要分类讨论这两个角是否都满足题意．但是在(0，π)内一个余弦值仅对应一个角，用余弦定理求出的是角的余弦值，可以避免分类讨论．第6页2．如何选择正弦定理、余弦定理解三角形？答：由三角形的已知的边和角求未知的边和角的过程叫解三角形．解三角形可以分成以下四种类型：(1)已知两角及一边，解三角形．(先用正弦定理求出一边，再求其余边和角)；(2)已知两边及一边的对角，解三角形．(先用正弦定理求出另一边的对角．再用正弦定理或余弦定理求第三边)；第7页(3)已知两边及其夹角，解三角形．(先用余弦定理求出第三边，再用正弦定理或余弦定理求出另两角)；(4)已知三边，解三角形．(先用余弦定理的推论，求出一角，再用正弦定理求另外的角)．第8页3．在△ABC中，b＝3，c＝33，B＝30°，求a.能用余弦定理求解吗？第9页答：能．由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB.∴32＝a2＋(33)2－2×33acos30°.∴a2－9a＋18＝0，∴a＝3或a＝6.显然，此类题利用余弦定理较为简单．解一元二次方程时，若两根为正，则有两解，若有非正根，则舍去．第10页授人以渔第11页题型一已知两边和夹角解三角形例1在△ABC中，已知a＝2，b＝22，C＝15°，求A.【思路分析】本题主要考查余弦定理及其应用．思路一：可用余弦定理求边c，再用正弦定理求角A.思路二：可用余弦定理求边c，再用余弦定理的推论求角A.第12页【解析】方法一：∵cos15°＝cos(45°－30°)＝6＋24，sin15°＝sin(45°－30°)＝6－24，由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC＝4＋8－22×(6＋2)＝8－43.∴c＝6－2.又ba，∴BA.∴A为锐角．第13页由正弦定理，得sinA＝acsinC＝26－2×6－24＝12.∴A＝30°.方法二：∵cos15°＝cos(45°－30°)＝6＋24，sin15°＝sin(45°－30°)＝6－24.第14页由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC＝4＋8－22×(6＋2)＝8－43.∴c＝6－2.∴cosA＝b2＋c2－a22bc＝32.又0°A180°，∴A＝30°.第15页探究1本题是已知两边及夹角解三角形．用正弦定理求角时，必须注意讨论解的情况，结合三角形大边对大角的性质，由于三角形中至少有两个锐角，那么小边对的角一定是锐角．在解三角形问题时，应根据题目中给定的条件，灵活地选择正弦、余弦定理．第16页●思考题1在△ABC中，AB＝1，BC＝2，B＝60°，则AC＝________．【解析】AC＝AB2＋BC2－2AB×BCcosB＝3.【答案】3第17页题型二已知三边解三角形例2在△ABC中，已知a＝7，b＝3，c＝5，求最大角和sinC.第18页【解析】∵acb，∴A为最大角．由余弦定理的推论得cosA＝b2＋c2－a22bc＝32＋52－722×3×5＝－12.又∵0°A180°，∴A＝120°.∴sinA＝sin120°＝32.由正弦定理asinA＝csinC，得sinC＝csinAa＝5×327＝5314.∴最大角A为120°，sinC＝5314.第19页探究2(1)求sinC也可用下面方法：cosC＝a2＋b2－c22ab＝72＋32－522×7×3＝1114，∴C为锐角．sinC＝1－cos2C＝1－（1114）2＝5314.(2)在解三角形时，有时既可用余弦定理，也可用正弦定理．第20页●思考题2在△ABC中，三边长为连续的自然数，且最大角为钝角，求此三角形的三边长．第21页【解析】设a＝k，b＝k＋1，c＝k＋2.∵C90°，∴cosC0，∴a2＋b2c2.∴k2－2k－30，解得－1k3.又∵a＋bc，即k＋k＋1k＋2，∴k1，∴1k3.又∵k∈N*，∴k＝2.∴三角形的三边长分别为2，3，4.第22页题型三判断三角形的形状例3在△ABC中，cos2A2＝b＋c2c(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，判断△ABC的形状．第23页【解析】方法一：在△ABC中，∵cos2A2＝b＋c2c，∴1＋cosA2＝b2c＋12，∴cosA＝bc.又由余弦定理知cosA＝b2＋c2－a22bc，∴b2＋c2－a22bc＝bc，∴b2＋c2－a2＝2b2，∴a2＋b2＝c2.∴△ABC是以C为直角的直角三角形．第24页方法二：由方法一知：cosA＝bc，由正弦定理得bc＝sinBsinC，∴cosA＝sinBsinC.∴sinCcosA＝sinB＝sin[180°－(A＋C)]＝sinAcosC＋cosAsinC.∴sinAcosC＝0.∵A，C是△ABC的内角，∴sinA≠0.∴只有cosC＝0，∴C＝90°.∴△ABC是直角三角形．第25页探究3已知三角形中的边角关系式，判断三角形的形状，有两条思路：①化边为角，再进行三角恒等变换求出三个角之间的关系式；②化角为边，再进行代数恒等变换求出三条边之间的关系式．两种转化主要应用正弦定理和余弦定理．第26页●思考题3在△ABC中，已知(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，且2cosA·sinB＝sinC，试确定△ABC的形状．第27页【解析】方法一：(角化边)由正弦定理，得sinCsinB＝cb.由2cosA·sinB＝sinC，得cosA＝sinC2sinB＝c2b.又由余弦定理的推论，得cosA＝c2＋b2－a22bc.∴c2b＝c2＋b2－a22bc.第28页即c2＝b2＋c2－a2，∴a＝b.又∵(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，∴(a＋b)2－c2＝3b2.∴4b2－c2＝3b2，∴b＝c.∴a＝b＝c，∴△ABC为等边三角形．第29页方法二：(边化角)∵A＋B＋C＝180°，∴sinC＝sin(A＋B)．又∵2cosA·sinB＝sinC，∴2cosA·sinB＝sinA·cosB＋cosA·sinB.∴sin(A－B)＝0.又∵A与B均为△ABC的内角，∴A＝B.第30页又由(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，得(a＋b)2－c2＝3ab，a2＋b2－c2＋2ab＝3ab.即a2＋b2－c2＝ab，由余弦定理，得cosC＝12.而0°C180°，∴C＝60°.又∵A＝B，∴△ABC为等边三角形．第31页题型四综合问题例4已知周长l＝18，S△＝63，C＝60°，求a，b边．第32页【解析】∵周长l＝18，S△＝63，C＝60°，∴得a＋b＋c＝18，12absin60°＝63，c2＝a2＋b2－2abcos60°.(方程思想的应用)整理得a＋b＋c＝18，①ab＝24，②c2＝a2＋b2－ab，③第33页(从解这个方程组的过程中掌握方法)将②代入③，得c2＝a2＋b2－24.④①④联立：a＋b＋c＝18，①c2＝a2＋b2－24，④消去c，整理得：a＋b＝11.⑤由②⑤得a＝3，b＝8或a＝8，b＝3.第34页探究4余弦定理和正弦定理一样，都是围绕着三角形进行边角转换的，所以在有关三角形的题目中，要有意识的考虑用哪个定理更合适，还是两个定理都要用，要抓住两个定理应用的信息，一般地，如果遇到的式子含角的余弦或是边的二次式，要考虑用余弦定理；反之，若是遇到的式子含角的正弦和边的一次式，则大多用正弦定理，若是以上特征不明显，则要考虑两个定理都有可能用．第35页●思考题4已知a，b，c是△ABC中A，B，C的对边，S是△ABC的面积，若a＝4，b＝5，S＝53，求c的长度．【答案】21或61第36页例5在钝角△ABC中，B90°，a＝2x－5，b＝x＋1，c＝4，求x的取值范围．第37页【解析】因为B90°，所以A，C均为锐角．由题设应有：ba，bc，a＋cb，cosB＝a2＋c2－b22ac0，∴x＋12x－5，x＋14，2x－5＋4x＋1，（2x－5）2＋42－（x＋1）20第38页⇒x6，x3，x2，3x2－22x＋400⇒3x6，103x4⇒103x4.故x的取值范围是(103，4)．第39页探究5(1)解决本题的关键在于合理、充分地运用条件B90°.(2)在解斜三角形问题中，会经常用到除正、余弦定理外的其他知识，如：在△ABC中，设三内角A，B，C对应的三边分别为a，b，c，则有：第40页①A＋B＋C＝π；②a＋bc或a＋cb或b＋ca；③大角对大边，小角对小边；④特殊的条件恒等式：sinA＝sin(B＋C)，sinA2＝cosB＋C2等．第41页●思考题5已知钝角三角形的三边分别为x＋1，x＋2和x，则x的取值范围是________．【答案】(1，3)第42页课后巩固第43页1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，下列等式不成立的是()A．a2＝b2＋c2－2bccosAB．b2＝c2＋a2－2accosBC．cosA＝b2＋c2－a22bcD．cosC＝a2＋b2＋c22ab第44页答案D解析由余弦定理的推论，得cosC＝a2＋b2－c22ab，所以D不成立．第45页2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＋c2－b2＝3ac，则角B的值为()A.π6B.π3C.π6或5π6D.π3或2π3第46页答案A解析由a2＋c2－b2＝3ac联想到余弦定理cosB＝a2＋c2－b22ac＝32，∴B＝π6.第47页3．在△ABC中，a＝2，b＝5，c＝6，则cosB等于()A.58B.6524C.5760D．－720答案A解析cosB＝a2＋c2－b22ac＝58.第48页4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，当a2＋b2c2时，△ABC的形状是()A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．不确定第49页答案C解析cosC＝a2＋b2－c22ab0，则C是钝角，所以△ABC是钝角三角形．第50页5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A＝π3，b＝2c，则C＝________．答案π6第51页6．在△ABC中，B＝45°，AC＝10，AB＝2，试用余弦定理求BC边的长．第52页解析由余弦定理得AC2＝BC2＋AB2－2BC·ABcosB.又因为B＝45°，AC＝10，AB＝2，所以(10)2＝BC2＋22－2×BC×2×cos45°.整理，得BC2－22BC－6＝0.所以(BC－32)(BC＋2)＝0.解得BC＝32或BC＝－2(舍去)．所以BC的长为32.第53页