2019-2020学年高中数学 第2章 几个重要的不等式章末复习课课件 北师大版选修4-5

第二章几个重要的不等式章末复习课[自我校对]①一般形式的柯西不等式②排序不等式③逆序和④乱序和⑤原理⑥贝努利不等式柯西不等式的应用柯西不等式形式优美，结构易证，因此在解题时，根据题目特征，灵活运用柯西不等式，可证明一些简单不等式．【例1】已知a，b，c是实数，且a＋b＋c＝1，求证：13a＋1＋13b＋1＋13c＋1≤43.[精彩点拨]根据特征不等式的特点，可考虑用柯西不等式证明，但要先构造向量(1,1,1)，利用|m·n|2≤|m|2·|n|2证明．[自主解答]因为a，b，c是实数，且a＋b＋c＝1，令m＝(13a＋1，13b＋1，13c＋1)，n＝(1,1,1)．则|m·n|2＝(13a＋1＋13b＋1＋13c＋1)2，|m|2·|n|2＝3[(13a＋1)＋(13b＋1)＋(13c＋1)]＝3[13(a＋b＋c)＋3]＝48.∵|m·n|2≤|m|2·|n|2，∴(13a＋1＋13b＋1＋13c＋1)2≤48，∴13a＋1＋13b＋1＋13c＋1≤43.1．设a，b，x，y都是正数，且x＋y＝a＋b，求证：a2a＋x＋b2b＋y≥a＋b2.[证明]因为a，b，x，y都是正数，x＋y＝a＋b，由柯西不等式可知a2a＋x＋b2b＋y(a＋x＋b＋y)≥aa＋x·a＋x＋bb＋y·b＋y2＝(a＋b)2.又a＋x＋b＋y＝2(a＋b)．所以a2a＋x＋b2b＋y≥a＋b22a＋b＝a＋b2.利用排序不等式证明不等式应用排序不等式的技巧在于构造两个数组，而数组的构造应从需要入手来设计，这一点应从所要证的式子的结构观察分析，再给出适当的数组．【例2】已知a，b，c为正数，求证：a＋b＋c≤a2＋b22c＋b2＋c22a＋c2＋a22b.[精彩点拨]本题属于左3项右3项的类型，虽然a，b，c没有顺序，但可用顺序不等式证明，不妨先设a≥b≥c，再利用定理证明．[自主解答]由于不等式关于a，b，c对称，可设a≥b≥c0.于是a2≥b2≥c2，1c≥1b≥1a.由排序不等式，得a2·1a＋b2·1b＋c2·1c≤a2·1b＋b2·1c＋c2·1a，及a2·1a＋b2·1b＋c2·1c≤a2·1c＋b2·1a＋c2·1b.以上两个同向不等式相加再除以2，即得原式中的不等式．2．设a，b，c为某一个三角形的三条边，a≥b≥c，求证：(1)c(a＋b－c)≥b(c＋a－b)≥a(b＋c－a)；(2)a2(b＋c－a)＋b2(c＋a－b)＋c2(a＋b－c)≤3abc.[证明](1)用比较法：c(a＋b－c)－b(c＋a－b)＝ac＋bc－c2－bc－ab＋b2＝b2－c2＋ac－ab＝(b＋c)(b－c)－a(b－c)＝(b＋c－a)(b－c)．因为b≥c，b＋c－a≥0，于是c(a＋b－c)－b(c＋a－b)≥0，即c(a＋b－c)≥b(c＋a－b)．①同理可证b(c＋a－b)≥a(b＋c－a)．②综合①②，证毕．(2)由题设及(1)知a≥b≥c，a(b＋c－a)≤b(c＋a－b)≤c(a＋b－c)，于是由排序不等式“逆序和≤乱序和”得a2(b＋c－a)＋b2(c＋a－b)＋c2(a＋b－c)≤ab(b＋c－a)＋bc(c＋a－b)＋ca(a＋b－c)＝3abc＋ab(b－a)＋bc(c－b)＋ca(a－c)．③再一次由“逆序和≤乱序和”得a2(b＋c－a)＋b2(c＋a－b)＋c2(a＋b－c)≤ac(b＋c－a)＋ba(c＋a－b)＋cb(a＋b－c)＝3abc＋ac(c－a)＋ab(a－b)＋bc(b－c)．④将③和④相加再除以2，得a2(b＋c－a)＋b2(c＋a－b)＋c2(a＋b－c)≤3abc.利用柯西不等式求最值由于柯西不等式是求解含多个变量式子最值(除平均值不等式外)的一种重要方法，是某些求最值问题的唯一工具，应用的关键是根据题设条件，对目标函数进行配凑，以保证出现常数结果，同时，注意等号成立的条件．【例3】求实数x，y的值使得(y－1)2＋(x＋y－3)2＋(2x＋y－6)2达到最小值．[精彩点拨]根据x，y的系数适当构造形式求解，切忌等号成立的条件．[自主解答]由柯西不等式，得(12＋22＋12)×[(y－1)2＋(3－x－y)2＋(2x＋y－6)2]≥[1×(y－1)＋2×(3－x－y)＋1×(2x＋y－6)]2＝1，即(y－1)2＋(x＋y－3)2＋(2x＋y－6)2≥16，当且仅当y－11＝3－x－y2＝2x＋y－61，即x＝52，y＝56时，上式取等号．故所求x＝52，y＝56.3．已知x＋y＋z＝1，求2x2＋3y2＋z2的最小值．[解]由柯西不等式，得2x2＋3y2＋z2＝611(2x2＋3y2＋z2)·12＋13＋1≥6112x·22＋3y·33＋z·12＝611(x＋y＋z)2＝611，∴2x2＋3y2＋z2≥611.当且仅当2x22＝3y33＝z1，即x＝311，y＝211，z＝611时取等号．∴2x2＋3y2＋z2的最小值为611.数学归纳法与猜想证明探索性命题是近几年高考试题中经常出现的一种题型，此种问题未给出结论，需要从特殊情况入手，猜想，探索出结论，再对结论进行证明，主要是应用数学归纳法．【例4】已知f(n)＝1－2x2n＋1，g(n)＝n2－1n2＋1，当n≥4时，试比较f(2)与g(n)的大小，并说明理由．[精彩点拨]由f(n)与g(n)的关系，直接比较不容易，可先比较前n项，猜想出结论，再由数学归纳法证明．[自主解答]由f(2)＝1－222n＋1＝1－22n＋1，g(n)＝1－2n2＋1，∴要比较f(2)与g(n)的大小，只需比较2n与n2的大小．当n＝4时，24＝16＝42，当n＝5时，25＝3252＝25，当n＝6时，26＝6462＝36.故猜测当n≥5(n∈N＋)时，2nn2，下面用数学归纳法加以证明．(1)当n＝5时，命题显然成立．(2)假设n＝k(k≥5，且k∈N＋)时，不等式成立，即2kk2(k≥5)，则当n＝k＋1时，2k+1＝2·2k2·k2＝k2＋k2＋2k＋1－2k－1＝(k＋1)2＋(k－1)2－2(k＋1)2·(k－1)22.由(1)(2)可知，对一切n≥5，n∈N＋，2nn2成立．综上可知，当n＝4时，f(2)＝g(n)＝n2－1n2＋1；当n≥5时，f(2)g(n)．4．在数列{an}，{bn}中，a1＝2，b1＝4，且an，bn，an＋1成等差数列，bn，an＋1，bn＋1成等比数列(n∈N＋)．(1)求a2，a3，a4及b2，b3，b4，并猜想an，bn的表达式；(2)用数学归纳法证明你的猜想．[解](1)由条件可得2bn＝an＋an＋1，a2n＋1＝bnbn＋1，则a2＝2b1－a1＝6，b2＝a22b1＝9；a3＝2b2－a2＝12，b3＝a23b2＝16；a4＝2b3－a3＝20，b4＝a24b3＝25.猜想an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2.(2)证明：①当n＝1时，由a1＝2，b1＝4知结论正确．②假设当n＝k时结论正确，即ak＝k(k＋1)，bk＝(k＋1)2.则n＝k＋1时，ak＋1＝2bk－ak＝2(k＋1)2－k(k＋1)＝(k＋1)(k＋2)，bk＋1＝a2k＋1bk＝k＋12k＋22k＋12＝(k＋2)2.即n＝k＋1时结论正确．由①②知猜想的结论正确.数学思想方法解决数学问题时，常遇到一些问题直接求解较为困难，通过观察、分析、类比、联想等思维过程，选择运用恰当的数学方法进行变换，将原问题转化为一个新问题．本章常把要证明的不等式通过换元或恒等变形把命题转化为柯西不等式或排序不等式的形式加以解决．【例5】已知abc，求证：1a－b＋1b－c≥4a－c.[精彩点拨]构造柯西不等式的证明．[自主解答]∵a－c＝(a－b)＋(b－c)，∵ac，∴a－c0，∴(a－c)1a－b＋1b－c＝[(a－b)＋(b－c)]·1a－b＋1b－c≥(1＋1)2＝4，∴1a－b＋1b－c≥4a－c.5．设a，b，c为正数，且a＋b＋c＝1，求证：a＋1a2＋b＋1b2＋c＋1c2≥1003.[证明]∵左边＝13(12＋12＋12)·a＋1a2＋b＋1b2＋c＋1c2≥131×a＋1a＋1×b＋1b＋1×c＋1c2＝131＋1a＋1b＋1c2＝131＋a＋b＋c1a＋1b＋1c2≥13(1＋9)2＝1003，∴原结论成立．1．已知a，b，m，n均为正数，且a＋b＝1，mn＝2，则(am＋bn)·(bm＋an)的最小值为________．[解析]∵a，b，m，n∈R＋，且a＋b＝1，mn＝2，∴(am＋bn)(bm＋an)＝abm2＋a2mn＋b2mn＋abn2＝ab(m2＋n2)＋2(a2＋b2)≥2ab·mn＋2(a2＋b2)＝4ab＋2(a2＋b2)＝2(a2＋b2＋2ab)＝2(a＋b)2＝2，当且仅当m＝n＝2时，取“＝”．∴所求最小值为2.[答案]22．设x，y，z∈R，且满足：x2＋y2＋z2＝1，x＋2y＋3z＝14，则x＋y＋z＝________.[解析]由柯西不等式可得(x2＋y2＋z2)(12＋22＋32)≥(x＋2y＋3z)2，即(x＋2y＋3z)2≤14，因此x＋2y＋3z≤14.因为x＋2y＋3z＝14，所以x＝y2＝z3，解得x＝1414，y＝147，z＝31414，于是x＋y＋z＝3147.[答案]31473．已知a，b，c∈R，a＋2b＋3c＝6，则a2＋4b2＋9c2的最小值为________．[解析]∵a＋2b＋3c＝6，∴1×a＋1×2b＋1×3c＝6.∴(a2＋4b2＋9c2)(12＋12＋12)≥(a＋2b＋3c)2，即a2＋4b2＋9c2≥12.当且仅当1a＝12b＝13c，即a＝2，b＝1，c＝23时取等号．[答案]124．设常数a0.若9x＋a2x≥a＋1对一切正实数x成立，则a的取值范围为________．[解析]由题意可知，当x0时，f(x)＝9x＋a2x≥29x·a2x＝6a≥a＋1⇒a≥15，当且仅当9x＝a2x，即x＝a3时等号成立．[答案]15，＋∞5．若a0，b0，且1a＋1b＝ab.(1)求a3＋b3的最小值；(2)是否存在a，b，使得2a＋3b＝6？并说明理由．[解](1)由ab＝1a＋1b≥2ab，得ab≥2，且当a＝b＝2时等号成立．故a3＋b3≥2a3b3≥42，且当a＝b＝2时等号成立．所以a3＋b3的最小值为42.(2)由(1)知，2a＋3b≥26ab≥43.由于436，从而不存在a，b，使得2a＋3b＝6.