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第二章基本初等函数（Ⅰ）2.1指数函数2.1.2指数函数及其性质第1课时指数函数的图象及性质学习目标核心素养1．理解指数函数的概念与意义，掌握指数函数的定义域、值域的求法．(重点、难点)2．能画出具体指数函数的图象，并能根据指数函数的图象说明指数函数的性质．(重点)1．通过学习指数函数的图象，培养直观想象的数学素养．2．借助指数函数的定义域、值域的求法，培养逻辑推理素养.自主预习探新知1．指数函数的概念一般地，函数(a0，且a≠1)叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域是．Ry＝axx2．指数函数的图象和性质a的范围a＞10＜a＜1图象定义域R值域___________过定点________，即当x＝0时，y＝单调性在R上是________在R上是______奇偶性非奇非偶函数性质对称性函数y＝ax与y＝a－x的图象关于对称y轴(0，＋∞)(0，1)1增函数减函数思考：1．指数函数y＝ax(a0且a≠1)的图象“升”“降”主要取决于什么？[提示]指数函数y＝ax(a0且a≠1)的图象“升”“降”主要取决于字母a.当a1时，图象具有上升趋势；当0a1时，图象具有下降趋势．2．指数函数值随自变量有怎样的变化规律？[提示]指数函数值随自变量的变化规律1．下列函数一定是指数函数的是()A．y＝2x＋1B．y＝x3C．y＝3·2xD．y＝3－xD[由指数函数的定义可知D正确．]2．函数y＝3－x的图象是()ABCDB[∵y＝3－x＝13x，∴B选项正确．]3．若指数函数f(x)的图象过点(3，8)，则f(x)的解析式为()A．f(x)＝x3B．f(x)＝2xC．f(x)＝12xD．f(x)＝x13B[设f(x)＝ax(a0且a≠1)，则由f(3)＝8得a3＝8，∴a＝2，∴f(x)＝2x，故选B.]4．函数y＝ax(a0且a≠1)在R上是增函数，则a的取值范围是________．(1，＋∞)[结合指数函数的性质可知，若y＝ax(a0且a≠1)在R上是增函数，则a1.]合作探究提素养指数函数的概念【例1】(1)下列函数中，是指数函数的个数是()A．1B．2C．3D．0(2)已知函数f(x)为指数函数，且f－32＝39，则f(－2)＝________．(1)D(2)19[(1)①中底数－80，所以不是指数函数；②中指数不是自变量x，而是x的函数，所以不是指数函数；③中底数a，只有规定a0且a≠1时，才是指数函数；④中3x前的系数是2，而不是1，所以不是指数函数，故选D.(2)设f(x)＝ax(a0且a≠1)，由f－32＝39得a－32＝39，所以a＝3，又f(－2)＝a－2，所以f(－2)＝3－2＝19.]1．判断一个函数是否为指数函数，要牢牢抓住三点：(1)底数是大于0且不等于1的常数；(2)指数函数的自变量必须位于指数的位置上；(3)ax的系数必须为1.2．求指数函数的解析式常用待定系数法．1.已知函数f(x)＝(2a－1)x是指数函数，则实数a的取值范围是________．12，1∪(1，＋∞)[由题意可知2a－10，2a－1≠1，解得a12，且a≠1，所以实数a的取值范围是12，1∪(1，＋∞)．]指数函数的图象的应用【例2】(1)函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是()A．a1，b0B．a1，b0C．0a1，b0D．0a1，b0(2)函数y＝ax－3＋3(a0，且a≠1)的图象过定点________．(1)D(2)(3，4)[(1)由于f(x)的图象单调递减，所以0a1，又0f(0)1，所以0a－b1＝a0，即－b0，b0，故选D.(2)令x－3＝0得x＝3，此时y＝4.故函数y＝ax－3＋3(a0，且a≠1)的图象过定点(3，4)．]指数函数图象问题的处理技巧(1)抓住图象上的特殊点，如指数函数的图象过定点．(2)利用图象变换，如函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)．(3)利用函数的奇偶性与单调性．奇偶性确定函数的对称情况，单调性决定函数图象的走势．2．已知f(x)＝2x的图象，指出下列函数的图象是由y＝f(x)的图象通过怎样的变化得到：(1)y＝2x＋1；(2)y＝2x－1；(3)y＝2x＋1；(4)y＝2－x；(5)y＝2|x|.[解](1)y＝2x＋1的图象是由y＝2x的图象向左平移1个单位得到．(2)y＝2x－1的图象是由y＝2x的图象向右平移1个单位得到．(3)y＝2x＋1的图象是由y＝2x的图象向上平移1个单位得到．(4)∵y＝2－x与y＝2x的图象关于y轴对称，∴作y＝2x的图象关于y轴的对称图形便可得到y＝2－x的图象．(5)∵y＝2|x|为偶函数，故其图象关于y轴对称，故先作出当x≥0时，y＝2x的图象，再作关于y轴的对称图形，即可得到y＝2|x|的图象．]指数函数的定义域、值域问题[探究问题]1．函数y＝的定义域与f(x)＝x2＋1的定义域什么关系？提示：定义域相同．2．如何求y＝的值域？提示：可先令t＝x2＋1，则易求得t的取值范围为[1，＋∞)，又y＝2t在[1，＋∞)上是单调递增函数，故2t≥2，所以y＝2x2＋1的值域为[2，＋∞)．【例3】求下列函数的定义域和值域：思路点拨：函数式有意义―→原函数的定义域――――→指数函数的值域原函数的值域[解](1)要使函数式有意义，则1－3x≥0，即3x≤1＝30，因为函数y＝3x在R上是增函数，所以x≤0，故函数y＝1－3x的定义域为(－∞，0]．因为x≤0，所以03x≤1，所以0≤1－3x1，所以1－3x∈[0，1)，即函数y＝1－3x的值域为[0，1)．(3)因为对于任意的x∈R，函数y＝4x＋2x＋1＋2都有意义，所以函数y＝4x＋2x＋1＋2的定义域为R.因为2x0，所以4x＋2x＋1＋2＝(2x)2＋2×2x＋2＝(2x＋1)2＋11＋1＝2，即函数y＝4x＋2x＋1＋2的值域为(2，＋∞)．1．若本例(1)的函数换为“y＝13x－1”，求其定义域．[解]由13x－1≥0得13x≥130，∴x≤0，即函数的定义域为(－∞，0]．2．若本例(3)的函数增加条件“0≤x≤2”，再求函数的值域．[解]∵0≤x≤2，∴1≤2x≤4，∴y＝4x＋2x＋1＋2＝(2x)2＋2×2x＋2＝(2x＋1)2＋1.令2x＝t，则t∈[1，4]，且f(t)＝(t＋1)2＋1，易知f(t)在[1，4]上单调递增，∴f(1)≤f(t)≤f(4)，即5≤f(t)≤26，即函数y＝4x＋2x＋1＋2的值域为[5，26]．1．函数y＝af(x)的定义域与y＝f(x)的定义域相同．2．函数y＝af(x)的值域的求解方法如下：(1)换元，令t＝f(x)；(2)求t＝f(x)的定义域x∈D；(3)求t＝f(x)的值域t∈M；(4)利用y＝at的单调性求y＝at，t∈M的值域．3．形如y＝f(ax)的值域，要先求出u＝ax的值域，再结合y＝f(u)确定出y＝f(ax)的值域．1．判断一个函数是否为指数函数只需判定其解析式是否符合y＝ax(a0且a≠1)这一结构形式．2．指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关系：在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小；在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小，即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大．3．由于指数函数y＝ax(a0且a≠1)的定义域为R，所以函数y＝af(x)(a0且a≠1)与函数f(x)的定义域相同，求与指数函数有关的函数的值域时，要考虑并利用指数函数本身的要求，并利用好指数函数的单调性．当堂达标固双基1.思考辨析(1)y＝x2是指数函数．()(2)函数y＝2－x不是指数函数．()(3)指数函数的图象一定在x轴的上方．()[答案](1)×(2)×(3)√2．如图是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系是()A．a＜b＜1＜c＜dB．b＜a＜1＜d＜cC．1＜a＜b＜c＜dD．a＜b＜1＜d＜cB[作直线x＝1，与四个图象分别交于A，B，C，D四点，则A(1，a)，B(1，b)，C(1，c)，D(1，d)，由图可知ba1dc，故选B.]3．函数y＝1－12x的定义域是________．[0，＋∞)[由1－12x≥0得12x≤1＝120，∴x≥0，∴函数y＝1－12x的定义域为[0，＋∞)．]4．设f(x)＝3x，g(x)＝13x.(1)在同一坐标系中作出f(x)，g(x)的图象；(2)计算f(1)与g(－1)，f(π)与g(－π)，f(m)与g(－m)的值，从中你能得到什么结论？[解](1)函数f(x)，g(x)的图象如图所示：(2)f(1)＝31＝3，g(－1)＝13－1＝3，f(π)＝3π，g(－π)＝13－π＝3π，f(m)＝3m，g(－m)＝13－m＝3m.从以上计算的结果看，两个函数当自变量取值互为相反数时，其函数值相等，即当指数函数的底数互为倒数时，它们的图象关于y轴对称．