2019-2020学年高中数学 第2章 函数 4 二次函数性质的再研究 4.2 二次函数的性质课件

第二章函数§4二次函数性质的再研究4.2二次函数的性质学习目标核心素养1.理解二次函数的定义域、值域、单调性、对称性．(重点)2．能利用配方法或图像法掌握二次函数的重要性质．(重点)3．会求二次函数在给定闭区间上的最大值与最小值．(难点、易混点)1.通过配方法与图像法研究二次函数的性质，提升数学抽象素养．2．通过求二次函数在给定区间上的最值，培养数学运算、逻辑推理素养.自主探新知预习二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的性质阅读教材P45～P47本节有关内容，完成下列问题．a的符号性质a0a0图像开口方向开口开口顶点坐标____________________________对称轴___________________－b2a，4ac－b24a－b2a，4ac－b24ax＝－b2ax＝－b2a向下向上单调区间在区间______________上是减少的，在区间_______________上是增加的在区间－∞，－b2a上是增加的，在区间______________上是减少的－∞，－b2a－b2a，＋∞－b2a，＋∞最大值、最小值当x＝－b2a时，函数取得最小值_________；无最大值当x＝－b2a时，函数取得最大值__________；无最小值4ac－b24a4ac－b24a思考：如何判断二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像与x轴有无公共点？[提示]利用判别式Δ＝b2－4ac来判断．当Δ0时，有两个不同的公共点；当Δ＝0时，有唯一公共点；当Δ0时，无公共点．1．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋5满足条件f(－1)＝f(3)，则f(2)＝()A．8B．6C．5D．与a，b的值有关C[由f(－1)＝f(3)，得其图像关于直线x＝－1＋32＝1对称，所以，f(2)＝f(0)＝5.]2．若函数f(x)＝x2－2ax在(－∞，5]上是递减的，在[5，＋∞)上是递增的，则实数a＝________.5[由题知二次函数的对称轴为5.∴a＝5.]3．函数y＝x2－6x－3(x≤0)的最小值是________．－3[∵y＝x2－6x－3＝(x－3)2－12，∴它在(－∞，0]上递减，∴ymin＝(0－3)2－12＝－3.]4．函数y＝－x2＋3x－2的单调递增区间是________．－∞，32[∵y＝－x2＋3x－2＝－x－322＋14，∴其单调递增区间是－∞，32.]合作攻重难探究二次函数的性质【例1】(1)若函数f(x)＝x2＋2mx＋1在区间[－1,2]上是单调的，则实数m的取值范围是________．(2)如果函数f(x)＝x2＋bx＋1对任意实数x都有f(2＋x)＝f(2－x)，则f(1)，f(2)的值分别为________．(1)(－∞，－2]∪[1，＋∞)(2)－2，－3[(1)函数f(x)＝x2＋2mx＋1＝(x＋m)2＋1－m2，其对称轴为x＝－m，若函数在[－1,2]上是单调的，说明对称轴不在区间[－1,2]内部，故有－m≤－1或－m≥2，得m≥1或m≤－2.(2)由题意知，函数关于x＝2对称，故－b2＝2，得b＝－4，所以f(x)＝x2－4x＋1，所以f(1)＝1－4＋1＝－2，f(2)＝4－8＋1＝－3.]1二次函数的单调性由开口方向和对称轴两个因素共同确定；2若函数fx满足fa＋x＝fa－x或f2a－x＝fx，则fx的对称轴为x＝a；3若函数fx满足fa－x＝fb＋x，则fx的对称轴为x＝\f(a＋b,2).1．(1)已知函数f(x)＝x2＋2x－3在(－∞，a]上是减函数，则实数a的最大值为________．(2)如果二次函数f(x)＝x2－(a－1)x＋5在区间12，1上是增函数，则实数a的取值范围为________．(1)－1(2)(－∞，2][(1)函数f(x)的对称轴为x＝－1，f(x)在(－∞，－1]上为减函数，由题意(－∞，a]⊆(－∞，－1]，故a≤－1，即a的最大值为－1.(2)因为二次函数f(x)＝x2－(a－1)x＋5的图像的对称轴为直线x＝a－12，又函数f(x)在区间12，1上是增函数，所以a－12≤12，解得a≤2.]二次函数的实际应用【例2】某企业生产一种电器的固定成本(即固定投资)为0.5万元，每生产一台这种电器还需可变成本(即另增加投资)25元，市场对这种电器的年需求量为5百台．已知这种电器的销售收入(R)与销售量(t)的关系用抛物线段表示，如图所示．(年产量与销售量的单位：百台；纯收益的单位：万元，生产成本＝固定成本＋可变成本，精确到1台和0.01万元)(1)写出如图的销售收入(R)与销售量(t)之间的函数关系R＝f(t)；(2)认定销售收入减去生产成本为纯收益，写出纯收益与去年生产量的函数关系式，并求去年生产量是多少时纯收益最大．[解](1)由图可知：R＝a(t－5)2＋252，由t＝0时，R＝0得a＝－12.∴R＝－12(t－5)2＋252(0≤t≤5)．(2)年纯收益y＝－12t2＋5t－0.5－14t＝－12t2＋194t－0.5，故t＝194＝4.75时，y取得最大值为10.78万元．故年产量为475台，纯收益取得最大值为10.78万元．求解实际问题“四部曲”：1读题：分为读懂和深刻理解两个层次，把“问题情景”译为数学语言，找出问题的主要关系目标与条件的关系.2建模：把问题中的关系转化成函数关系，建立函数解析式，把实际问题转换成函数问题.3求解：选择合适的数学方法求解函数4评价：对结果进行验证或评估，对错误加以改正，最后将结果应用于现实，做出解释或预测.,也可认为分成“设元——列式——求解——作答”四个步骤.2．某工厂以x千克/小时的速度生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10)，每小时可获得的利润是1005x＋1－3x元，若生产该产品900千克，求该工厂获得的最大利润，以及此时的生产速度是多少？[解]设利润为y元，则y＝1005x＋1－3x·900x＝9×1045＋1x－3x2＝9×104－31x－162＋6112，∴当x＝6时，函数有最大值，最大值为4.575×105元．∴该工厂获得的最大利润为4.575×105元，此时的生产速度为6千克/小时．闭区间上二次函数的最值[探究问题]1．求函数f(x)＝x2－2x＋3在[－2,0]上的最值．提示：由f(x)＝(x－1)2＋2知抛物线开口向上，对称轴为x＝1，∴f(x)在[－2,0]上单调递减，∴当x＝－2时，f(x)有最大值f(－2)＝11；当x＝0时，f(x)有最小值f(0)＝3.2．求探究1中函数f(x)在[－2,3]上的最值．提示：当x∈[－2,3]时，f(x)在[－2,3]上是先减后增的，故当x＝1时，f(x)有最小值f(1)＝2，又|－2－1|＞|3－1|，∴f(x)的最大值为f(－2)＝11.3．求探究1中函数f(x)在[2,3]上的最值．提示：∵f(x)在[2,3]上单调递增，∴当x＝2时，f(x)有最小值f(2)＝3；当x＝3时，f(x)有最大值f(3)＝6.【例3】已知函数f(x)＝x2－4x－4.若函数定义域为[3,4]，求函数的最值．[思路探究]求出函数f(x)的对称轴并判断该函数在[3,4]上的单调性，求出函数的最大值与最小值．[解]f(x)＝(x－2)2－8开口向上，对称轴为x＝2，所以当x∈[3,4]时，f(x)为增函数，最小值为f(3)＝－7，最大值为f(4)＝－4.1．(变条件)本例中将定义域“[3,4]”改为“[－3,4]”，其他条件不变，求f(x)的最值．[解]f(x)＝(x－2)2－8在[－3,2]上是减函数，在[2,4]上是增函数，所以最小值为f(2)＝－8.又因为f(－3)＝17，f(4)＝－4.所以最大值为17.2．(变条件、变问法)将本例变为：已知函数f(x)＝x2＋2x＋ax，若对任意的x∈[1，＋∞)，f(x)0恒成立，试求实数a的取值范围．[解](最值法)法一：f(x)0对x∈[1，＋∞)恒成立，等价于x2＋2x＋a0对x∈[1，＋∞)恒成立．设y＝x2＋2x＋a，x∈[1，＋∞)，则y＝(x＋1)2＋a－1在[1，＋∞)上是增函数，从而ymin＝3＋a.于是当且仅当ymin＝3＋a0，即a－3时，f(x)0对x∈[1，＋∞)恒成立，故实数a的取值范围是(－3，＋∞)．(分离参数法)法二：f(x)0对x∈[1，＋∞)恒成立，等价于x2＋2x＋a0对x≥1恒成立，即a－x2－2x对x≥1恒成立．令μ＝－x2－2x＝－(x＋1)2＋1，其在[1，＋∞)上是减函数，所以当x＝1时，μmax＝－3.因此a－3.故实数a的取值范围是(－3，＋∞)．求二次函数fx＝ax2＋bx＋ca＞0在[m，n]上的最值的步骤：1配方，找对称轴.2判断对称轴与区间的关系.3求最值.,若对称轴在区间外，则fx在[m，n]上单调，利用单调性求最值；若对称轴在区间内，则在对称轴取得最小值，最大值在[m，n]端点处取得.1．二次函数在闭区间上必定有最大值和最小值，且它们只能在区间的端点或二次函数图像的对称轴上取到．解决含参数的二次函数的最值问题，首先将二次函数化为y＝a(x＋h)2＋k的形式，再依a的符号确定抛物线开口的方向，依对称轴x＝－h得出顶点的位置，再根据x的定义区间结合大致图像确定最大或最小值．2．对于含参数的二次函数的最值问题，一般有如下几种类型：(1)区间固定，对称轴变动(含参数)，求最值；(2)对称轴固定，区间变动(含参数)，求最值；(3)区间固定，最值也固定，对称轴变动，求参数．通常都是根据区间端点和对称轴的相对位置进行分类讨论.当堂固双基达标1．思考辨析(1)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)一定有最小值．()(2)二次函数y＝x2－2x＋1的对称轴为x＝－1.()(3)二次函数y＝－x2＋4x－3在区间[2，＋∞)上是增函数．()[解析](1)×.当a0时，无最小值；(2)×.其对称轴为直线x＝1；(3)×.其在区间[2，＋∞)上是减函数．[答案](1)×(2)×(3)×2．下列区间中，使函数y＝－2x2＋x为递增的是()A．(－∞，2]B．[2，＋∞)C.14，＋∞D．－∞，14D[∵y＝－2x2＋x＝－2x－142＋18，∴其在区间－∞，14上递增．]3．抛物线y＝2x2－x－1的顶点坐标是________．14，－98[∵y＝2x2－x－1＝2x－142－98，∴其顶点坐标为14，－98.]4．求函数f(x)＝x2－2ax－1在区间[0,2]上的最小值．[解]f(x)＝x2－2ax－1＝(x－a)2－a2－1，对称轴为直线x＝a.(1)当a0时，函数在区间[0,2]上是增函数，因此，f(x)min＝f(0)＝－1；(2)当0≤a≤2时，f(x)min＝f(a)＝－a2－1；(3)当a2时，函数在区间[0,2]上是减函数，因此，f(x)min＝f(2)＝3－4a.综上，f(x)min＝－1，a0，－a2－1，0≤a≤2，3－4a，a2.Thankyouforwatching!