第二章函数§4二次函数性质的再研究4.1二次函数的图像学习目标核心素养1.理解y=x2与y=ax2(a≠0),y=ax2与y=a(x+h)2+k及y=ax2+bx+c的图像之间的关系.(重点)2.掌握a,h,k对二次函数图像的影响.(难点、易混点)1.通过作不同类型二次函数的图像,研究图像间的关系,培养直观想象素养.2.通过研究a,h,k对二次函数图像的影响,培养数学运算素养.自主探新知预习1.函数y=x2与函数y=ax2(a≠0)的图像间的关系阅读教材P41~P42第2自然段结束有关内容,完成下列问题.二次函数y=ax2(a≠0)的图像可由y=x2的图像各点的____________________________________.其中a决定了图像的和在同一直角坐标系中的___________.开口大小横坐标不变,纵坐标变为原来的a倍得到开口方向思考1:函数y=4x2的图像可由y=x2的图像上各点的横坐标不变,纵坐标变为原来的4倍得到,还可以通过怎样的变换由y=x2的图像得到y=4x2的图像?[提示]因为y=4x2=(2x)2,所以y=4x2的图像可由y=x2的图像上各点横坐标变为原来的12倍,纵坐标不变得到.思考2:对于函数y=ax2(a≠0),a越大,其图像开口越小吗?[提示]不一定小.例如函数y=x2与y=-x2的图像的开口大小相同,决定其开口大小的是|a|,|a|越大,开口越小.2.函数y=ax2(a≠0)与函数y=a(x+h)2+k(a≠0)的图像阅读教材P42第3自然段~P44的有关内容,完成下列问题.(1)y=ax2――――――――――――→h0向左平移h个单位h0,向右平移|h|个单位y=a(x+h)2――――――――――――→k0,向上平移k个单位k0,向下平移|k|个单位y=a(x+h)2+k.(2)将二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)通过配方化为______________(a≠0)的形式,然后通过函数y=ax2(a≠0)的图像左右、上下平移得到函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像.y=a(x+h)2+k思考3:通过怎样的变换,可以由函数y=x2的图像得到y=2(x-1)2的图像?[提示]把函数y=x2的图像上各点横坐标不变,纵坐标变为原来的2倍,得到y=2x2的图像;把函数y=2x2的图像向右平移1个单位长度得到y=2(x-1)2的图像.1.函数y=2x(3-x)的图像可能是()B[由2x(3-x)=0得x=0或x=3,可知图像与x轴的交点为(0,0),(3,0),排除A,C.又y=2x(3-x)=-2x2+6x,所以图像开口向下,故排除D,因此选B.]2.把函数y=x2的图像向下平移1个单位长度,将得到的函数图像上各点横坐标不变,纵坐标变为原来的2倍,得到的函数解析式为()A.y=2x2-1B.y=2x2-2C.y=2x2+1D.y=2x2+2B[y=x2→y=x2-1→y=2(x2-1)=2x2-2.]3.二次函数y=2x2与y=-2x2的图像开口大小________,开口方向________.相同相反[由|2|=|-2|,知二者开口大小相同;由20,-20,知二者开口方向相反.]4.下列二次函数图像开口,按从小到大的顺序排列为________.①f(x)=14x2;②f(x)=12x2;③f(x)=-13x2;④f(x)=-3x2.④②③①[依据|a|越大,开口越小,知从小到大的顺序排列为④②③①.]合作攻重难探究二次函数图像间的变换【例1】若把函数y=x2-6x+6图像的横坐标缩小到原来的12倍,得到图像C1,再把C1的纵坐标扩大到原来的2倍,得到图像为C2,试写出图像C2的解析式.[解]y=x2-6x+6―――――――→横坐标缩小到原来的12倍y=(2x)2-12x+6=4x2-12x+6――――――→纵坐标扩大到原来的2倍y2=4x2-12x+6,即y=8x2-24x+12.所以图像C2的解析式为y=8x2-24x+12.1平移变换不改变图像的形状,只改变图像在坐标系中的位置.①x轴上平移,即把x换成x±kk0,左正右负;②y轴上平移,即把y换成y±hh0,下负上正.2伸缩变换改变图像的形状.①把横坐标变化到原来的ωω0且ω≠1倍,即把x换成.②把纵坐标变化到原来的λλ0且λ≠1倍,即把y换成.1.二次函数y=x2+bx+c的图像向左平移2个单位长度,再向上平移3个单位长度,得到二次函数y=x2-2x+1的图像,则b=________,c=________.-66[二次函数y=x2+bx+c的图像向左平移2个单位长度,再向上平移3个单位长度,得到的函数为y=(x+2)2+b(x+2)+c+3.整理得,y=x2+(b+4)x+7+2b+c,又y=x2-2x+1,则b+4=-2,7+2b+c=1,解得b=-6,c=6,∴b=-6,c=6.]求二次函数的解析式【例2】已知二次函数的图像的顶点坐标是(1,-3),且过点P(2,0),求这个函数的解析式.[思路探究]已知二次函数的图像的顶点(1,-3),可设其解析式为y=a(x-1)2-3,再利用其图像过点(2,0)求a.[解]因为二次函数的图像的顶点坐标是(1,-3),所以,可设其解析式为y=a(x-1)2-3.又其图像过点P(2,0),则a(2-1)2-3=0,解得a=3.所以,这个函数的解析式为y=3(x-1)2-3.1.(变条件)已知二次函数的图像与x轴的交点为A(-1,0)和B(1,0),且与y轴的交点为(0,-1),求这个函数的解析式.[解]因为二次函数的图像与x轴的交点为A(-1,0)和B(1,0),所以,可设其解析式为y=a(x-1)(x+1).又其图像与y轴的交点为(0,-1),则a(0-1)(0+1)=-1,解得a=1.所以,这个函数的解析式为y=(x-1)(x+1)=x2-1.2.(变条件)已知二次函数的图像过点A(1,1),B(0,2),C(3,5),求这个函数的解析式.[解]设这个函数的解析式y=ax2+bx+c(a≠0),依题意,得a+b+c=1,c=2,9a+3b+c=5,∴a=1,b=-2,c=2,所以,这个函数的解析式为y=x2-2x+2.用待定系数法求二次函数解析式的设法技巧,求二次函数的解析式,应根据已知条件的特点,灵活地选用解析式的形式,用待定系数法求之.1当已知抛物线上任意三点时,通常设所求二次函数为一般式y=ax2+bx+ca,b,c为常数,a≠0,然后列出三元一次方程组求解2当已知二次函数图像的顶点坐标或对称轴方程与最大小值时,则设所求二次函数为顶点式y=ax+h2+k[其顶点是-h,k,a≠0].3当已知二次函数图像与x轴的两个交点的坐标为x1,0,x2,0时,则设所求二次函数为两点式y=ax-x1x-x2a≠0.二次函数图像的应用[探究问题]1.如何由二次函数的图像解不等式x2-2x-30?提示:画出函数y=x2-2x-3的图像:观察图像得,不等式x2-2x-30的解集为(-1,3).2.如何讨论关于x的方程x2-2|x|=k解的个数.提示:令f(x)=x2-2|x|,则f(x)=x2-2x,x≥0,x2+2x,x0.画出函数f(x)的图像因为方程x2-2|x|=k解的个数为函数f(x)的图像与直线y=k的交点个数.所以,当k-1时,方程无解;当k=-1或k0时,方程有两个解;当k=0时,方程有三个解;当-1k0时,方程有四个解.【例3】求函数f(x)=x|x-1|的单调区间.[思路探究]画出函数f(x)的图像,通过观察函数的图像求其单调区间.[解]f(x)=x|x-1|=x2-x,x≥1,-x2+x,x1.其图像如下:观察图像,得f(x)的递增区间是-∞,12,[1,+∞).递减区间是12,1.1.二次函数的图像是二次函数的直观表示,解决与二次函数相关的问题时,常借助其图像来求解.2.观察二次函数图像特征时,常考虑以下几个方面:①开口方向;②对称轴的位置;③顶点坐标;④与x轴公共点的个数.2.如图是二次函数y=ax2+bx+c图像的一部分,图像过点A(-3,0),对称轴为直线x=-1,给出下面四个结论:①b24ac;②2a-b=1;③a-b+c=0;④5ab.其中正确的序号是________.①④[由该函数图像与x轴交于两点,得b24ac.①正确;因为对称轴为直线x=-1,所以-b2a=-1,即2a-b=0.②错误;结合图像,当x=-1时,y0,即a-b+c0,③错误;因为图像开口向下,所以,a0,所以5a2a=b.④正确.]1.画二次函数的图像,抓住抛物线的特征“三点一线一开口”.“三点”中有一个点是顶点,另两个点是抛物线上关于对称轴对称的两个点,常取与x轴的交点;“一线”是指对称轴这条直线;“一开口”是指抛物线的开口方向.2.二次函数的图像变换规律(1)左右平移:只改变x,如y=2x2――――→向左平移1个单位y=2(x+1)2.规律:左加右减.(2)上下平移:只改变y,如y=2x2――――→上移1个单位y=2x2+1.规律:上加下减.(3)纵向伸缩:只改变y,如y=x2+1――――――→横坐标不变纵坐标扩大2倍y=2(x2+1).(4)横向伸缩:只改变x,如y=f(x)=ax2+bx+c――――――――――→纵坐标不变,横坐标变为原来的ω倍y=axω2+bxω+c.当堂固双基达标1.思考辨析(1)二次函数y=3x2的开口比y=x2的开口要大.()(2)要得到y=-(x-2)2的图像,需要将y=-x2向左平移2个单位长度.()(3)要得到y=2(x+1)2的图像,需将y=2(x+1)2-1的图像向上平移1个单位.()[解析](1)×,|a|越大,开口越小;(2)×,应向右平移2个单位长度;(3)√.[答案](1)×(2)×(3)√2.把函数y=-2(x+1)2+3的图像向左平移1个单位长度,并把所得到的函数图像上的每个点的横坐标不变,纵坐标变为原来的12,所得到的函数的解析式为()A.y=-(x+2)2+32B.y=-(x+2)2+3C.y=-x2+32D.y=-x2+3A[y=-2(x+1)2+3→y=-2[(x+1)+1]2+3=-2(x+2)2+3→y=12-2x+22+3=-(x+2)2+32.]3.已知二次函数y=f(x)的图像如图所示,则此函数的解析式为__________.y=-34x2+3[设y=a(x+2)(x-2)(a≠0),因为其图像过点(0,3),所以,a(0+2)(0-2)=3,解得,a=-34.所以,此函数的解析式为y=-34(x+2)(x-2)=-34x2+3.]4.已知二次函数y=ax2+bx+c(x∈R)的部分对应值如下表:x-3-2-10123y60-4-6-6-40求该函数的解析式.[解]由表可知该函数图像与x轴有两个交点(-2,0),(3,0),故该函数可设为y=a(x+2)(x-3).又其图像过点(0,-6),则-6a=-6,解得a=1.所以,该函数的解析式为y=(x+2)(x-3)=x2-x-6.Thankyouforwatching!