2019-2020学年高中数学 第2章 概率 4 二项分布课件 北师大版选修2-3

第二章概率§4二项分布学习目标核心素养1.掌握独立重复试验的概念及意义，理解事件在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率公式．(重点)2．理解n次独立重复试验的模型，并能用于解一些简单的实际问题．(难点)3．了解二项分布与超几何分布的关系．(易混点)通过对二项分布的学习，培养“逻辑推理”“数学抽象”“数学运算”的数学素养.自主预习探新知1．n次独立重复试验进行n次试验，如果满足以下条件：(1)每次试验只有两个相互____的结果，可以分别称为“____”和“____”；(2)每次试验“成功”的概率均为p，“失败”的概率均为______；(3)各次试验是相互独立的，则这n次试验称为n次独立重复试验．对立成功失败1－p2．二项分布(1)若用随机变量X表示n次独立重复试验的次数，则P(X＝k)＝________________________(k＝0,1,2，…，n)．(2)若一个随机变量X的分布列如(1)所述，则称X服从参数为n，p的二项分布，简记为X～____________．Cknpk(1－p)n－kB(n，p)思考：二项分布与两点分布有什么关系？[提示](1)两点分布的试验次数只有一次，试验结果只有两种：事件A发生(X＝1)或不发生(X＝0)；二项分布是指在n次独立重复试验中事件A发生的次数X的分布列，试验次数为n次(每次试验的结果也只有两种：事件A发生或不发生)，试验结果有n＋1种：事件A恰好发生0次，1次，2次，…，n次．(2)二项分布是两点分布的一般形式，两点分布是一种特殊的二项分布，即n＝1的二项分布．1．任意抛掷三枚均匀硬币，恰有2枚正面朝上的概率为()A．34B．38C．13D．14B[抛一枚硬币，正面朝上的概率为12，则抛三枚硬币，恰有2枚朝上的概率为P＝C23122×12＝38.]2．独立重复试验满足的条件是________．(填序号)①每次试验之间是相互独立的；②每次试验只有发生和不发生两种情况；③每次试验中发生的机会是均等的；④每次试验发生的事件是互斥的．①②③[由n次独立重复试验的定义知①②③正确．]3．已知随机变量X服从二项分布，X～B6，13，则P(X＝2)等于________．80243[P(X＝2)＝C261321－134＝80243.]4．一枚硬币连掷三次，只有一次出现正面的概率为________．38[抛掷一枚硬币出现正面的概率为12，由于每次试验的结果不受影响，故由独立重复试验可知，所求概率为P＝C1312122＝38.]合作探究提素养独立重复试验中概率的求法【例1】甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为12，乙每次击中目标的概率为23，求：(1)甲恰好击中目标2次的概率；(2)乙至少击中目标2次的概率；(3)乙恰好比甲多击中目标2次的概率．[解](1)甲恰好击中目标2次的概率为C23122·12＝38.(2)乙至少击中目标2次的概率为C2323213＋C33233＝2027.(3)设乙恰好比甲多击中目标2次为事件A，乙恰好击中目标2次且甲恰好击中目标0次为事件B1，乙恰好击中目标3次且甲恰好击中目标1次为事件B2，则A＝B1＋B2，B1，B2为互斥事件．P(A)＝P(B1)＋P(B2)＝C23232·13C03123＋C33233·C13123＝118＋19＝16.独立重复试验概率求法的三个步骤1判断：依据n次独立重复试验的特征，判断所给试验是否为独立重复试验.2分拆：判断所求事件是否需要分拆.2计算：就每个事件依据n次独立重复试验的概率公式求解，最后利用互斥事件概率加法公式计算.1．某气象站天气预报的准确率为80%，计算：(结果保留到小数点后面第2位)(1)“5次预报中恰有2次准确”的概率；(2)“5次预报中至少有2次准确”的概率；5次预报相当于5次独立重复试验，2次准确的概率为P＝C25×0.82×0.23＝0.0512≈0.05，因此“5次预报中恰有2次准确”的概率约为0.05.[解](1)记“预报一次准确”为事件A，则P(A)＝0.8.(2)“5次预报中至少有2次准确”的对立事件为“5次预报全部不准确或只有1次准确”，其概率为P＝C05×(0.2)5＋C15×0.8×0.24＝0.00672≈0.01.所以所求概率为1－P＝1－0.01＝0.99.所以5次预报中至少有2次准确的概率约为0.99.二项分布【例2】从学校乘车到火车站的途中有三个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是25，设X为途中遇到红灯的次数．求(1)随机变量X的分布列；(2)这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率．思路探究：求随机变量的分布列，首先应根据题目中的条件确定离散型随机变量的取值，然后再求随机变量取各个值的概率．[解](1)由题意X～B3，25，则P(X＝0)＝C03250353＝27125，P(X＝1)＝C13251352＝54125，P(X＝2)＝C23252351＝36125，P(X＝3)＝C33253350＝8125.∴X的分布列为X＝k0123P(X＝k)2712554125361258125(2)由题意知，“至少遇到一次红灯”的对立事件是“一次红灯都没有遇到”．因此有P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－27125＝98125.解决这类问题的一般步骤1判断所述问题是否是相互独立试验；2建立二项分布模型；3求出相应概率；4写出分布列.2．某厂生产电子元件，其产品的次品率为5%.现从一批产品中任意地连续取出2件，写出其中次品数X的分布列．[解]由题意，得到的次品数X～B(2,0.05)，P(X＝0)＝C02×0.952＝0.9025；P(X＝1)＝C12×0.05×0.95＝0.095；P(X＝2)＝C22×0.052＝0.0025.因此，次品数X的分布列如下：X＝k012P(X＝k)0.90250.0950.0025独立重复试验与二项分布的综合[探究问题]1．王明在做一道单选题时，从A，B，C，D四个选项中随机选一个答案，他做对的结果数服从二项分布吗？两点分布与二项分布有何关系？[提示]做一道题就是做一次试验，做对的次数可以为0次、1次，它服从二项分布．两点分布就是一种特殊的二项分布，即是n＝1的二项分布．2．王明做5道单选题，每道题都随机选一个答案，那么他做对的道数服从二项分布吗？为什么？[提示]服从二项分布．因为每道题都是随机选一个答案，结果只有两个：对与错，并且每道题做对的概率均相等，故做5道题可以看成“一道题”重复做了5次，做对的道数就是5次试验中“做对”这一事件发生的次数，故他做对的“道数”服从二项分布．3．王明做5道单选题，其中2道会做，其余3道均随机选一个答案，他做对的道数服从二项分布吗？如何判断一随机变量是否服从二项分布？[提示]不服从二项分布．因为会做的两道题做对的概率与随机选取一个答案做对的概率不同，不符合二项分布的特点，判断一个随机变量是否服从二项分布关键是看它是否是n次独立重复试验，随机变量是否为在这n次独立重复试验中某事件发生的次数，满足这两点的随机变量才服从二项分布，否则就不服从二项分布．【例3】甲、乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为23，乙队中3人答对的概率分别为23，23，12，且各人回答正确与否相互之间没有影响．用ξ表示甲队的总得分．(1)求随机变量ξ的分布列；(2)用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用B表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求P(AB)．思路探究：(1)由于甲队中每人答对的概率相同，且正确与否没有影响，所以ξ服从二项分布，其中n＝3，p＝23；(2)AB表示事件A、B同时发生，即甲、乙两队总得分之和为3且甲队总得分大于乙队总得分．[解](1)由题意知，ξ的可能取值为0,1,2,3，且p(ξ＝0)＝C031－233＝127，P(ξ＝1)＝C13231－232＝29，P(ξ＝2)＝C232321－23＝49，P(ξ＝3)＝C33233＝827.所以ξ的分布列为ξ0123P1272949827(2)用C表示“甲得2分乙得1分”这一事件，用D表示“甲得3分乙得0分”这一事件，所以AB＝C＋D，且C，D互斥，又P(C)＝C232321－2323×13×12＋13×23×12＋13×13×12＝1034，P(D)＝C3323313×13×12＝435，由互斥事件的概率公式得P(AB)＝P(C)＋P(D)＝1034＋435＝3435＝34243.对于概率问题的综合题，首先，要准确地确定事件的性质，把问题化归为古典概型、互斥事件、独立事件、独立重复试验四类事件中的某一种；其次，要判断事件是A＋B还是AB，确定事件至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件公式，最后，选用相应的求古典概型、互斥事件、条件概率、独立事件、n次独立重复试验的概率公式求解.3．甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是23和34.假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响；每人各次射击是否击中目标相互之间也没有影响．(1)求甲射击4次，至少有1次未击中目标的概率；(2)求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率．[解](1)记“甲连续射击4次至少有1次未击中目标”为事件A1，由题意，射击4次，相当于做4次独立重复试验．故P(A1)＝1－P(A1)＝1－234＝6581，所以甲射击4次，至少有一次未击中目标的概率为6581.(2)记“甲射击4次，恰有2次击中目标”为事件A2，“乙射击4次，恰有3次击中目标”为事件B2，则P(A2)＝C24×232×1－234－2＝827；P(B2)＝C34×343×1－344－3＝2764.由于甲、乙射击相互独立，故P(A2B2)＝P(A2)P(B2)＝827×2764＝18.所以两人各射击4次，甲恰有2次击中目标且乙恰有3次击中目标的概率为18.1．P(X＝k)＝Ckn·pk(1－p)n－k.这里n为试验次数，p为每次试验中成功的概率，k为n次试验中成功的次数．2．判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有三：其一是对立性，即一次试验中，事件发生与否，二者必居其一；其二是重复性，即试验重复地进行了n次；其三是各次试验相互独立.当堂达标固双基1.某人射击一次击中目标的概率为0.6，经过3次射击，此人恰有2次击中目标的概率为()A．81125B．54125C．36125D．27125B[恰有两次击中目标的概率是C23·0.62(1－0.6)＝54125.]2．袋中有红、黄、绿色球各一个，每次任取一个，有放回地抽取三次，球的颜色全相同的概率是()A．227B．19C．29D．127B[每种颜色的球被抽取的概率为13，从而抽取三次，球的颜色全相同的概率为C13133＝3×127＝19.]3．一个学生通过某种英语听力测试的概率是12，他连续测试n次，要保证他至少有一次通过的概率大于0.9，那么n的最小值为________．4[由1－C0n12n0.9，得12n0.1，所以n≥4.故n的最小值为4.]4．某市公租房的房源位于A，B，C三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的