2019-2020学年高中数学 第2章 概率 3 条件概率与独立事件（第2课时）独立事件课件 北师大

第二章概率§3条件概率与独立事件第2课时独立事件学习目标核心素养1.理解相互独立事件的定义及意义．(重点)2．掌握相互独立事件概率乘法公式．(重点)3．能综合运用互斥事件的概率加法公式及相互独立事件的概率乘法公式解决一些简单的实际问题．(难点)通过对独立事件的学习，培养“逻辑推理”、“数学抽象”、“数学运算”的数学素养.自主预习探新知1．相互独立事件的概率(1)一般地，对两个事件A，B，如果P(AB)＝__________________，则称A，B相互独立．(2)如果事件A1，A2，…，An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P(A1A2…An)＝________________________________．P(A)·P(B)P(A1)P(A2)…P(An)2．相互独立事件的性质若A与B是相互独立事件，则A与B，B与A，A与B也相互独立．1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)不可能事件与任何一个事件相互独立．()(2)必然事件与任何一个事件相互独立．()(3)如果事件A与事件B相互独立，则P(B|A)＝P(B)．()(4)“P(AB)＝P(A)·P(B)”是“事件A，B相互独立”的充要条件．()[答案](1)√(2)√(3)√(4)√2．甲、乙两水文站同时作水文预报，如果甲站、乙站各自预报的准确率为0.8和0.7.那么，在一次预报中，甲、乙两站预报都准确的概率为________．[答案]0.563．一件产品要经过两道独立的工序，第一道工序的次品率为a,第二道工序的次品率为b,则该产品的正品率为________．(1－a)(1－b)[因为两道工序独立，且两道工序的次品率分别为a和b，故其正品率分别为(1－a)和(1－b)，所以该产品的正品率为(1－a)(1－b)．]4．已知A，B是相互独立事件，且P(A)＝12，P(B)＝23，则P(AB)＝________，P(AB)＝________.1613[因为A，B是相互独立事件，所以A与B相互独立，又P(B)＝1－23＝13，所以P(AB)＝P(A)P(B)＝12×13＝16.P(AB)＝P(A)P(B)＝12×23＝13.]合作探究提素养独立事件的判断【例1】判断下列各对事件是否是相互独立事件．(1)甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”；(2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”．[解](1)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生，对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响，所以它们是相互独立事件．(2)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为58，若这一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率为47；若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为57，可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以二者不是相互独立事件．两个事件相互独立的判断1直接法：由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响.2定义法：如果事件A，B同时发生的概率等于事件A发生的概率与事件B发生的概率的积，则事件A，B为相互独立事件.3条件概率法：当PA0时，可用PB|A＝PB判断.1．把一颗质地均匀的骰子任意地掷一次，判断下列各组事件是否是独立事件？(1)A＝{掷出偶数点}，B＝{掷出奇数点}；(2)A＝{掷出偶数点}，B＝{掷出3的倍数点}；(3)A＝{掷出偶数点}，B＝{掷出的点数小于4}．[解](1)∵P(A)＝12，P(B)＝12，P(AB)＝0，∴A与B不是相互独立事件．(2)∵P(A)＝12，P(B)＝13，P(AB)＝16，∴P(AB)＝P(A)·P(B)，∴A与B是相互独立事件．(3)∵P(A)＝12，P(B)＝12，P(AB)＝16，∴P(AB)≠P(A)·P(B)，∴A与B不是相互独立事件．相互独立事件同时发生的概率【例2】面对某种病毒，各国医疗科研机构都在研究疫苗，现有A，B，C三个独立的研究机构在一定的时期内能研制出疫苗的概率分别是15，14，13.求：(1)他们都研制出疫苗的概率；(2)他们都失败的概率；(3)他们能够研制出疫苗的概率．[解]令事件A，B，C分别表示A，B，C三个独立的研究机构在一定时期内成功研制出该疫苗，依题意可知，事件A，B，C相互独立，且P(A)＝15，P(B)＝14，P(C)＝13.(1)他们都研制出疫苗，即事件ABC同时发生，故P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝15×14×13＝160.(2)他们都失败即事件ABC同时发生．故P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝(1－P(A))(1－P(B))(1－P(C))＝1－151－141－13＝45×34×23＝25.(3)“他们能研制出疫苗”的对立事件为“他们都失败”，结合对立事件间的概率关系可得所求事件的概率P＝1－P(ABC)＝1－25＝35.1．求相互独立事件同时发生的概率的步骤：(1)首先确定各事件之间是相互独立的；(2)确定这些事件可以同时发生；(3)求出每个事件的概率，再求积．2．使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的，而且它们能同时发生．2．根据资料统计，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险的概率为0.6,购买甲、乙保险相互独立，各车主间相互独立．(1)求一位车主同时购买甲、乙两种保险的概率；(2)求一位车主购买乙种保险但不购买甲种保险的概率．[解]记A表示事件“购买甲种保险”，B表示事件“购买乙种保险”，则由题意得A与B，A与B，A与B，B与A都是相互独立事件，且P(A)＝0.5，P(B)＝0.6.(1)记C表示事件“同时购买甲、乙两种保险”，则C＝AB，所以P(C)＝P(AB)＝P(A)·P(B)＝0.5×0.6＝0.3.(2)记D表示事件“购买乙种保险但不购买甲种保险”，则D＝AB，所以P(D)＝P(AB)＝P(A)·P(B)＝(1－0.5)×0.6＝0.3.相互独立事件的实际应用【例3】三个元件T1，T2，T3正常工作的概率分别为12，34，34，将它们中的某两个元件并联后再和第三个元件串联接入电路，如图所示，求电路不发生故障的概率.[解]记“三个元件T1，T2，T3正常工作”分别为事件A1，A2，A3，则P(A1)＝12，P(A2)＝34，P(A3)＝34.不发生故障的事件为(A2∪A3)A1，∴不发生故障的概率为P＝P[(A2∪A3)A1]＝P(A2∪A3)·P(A1)＝[1－P(A2)·P(A3)]·P(A1)＝1－14×14×12＝1532.求较为复杂的事件的概率的方法1列出题中涉及的各事件，并且用适当的符号表示；2理清事件之间的关系两事件是互斥还是对立.或者是相互独立，列出关系式；3根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算；4当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接地计算对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率.3．某田径队有三名短跑运动员，根据平时训练情况统计甲、乙、丙三人100米跑(互不影响)的成绩在13s内(称为合格)的概率分别为25，34，13，若对这三名短跑运动员的100米跑的成绩进行一次检测，则求：(1)三人都合格的概率；(2)三人都不合格的概率；(3)出现几人合格的概率最大．[解]记甲、乙、丙三人100米跑成绩合格分别为事件A，B，C，显然事件A，B，C相互独立，则P(A)＝25，P(B)＝34，P(C)＝13.设恰有k人合格的概率为Pk(k＝0,1,2,3)．(1)三人都合格的概率：P3＝P(A∩B∩C)＝P(A)·P(B)·P(C)＝25×34×13＝110.(2)三人都不合格的概率：P0＝P(A∩B∩C)＝P(A)·P(B)·P(C)＝35×14×23＝110.(3)恰有两人合格的概率：P2＝P(A∩B∩C)＋P(A∩B∩C)＋P(A∩B∩C)＝25×34×23＋25×14×13＋35×34×13＝2360.恰有一人合格的概率：P1＝1－P0－P2－P3＝1－110－2360－110＝2560＝512.综合(1)(2)可知P1最大．所以出现恰有一人合格的概率最大．互斥事件、对立事件、相互独立事件的区别与联系区别名称定义事件个数联系互斥事件在一次试验中不能同时发生的事件两个或两个以上对立事件在一次试验中不能同时发生但必有一个发生的事件两个①两事件互斥，但不一定对立；反之一定成立；②两事件独立，则不一定互斥(或对立)；相互独立事件一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响两个或两个以上③两事件互斥(或对立)，则不相互独立当堂达标固双基1.坛中有黑、白两种颜色的球，从中进行有放回地摸球，用A1表示第一次摸得白球，A2表示第二次摸得白球，则A1与A2是()A．相互独立事件B．不相互独立事件C．互斥事件D．对立事件A[由概率的相关概念得A1与A2是互不影响的两个事件，故是相互独立的事件．]2．一个学生通过一种英语能力测试的概率是12，他连续测试两次，那么其中恰有一次通过的概率是()A．14B．13C．12D．34C[由题意知，恰有一次通过的概率为12×1－12＋1－12×12＝12.]3．有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.9，在两批种子中各取一粒，则恰有一粒种子能发芽的概率是________．0.26[所求概率P＝0.8×0.1＋0.2×0.9＝0.26.]4．在某道路A，B，C三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒，某辆车在这条道路上匀速行驶，则三处都不停车的概率为________．35192[由题意可知，每个交通灯开放绿灯的概率分别为512，712，34.在这条道路上匀速行驶，则三处都不停车的概率为P＝512×712×34＝35192.]5．某班甲、乙、丙三名同学竞选班委，甲当选的概率为45，乙当选的概率为35，丙当选的概率为710.(1)求恰有一名同学当选的概率；(2)求至多有两人当选的概率．[解]设甲、乙、丙当选的事件分别为A，B，C，则有P(A)＝45，P(B)＝35，P(C)＝710.(1)因为事件A，B，C相互独立，所以恰有一名同学当选的概率为P(ABC)＋P(ABC)＋P(ABC)＝P(A)·P(B)·P(C)＋P(A)·P(B)·P(C)＋P(A)·P(B)·P(C)＝45×25×310＋15×35×310＋15×25×710＝47250.(2)至多有两人当选的概率为1－P(ABC)＝1－P(A)·P(B)·P(C)＝1－45×35×710＝83125.