2019-2020学年高中数学 第2章 概率 2.4 正态分布课件 新人教B版选修2-3

第二章概率2.4正态分布学习目标：1.了解正态分布的意义.2.能借助正态曲线的图象理解正态曲线的性质．(重点)3.了解正态曲线的意义和性质.4.会利用φ(x)，F(x)的意义求正态总体小于X的概率．(难点)自主预习探新知教材整理1正态曲线及正态分布阅读教材P65～P66，完成下列问题．1．正态变量的概率密度函数正态变量概率密度曲线的函数表达式为f(x)＝_________________.其中μ，σ是参数，且σ＞0，－∞＜μ＜＋∞，μ和σ分别为正态变量的和.12π·σe－x－μ22σ2，x∈R数学期望标准差2．正态分布的记法期望为μ、标准差为σ的正态分布通常记作.3．正态曲线正态变量的的图象叫做正态曲线．4．标准正态分布数学期望为，标准差为的正态分布叫做标准正态分布，记做．N(μ，σ2)概率密度函数01N(0,1)判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)正态变量函数表达式中参数μ，σ的意义分别是样本的均值与方差．()(2)服从正态分布的随机变量是连续型随机变量．()(3)正态曲线是一条钟形曲线．()(4)离散型随机变量的概率分布规律用分布密度曲线描述，连续型随机变量的概率分布用分布列描述．()【解析】(1)×因为正态分布变量函数表达式中参数μ是随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计，而σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数，用样本的标准差去估计．(2)√(3)√由正态分布曲线的形状可知该说法正确．(4)×因为离散型随机变量的概率分布规律用分布列描述，连续型随机变量的概率分布规律用分布密度曲线(函数)描述．【答案】(1)×(2)√(3)√(4)×教材整理2正态曲线的性质及3σ原则阅读教材P66～P67习题以上部分，完成下列问题．1．正态曲线的性质(1)曲线在的上方，并且关于直线对称；(2)曲线在时处于最高点，并由此处向左右两边延伸时，曲线逐渐降低，呈现“，”的形状；(3)曲线的形状由参数σ确定，，曲线越“矮胖”；，曲线越“高瘦”．x轴x＝μx＝μ中间高两边低σ越大σ越小2．正态总体在三个特殊区间内取值的概率值若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σXμ＋σ)＝，P(μ－2σXμ＋2σ)＝，P(μ－3σXμ＋3σ)＝.上述结果可用图表示如下：68.3%95.4%99.7%3．3σ原则由P(μ－3σXμ＋3σ)＝0.997知，正态变量X在区间(μ－3σ，μ＋3σ)之外取值的概率为0.3%.于是若X～N(μ，σ2)，则正态变量X的取值几乎都在距x＝μ三倍标准差之内，即在区间(μ－3σ，μ＋3σ)内，这就是正态分布的3σ原则．1．把一条正态曲线a沿着横轴方向向右移动2个单位，得到一条新的曲线b，下列说法中不正确的是______．(填序号)①曲线b仍然是正态曲线；②曲线a和曲线b的最高点的纵坐标相等；③以曲线b为正态分布的总体的方差比以曲线a为正态分布的总体的方差大2；④以曲线b为正态分布的总体的均值比以曲线a为正态分布的总体的均值大2.【解析】正态曲线向右平移2个单位，σ不发生变化，故③错误．【答案】③2．关于正态分布N(μ，σ2)，下列说法正确的是________．(填序号)①随机变量落在区间长度为3σ的区间之外是一个小概率事件；②随机变量落在区间长度为6σ的区间之外是一个小概率事件；③随机变量落在(－3σ，3σ)之外是一个小概率事件；④随机变量落在(μ－3σ，μ＋3σ)之外是一个小概率事件．【解析】∵P(μ－3σ＜X＜μ＋3σ)＝0.9974，∴P(X＞μ＋3σ或X＜μ－3σ)＝1－P(μ－3σ＜X＜μ＋3σ)＝1－0.9974＝0.0026，∴随机变量落在(μ－3σ，μ＋3σ)之外是一个小概率事件．【答案】④3．在某项测量中，测量结果X服从正态分布N(1，σ2)(σ0)．若X在(0,1)内取值的概率为0.4，则X在(0,2)内取值的概率为________．【解析】∵X服从正态分布(1，σ2)，∴X在(0,1)与(1,2)内取值的概率相同，均为0.4.∴X在(0,2)内取值的概率为0.4＋0.4＝0.8.【答案】0.8合作探究提素养【例1】如图所示是一个正态曲线，试根据该图象写出其正态分布的概率密度函数的解析式，求出总体随机变量的期望和方差．【精彩点拨】给出了一个正态曲线，就给出了该曲线的对称轴和最大值，从而就能求出总体随机变量的期望、标准差及解析式．正态分布的概念及正态曲线的性质【解】从给出的正态曲线可知，该正态曲线关于直线x＝20对称，最大值是12π，所以μ＝20.由12π·σ＝12π，得σ＝2.于是概率密度函数的解析式是f(x)＝12π·e－x－2024，x∈(－∞，＋∞)，总体随机变量的期望是μ＝20，方差是σ2＝(2)2＝2.利用正态曲线的性质可以求参数μ，σ，具体方法如下：1正态曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称，由此性质结合图象求μ.2正态曲线在x＝μ处达到峰值1σ2π，由此性质结合图象可求σ.1．(1)设两个正态分布N(μ1，σ21)(σ10)和N(μ2，σ22)(σ20)的密度函数图象如图所示，则有()A．μ1μ2，σ1σ2B．μ1μ2，σ1σ2C．μ1μ2，σ1σ2D．μ1μ2，σ1σ2【解析】根据正态分布的性质：对称轴方程x＝μ，σ表示正态曲线的形状．由题图可得，选A.【答案】A(2)如图所示是正态分布N(μ，σ21)，N(μ，σ22)，N(μ，σ23)(σ1，σ2，σ30)相应的曲线，那么σ1，σ2，σ3的大小关系是()A．σ1σ2σ3B．σ3σ2σ1C．σ1σ3σ2D．σ2σ1σ3【解析】由σ的意义可知，图象越瘦高，数据越集中，σ2越小，故有σ1σ2σ3.【答案】A【例2】(1)已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ4)＝0.8，则P(0ξ2)＝()A．0.6B．0.4C．0.3D．0.2(2)在某项测量中，测量结果服从正态分布N(1,4)，求正态总体X在(－1,1)内取值的概率．服从正态分布变量的概率问题【精彩点拨】(1)根据正态曲线的性质对称性进行求解；(2)题可先求出X在(－1,3)内取值的概率，然后由正态曲线关于x＝1对称知，X在(－1,1)内取值的概率就等于在(－1,3)内取值的概率的一半．【解】(1)∵随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，∴μ＝2，对称轴是x＝2.∵P(ξ4)＝0.8，∴P(ξ≥4)＝P(ξ0)＝0.2，∴P(0ξ4)＝0.6，∴P(0ξ2)＝0.3.故选C.【答案】C(2)由题意得μ＝1，σ＝2，所以P(－1＜X＜3)＝P(1－2＜X＜1＋2)＝0.6826.又因为正态曲线关于x＝1对称，所以P(－1＜X＜1)＝P(1＜X＜3)＝12P(－1＜X＜3)＝0.3413.利用正态分布求概率的两个方法1．对称法：由于正态曲线是关于直线x＝μ对称的，且概率的和为1，故关于直线x＝μ对称的区间上概率相等．如：(1)P(Xa)＝1－P(X≥a)；(2)P(Xμ－a)＝P(Xμ＋a)．2．“3σ”法：利用X落在区间(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)内的概率分别是0.6826,0.9544，0.9974求解．2．设随机变量X～N(2,9)，若P(Xc＋1)＝P(Xc－1)．(1)求c的值；(2)求P(－4x8)．【解】(1)由X～N(2,9)可知，密度函数关于直线x＝2对称(如图所示)，又P(Xc＋1)＝P(Xc－1)，故有2－(c－1)＝(c＋1)－2，所以c＝2.(2)P(－4x8)＝P(2－2×3x2＋2×3)＝0.9544.[探究问题]1．若某工厂生产的圆柱形零件的外直径ε～N(4,0.25)，那么该圆柱形零件外直径的均值，标准差分别是什么？【提示】零件外直径的均值为μ＝4，标准差σ＝0.5.正态分布的实际应用2．某工厂生产的圆柱形零件的外直径ε～N(4,0.25)，若零件的外直径在(3.5,4.5]内的为一等品．试问1000件这种的零件中约有多少件一等品？【提示】P(3.5ε≤4.5)＝P(μ－σεμ＋σ)＝0.6826，所以1000件产品中大约有1000×0.6826≈683(件)一等品．3．某厂生产的圆柱形零件的外直径ε～N(4，0.25)．质检人员从该厂生产的1000件这种零件中随机抽查一件，测得它的外直径为5.7cm.试问该厂生产的这批零件是否合格？【提示】由于圆柱形零件的外直径ε～N(4,0.25)，由正态分布的特征可知，正态分布N(4,0.25)在区间(4－3×0.5,4＋3×0.5)，即(2.5,5.5)之外取值的概率只有0.003，而5.7∈(2.5,5.5)．这说明在一次试验中，出现了几乎不可能发生的小概率事件，根据统计中假设检验的基本思想，认为该厂这批零件是不合格的．【例3】设在一次数学考试中，某班学生的分数X～N(110，202)，且知试卷满分150分，这个班的学生共54人，求这个班在这次数学考试中及格(即90分以上)的人数和130分以上的人数．【精彩点拨】将P(X≥90)转化为P(X－μ≥－σ)，然后利用对称性及概率和为1，得到2P(X－μ≤－σ)＋0.6826＝1，进而求出P(X≥90)的值，同理可解得P(X≥130)的值．【解】μ＝110，σ＝20，P(X≥90)＝P(X－110≥－20)＝P(X－μ≥－σ)，∵P(X－μ≤－σ)＋P(－σ≤X－μ≤σ)＋P(X－μ≥σ)＝2P(X－μ≤－σ)＋0.6826＝1，∴P(X－μ≤－σ)＝0.1587，∴P(X≥90)＝1－P(X－μ≤－σ)＝1－0.1587＝0.8413.∴54×0.8413≈45(人)，即及格人数约为45人．∵P(X≥130)＝P(X－110≥20)＝P(X－μ≥σ)，∴P(X－μ≤－σ)＋P(－σ≤X－μ≤σ)＋P(X－μ≥σ)＝0.6826＋2P(X－μ≥σ)＝1，∴P(X－μ≥σ)＝0.1587，即P(X≥130)＝0.1587.∴54×0.1587≈9(人)，即130分以上的人数约为9人．1．本题利用转化的思想方法，把普通的区间转化为3σ区间，由特殊区间的概率值求出．2．解答正态分布的实际应用题，其关键是如何转化，同时应熟练掌握正态分布在(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)三个区间内的概率．在此过程中用到归纳思想和数形结合思想．3．某人从某城市的南郊乘公交车前往北区火车站，由于交通拥挤，所需时间X(单位：分)近似服从正态分布X～N(50,102)，求他在(30,60]分内赶到火车站的概率．【解】∵X～N(50,102)，∴μ＝50，σ＝10.∴P(30X≤60)＝P(30X≤50)＋P(50X≤60)＝12P(μ－2σX≤μ＋2σ)＋12P(μ－σX≤μ＋σ)＝12×0.9544＋12×0.6826＝0.8185.即他在(30,60]分内赶到火车站的概率是0.8185.当堂达标固双基1．正态分布密度函数为f(x)＝18πe－x28，x∈(－∞，＋∞)，则总体的均值和标准差分别是()A．0和8B．0和4C．0和2D．0和2【解析】由条件可知μ＝0，σ＝2.【答案】C2．如图是当ξ取三个不同值ξ1，ξ2，ξ3的三种正态曲线N(0，σ2)的图象，那么σ1，σ2，σ3的大小关系是()A．σ11σ2σ30B．0σ1σ21σ3C．σ1σ21σ30D．0σ1σ2＝1σ3【解析】当μ＝0，σ＝1时，正态曲线f(x)＝12πe－x22.在x＝0时，取最大值12π，故σ2＝1.由正态曲线的性质，当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越小，曲线越“瘦高”；σ越大，曲线越“矮胖”，于是有0σ1σ2＝1σ3.【答案】D3．若随机变量X～N(μ，σ2)，则P(X≤μ)＝________.【解析】由于随机变量X～N(μ，σ2)，其正态密度曲线关于直线X＝μ对称，故P(X≤μ)＝12.【答案】124．已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，且