2019-2020学年高中数学 第2章 概率 2.2.2 事件的独立性课件 新人教B版选修2-3

第二章概率2.2条件概率与事件的独立性2.2.2事件的独立性学习目标：1.理解相互独立事件的定义及意义．(难点)2.理解概率的乘法公式．(易混点)3.掌握综合运用互斥事件的概率加法公式及独立事件的乘法公式解题．(重点)自主预习探新知教材整理事件的相互独立性阅读教材P50～P52例2以上部分，完成下列问题．1．定义设A，B为两个事件，若事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响，即，则称两个事件A，B相互独立，并把这两个事件叫做．P(B|A)＝P(B)相互独立事件2．性质(1)当事件A，B相互独立时，A与，A与，与也相互独立．(2)若事件A，B相互独立，则P(B)＝P(B|A)＝PA∩BPA，P(A∩B)＝．3．n个事件相互独立对于n个事件A1，A2，…，An，如果其中任一个事件发生的概率不受的影响，则称n个事件A1，A2，…，An相互独立．BBABP(A)P(B)其他事件是否发生4．n个相互独立事件的概率公式如果事件A1，A2，…，An相互独立，那么这n个事件都发生的概率，等于，即P(A1∩A2∩…∩An)＝P(A1)×P(A2)×…×P(An)，并且上式中任意多个事件Ai换成其对立事件后等式仍成立．每个事件发生的概率的积下列说法正确有________．(填序号)①对事件A和B，若P(B|A)＝P(B)，则事件A与B相互独立；②若事件A，B相互独立，则P(A∩B)＝P(A)×P(B)；③如果事件A与事件B相互独立，则P(B|A)＝P(B)；④若事件A与B相互独立，则B与B相互独立．【解析】若P(B|A)＝P(B)，则P(A∩B)＝P(A)·P(B)，故A，B相互独立，所以①正确；若事件A，B相互独立，则A，B也相互独立，故②正确；若事件A，B相互独立，则A发生与否不影响B的发生，故③正确；④B与B相互对立，不是相互独立，故④错误．【答案】①②③合作探究提素养【例1】判断下列各对事件是否是相互独立事件．(1)甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”；(2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”；(3)掷一颗骰子一次，“出现偶数点”与“出现3点或6点”．相互独立事件的判断【精彩点拨】(1)利用独立性概念的直观解释进行判断．(2)计算“从8个球中任取一球是白球”发生与否，事件“从剩下的7个球中任意取出一球还是白球”的概率是否相同进行判断．(3)利用事件的独立性定义式判断．【解】(1)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生，对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响，所以它们是相互独立事件．(2)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为58，若这一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率为47；若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为57，可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以二者不是相互独立事件．(3)记A：出现偶数点，B：出现3点或6点，则A＝{2,4,6}，B＝{3,6}，AB＝{6}，∴P(A)＝36＝12，P(B)＝26＝13，P(A∩B)＝16.∴P(A∩B)＝P(A)·P(B)，∴事件A与B相互独立．判断事件是否相互独立的方法1．定义法：事件A，B相互独立⇔P(A∩B)＝P(A)·P(B)．2．由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响．3．条件概率法：当P(A)0时，可用P(B|A)＝P(B)判断．1．(1)下列事件中，A，B是相互独立事件的是()A．一枚硬币掷两次，A＝“第一次为正面”，B＝“第二次为反面”B．袋中有2白，2黑的小球，不放回地摸两球，A＝“第一次摸到白球”，B＝“第二次摸到白球”C．掷一枚骰子，A＝“出现点数为奇数”，B＝“出现点数为偶数”D．A＝“人能活到20岁”，B＝“人能活到50岁”(2)甲、乙两名射手同时向一目标射击，设事件A：“甲击中目标”，事件B：“乙击中目标”，则事件A与事件B()A．相互独立但不互斥B．互斥但不相互独立C．相互独立且互斥D．既不相互独立也不互斥【解析】(1)把一枚硬币掷两次，对于每次而言是相互独立的，其结果不受先后影响，故A项是相互独立事件；B中是不放回地摸球，显然A事件与B事件不相互独立；对于C，A，B应为互斥事件，不相互独立；D是条件概率，事件B受事件A的影响．故选A.(2)对同一目标射击，甲、乙两射手是否击中目标是互不影响的，所以事件A与B相互独立；对同一目标射击，甲、乙两射手可能同时击中目标，也就是说事件A与B可能同时发生，所以事件A与B不是互斥事件．故选A.【答案】(1)A(2)A【例2】面对某种流感病毒，各国医疗科研机构都在研究疫苗，现有A，B，C三个独立的研究机构在一定的时期内能研制出疫苗的概率分别是15，14，13.求：(1)他们都研制出疫苗的概率；(2)他们都失败的概率；(3)他们能够研制出疫苗的概率．相互独立事件发生的概率【精彩点拨】明确已知事件的概率及其关系→把待求事件的概率表示成已知事件的概率→选择公式计算求值【解】令事件A，B，C分别表示A，B，C三个独立的研究机构在一定时期内成功研制出该疫苗，依题意可知，事件A，B，C相互独立，且P(A)＝15，P(B)＝14，P(C)＝13.(1)他们都研制出疫苗，即事件A，B，C同时发生，故P(A∩B∩C)＝P(A)×P(B)×P(C)＝15×14×13＝160.(2)他们都失败即事件A，B，C同时发生，故P(A∩B∩C)＝P(A)×P(B)×P(C)＝(1－P(A))(1－P(B))(1－P(C))＝1－151－141－13＝45×34×23＝25.(3)“他们能研制出疫苗”的对立事件为“他们都失败”，结合对立事件间的概率关系可得所求事件的概率P＝1－P(A∩B∩C)＝1－25＝35.1．求相互独立事件同时发生的概率的步骤(1)首先确定各事件之间是相互独立的；(2)确定这些事件可以同时发生；(3)求出每个事件的概率，再求积．2．使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的，而且它们能同时发生．2．一个袋子中有3个白球，2个红球，每次从中任取2个球，取出后再放回，求：(1)第1次取出的2个球都是白球，第2次取出的2个球都是红球的概率；(2)第1次取出的2个球1个是白球、1个是红球，第2次取出的2个球都是白球的概率．【解】记“第1次取出的2个球都是白球”的事件为A，“第2次取出的2个球都是红球”的事件为B，“第1次取出的2个球中1个是白球、1个是红球”的事件为C，很明显，由于每次取出后再放回，A，B，C都是相互独立事件．(1)P(A∩B)＝P(A)P(B)＝C23C25×C22C25＝310×110＝3100.故第1次取出的2个球都是白球，第2次取出的2个球都是红球的概率是3100.(2)P(C∩A)＝P(C)P(A)＝C13·C12C25·C23C25＝610·310＝950.故第1次取出的2个球中1个是白球、1个是红球，第2次取出的2个球都是白球的概率是950.[探究问题]1．甲、乙二人各进行一次射击比赛，记A＝“甲击中目标”，B＝“乙击中目标”，试问事件A与B是相互独立事件，还是互斥事件？事件A∩B与A∩B呢？【提示】事件A与B，A与B，A与B均是相互独立事件，而A∩B与A∩B是互斥事件．事件的相互独立性与互斥性2．在探究1中，若甲、乙二人击中目标的概率均是0.6，如何求甲、乙二人恰有一人击中目标的概率？【提示】“甲、乙二人恰有1人击中目标”记为事件C，则C＝A∩B＋A∩B.所以P(C)＝P(A∩B＋A∩B)＝P(A∩B)＋P(A∩B)＝P(A)·P(B)＋P(A)·P(B)＝(1－0.6)×0.6＋0.6×(1－0.6)＝0.48.3．由探究1、2，你能归纳出相互独立事件与互斥事件的区别吗？【提示】相互独立事件与互斥事件的区别相互独立事件互斥事件条件事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响不可能同时发生的两个事件符号相互独立事件A，B同时发生，记做：AB互斥事件A，B中有一个发生，记做：A∪B(或A＋B)计算公式P(A∩B)＝P(A)P(B)P(A∪B)＝P(A)＋P(B)【例3】红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A，B，C进行围棋比赛，甲对A、乙对B、丙对C各一盘．已知甲胜A、乙胜B、丙胜C的概率分别为0.6,0.5,0.5.假设各盘比赛结果相互独立．求：(1)红队中有且只有一名队员获胜的概率；(2)求红队至少两名队员获胜的概率．【精彩点拨】弄清事件“红队有且只有一名队员获胜”与事件“红队至少两名队员获胜”是由哪些基本事件组成的，及这些事件间的关系，然后选择相应概率公式求值．【解】设甲胜A的事件为D，乙胜B的事件为E，丙胜C的事件为F，则D，E，F分别表示甲不胜A、乙不胜B、丙不胜C的事件．因为P(D)＝0.6，P(E)＝0.5，P(F)＝0.5，由对立事件的概率公式知P(D)＝0.4，P(E)＝0.5，P(F)＝0.5.(1)红队有且只有一名队员获胜的事件有D∩E∩F，D∩E∩F，D∩E∩F，以上3个事件彼此互斥且独立．∴红队有且只有一名队员获胜的概率P1＝P[(D∩E∩F)∪(D∩E∩F)∪(D∩E∩F)]＝P(D∩E∩F)＋P(D∩E∩F)＋P(D∩E∩F)＝0.6×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＝0.35.(2)法一：红队至少两人获胜的事件有：D∩E∩F，D∩E∩F，D∩E∩F，D∩E∩F.由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，因此红队至少两人获胜的概率为P＝P(D∩E∩F)＋P(D∩E∩F)＋P(D∩E∩F)＋P(D∩E∩F)＝0.6×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.55.法二：“红队至少两人获胜”与“红队最多一人获胜”为对立事件，而红队都不获胜为事件D∩E∩F，且P(D∩E∩F)＝0.4×0.5×0.5＝0.1.∴红队至少两人获胜的概率为P2＝1－P1－P(D∩E∩F)＝1－0.35－0.1＝0.55.1．本题(2)中用到直接法和间接法．当遇到“至少”“至多”问题可以考虑间接法．2．求复杂事件的概率一般可分三步进行：(1)列出题中涉及的各个事件，并用适当的符号表示它们；(2)理清各事件之间的关系，恰当地用事件间的“并”“交”表示所求事件；(3)根据事件之间的关系准确地运用概率公式进行计算．3．(2019·全国卷Ⅱ)11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10∶10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立．在某局双方10∶10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束．(1)求P(X＝2)；(2)求事件“X＝4且甲获胜”的概率．【解】(1)X＝2就是某局双方10∶10平后，两人又打了2个球该局比赛结束，则这2个球均由甲得分，或者均由乙得分．因此P(X＝2)＝0.5×0.4＋(1－0.5)×(1－0.4)＝0.5.(2)X＝4且甲获胜，就是某局双方10∶10平后，两人又打了4个球该局比赛结束，且这4个球的得分情况为：前两球是甲、乙各得1分，后两球均为甲得分．因此所求概率为[0.5×(1－0.4)＋(1－0.5)×0.4]×0.5×0.4＝0.1.当堂达标固双基1．抛掷3枚质地均匀的硬币，A＝{既有正面向上又有反面向上}，B＝{至多有一个反面向上}，则A与B的关系是()A．互斥事件B．对立事件C．相互独立事件D．不相互独立事件【解析】由已知，有P(A)＝1－28＝34，P(B)＝1－48＝12，P(A∩B)＝38，满足P(AB)＝P(A)P(B)，则事件A与事件B相互独立，