搜索
第二章概率2.1离散型随机变量及其分布列2.1.3超几何分布学习目标：1.理解超几何分布及其推导过程．(重点、难点)2.能用超几何分布解决一些简单的实际问题．(难点)自主预习探新知教材整理超几何分布阅读教材P44～P45例1以上部分，完成下列问题．设有总数为N件的两类物品，其中一类有M件，从所有物品中任取n件(n≤N)，这n件中所含这类物品件数X是一个离散型随机变量，它取值为m时的概率为___________________(0≤m≤l，l为n和M中较小的一个)，则称离散型随机变量X的这种形式的概率分布为超几何分布，也称X服从参数为N，M，n的超几何分布．P(X＝m)＝CmMCn－mN－MCnN1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)超几何分布的模型是不放回抽样．()(2)超几何分布的总体里可以有两类或三类特点．()(3)超几何分布中的参数是N，M，n.()(4)超几何分布的总体往往由差异明显的两部分组成．()【答案】(1)√(2)×(3)√(4)√2．设10件产品中有3件次品，现从中抽取5件，则C23C37C510表示()A．5件产品中有3件次品的概率B．5件产品中有2件次品的概率C．5件产品中有2件正品的概率D．5件产品中至少有2件次品的概率【解析】根据超几何分布的定义可知C23表示从3件次品中任选2件，C37表示从7件正品中任选3件，故选B．【答案】B合作探究提素养【例1】从放有10个红球与15个白球的暗箱中，随意摸出5个球，规定取到一个白球得1分，一个红球得2分，求某人摸出5个球，恰好得7分的概率．【精彩点拨】摸出5个球得7分，即摸出2个红球，3个白球，然后利用超几何分布的概率公式求解即可．超几何分布概率公式的应用【解】设摸出的红球个数为X，则X服从超几何分布，其中N＝25，M＝10，n＝5，由于摸出5个球，得7分，仅有两个红球的可能，那么恰好得7分的概率为P(X＝2)＝C210C315C525≈0.385，即恰好得7分的概率约为0.385.1．解答此类问题的关键是先分析随机变量是否满足超几何分布．若满足，则直接利用公式解决；若不满足，则应借助相应概率公式求解．2．注意公式中M，N，n的含义．1．在8个大小相同的球中，有2个黑球，6个白球，现从中取3个，求取出的球中白球个数X的分布列．【解】X的可能取值是1,2,3.P(X＝1)＝C16·C22C38＝328；P(X＝2)＝C26·C12C38＝1528；P(X＝3)＝C36·C02C38＝514.故X的分布列为X123P3281528514【例2】袋中有4个红球，3个黑球，这些球除颜色外完全相同，从袋中随机抽取球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，从袋中任取4个球．(1)求得分X的分布列；(2)求得分大于6分的概率．【精彩点拨】写出X的可能值→求出每个X对应的概率→写出分布列超几何分布的分布列【解】(1)从袋中任取4个球的情况为：1红3黑，2红2黑，3红1黑，4红，共四种情况，得分分别为5分，6分，7分，8分，故X的可能取值为5,6,7,8.P(X＝5)＝C14C33C47＝435，P(X＝6)＝C24C23C47＝1835，P(X＝7)＝C34C13C47＝1235，P(X＝8)＝C44C47＝135.故所求分布列为X5678P43518351235135(2)根据随机变量的分布列可以得到大于6分的概率为P(X6)＝P(X＝7)＋P(X＝8)＝1235＋135＝1335.求超几何分布的分布列时，关键是分清其公式中M，N，n的值，然后代入公式即可求出相应取值的概率，最后写出分布列.2．在本例中，设X1为取得红球的分数之和，X2为取得黑球的分数之和，X＝|X1－X2|，求X的分布列．【解】从袋中任取4个球的情况为：1红3黑，X1＝2，X2＝3，X＝1；2红2黑，X1＝4，X2＝2，X＝2；3红1黑，X1＝6，X2＝1，X＝5；4红，X1＝8，X2＝0，X＝8.P(X＝1)＝C14C33C47＝435，P(X＝2)＝C24C23C47＝1835，P(X＝5)＝C34C13C47＝1235，P(X＝8)＝C44C47＝135.故所求的分布列为：X1258P43518351235135[探究问题]从含有5件次品的100件产品中任取3件．这100件产品可分几类？取到的次品数X的取值有哪些？求次品数X＝2的概率．【提示】产品分两类：次品和非次品；X取值为：0,1,2,3；P(X＝2)＝C25C195C3100≈0.006.超几何分布的综合应用【例3】在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品，有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品，其余6张没有奖品．(1)顾客甲从10张奖券中任意抽取1张，求中奖次数X的分布列；(2)顾客乙从10张奖券中任意抽取2张，①求顾客乙中奖的概率；②设顾客乙获得的奖品总价值为Y元，求Y的分布列．【精彩点拨】(1)从10张奖券中抽取1张，其结果有中奖和不中奖两种，故X～(0,1)．(2)从10张奖券中任意抽取2张，其中含有中奖的奖券的张数X(X＝1,2)服从超几何分布．【解】(1)抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情况，故X的取值只有0和1两种情况．P(X＝1)＝C14C110＝410＝25，则P(X＝0)＝1－P(X＝1)＝1－25＝35.因此X的分布列为X01P3525(2)①顾客乙中奖可分为互斥的两类事件：所抽取的2张奖券中有1张中奖或2张都中奖．故所求概率P＝C14C16＋C24C06C210＝3045＝23.②Y的所有可能取值为0,10,20,50,60，且P(Y＝0)＝C04C26C210＝1545＝13，P(Y＝10)＝C13C16C210＝1845＝25，P(Y＝20)＝C23C06C210＝345＝115，P(Y＝50)＝C11C16C210＝645＝215，P(Y＝60)＝C11C13C210＝345＝115.因此随机变量Y的分布列为Y010205060P1325115215115解决超几何分布问题的两个关键点1．超几何分布是概率分布的一种形式，一定要注意公式中字母的范围及其意义，解决问题时可以直接利用公式求解，但不能机械地记忆．2．超几何分布中，只要知道M，N，n，就可以利用公式求出X取不同k的概率P(X＝k)，从而求出X的分布列．3．现有10张奖券，其中8张1元，2张5元，从中同时任取3张，求所得金额的分布列．【解】设所得金额为X，X的可能取值为3,7,11.P(X＝3)＝C38C310＝715，P(X＝7)＝C28C12C310＝715，P(X＝11)＝C18·C22C310＝115.故X的分布列为X3711P715715115当堂达标固双基1．今有电子元件50个，其中一级品45个，二级品5个，从中任取3个，出现二级品的概率为()A.C35C350B．C12＋C25＋C35C350C．1－C345C350D．C15C25＋C25C145C350【解析】出现二级品的情况较多，可以考虑不出现二级品概率为C345C350，故答案为1－C345C350.【答案】C2．一批产品共10件，次品率为20%，从中任取2件，则恰好取到1件次品的概率为()A.2845B．1645C.1145D．1745【解析】由题意知10件产品中有2件次品，故所求概率为P(X＝1)＝C12C18C210＝1645.【答案】B3．一个盒子里装有大小相同的红球、白球共30个，其中白球4个．从中任取两个，则概率为C126C14＋C24C230的事件是()A．没有白球B．至少有一个白球C．至少有一个红球D．至多有一个白球【解析】C126C14＋C24C230＝C126C14C230＋C24C230表示任取的两个球中只有一个白球和两个都是白球的概率，即至少有一个白球的概率．【答案】B4．某10人组成兴趣小组，其中有5名团员，从这10人中任选4人参加某种活动，用X表示4人中的团员人数，则P(X＝3)＝________.【解析】P(X＝3)＝C35C15C410＝521.【答案】5215．在一次英语口语考试中，有备选的10道试题，已知某考生能答对其中的8道试题，规定每次考试都从备选题中任选3道题进行测试，至少答对2道题才算合格，求该考生答对试题数X的分布列，并求该考生合格的概率．【解】X可以取1,2,3.P(X＝1)＝C18·C22C310＝115，P(X＝2)＝C28·C12C310＝715，P(X＝3)＝C38·C02C310＝715.所以X的分布列为：X123P115715715该考生合格的概率为P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝715＋715＝1415.