2019-2020学年高中数学 第2章 概率 2.1.2 离散型随机变量的分布列课件 新人教B版选修

第二章概率2.1离散型随机变量及其分布列2.1.2离散型随机变量的分布列学习目标：1.理解取有限值的离散型随机变量及其分布列的概念与性质.2.会求出某些简单的离散型随机变量的分布列．(重点)3.理解二点分布的定义，并能简单的运用．(难点)自主预习探新知教材整理1离散型随机变量的分布列阅读教材P41～P42例1以上部分，完成下列问题．1．定义要掌握一个离散型随机变量X的取值规律，必须知道：(1)X所有可能取的值x1，x2，…，xn；(2)X取每一个值xi的概率p1，p2，…，pn，需要列出下表：Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn此表称为离散型随机变量X的，或称为离散型随机变量X的．2．性质(1)pi0，i＝1,2,3，…，n；(2)p1＋p2＋…＋pn＝.概率分布分布列≥1判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在离散型随机变量分布列中，每一个可能值对应的概率可以为任意的实数．()(2)离散型随机变量的分布列的每个随机变量取值对应概率都相等．()(3)在离散型随机变量分布列中，所有概率之和为1.()【解析】(1)×因为在离散型随机变量分布列中每一个可能值对应随机事件的概率均在[0,1]范围内．(2)×因为分布列中的每个随机变量能代表的随机事件，并非都是等可能发生的事件．(3)√由分布列的性质可知，该说法正确．【答案】(1)×(2)×(3)√教材整理2二点分布阅读教材P42例1以下部分，完成下列问题．如果随机变量X的分布列为X01P______其中0＜p＜1，q＝1－p，则称离散型随机变量X服从参数为p的二点分布．qp设某项试验成功的概率是失败概率的2倍，记Y＝0，试验失败，1，试验成功，则P(Y＝0)＝()A．0B．12C.13D．23【解析】由题意知，可设P(Y＝1)＝p，则P(Y＝0)＝1－p，又p＝2(1－p)，解得p＝23，故P(Y＝0)＝13.【答案】C合作探究提素养【例1】设随机变量X的分布列为P(X＝i)＝ia(i＝1,2,3,4)，求：(1)P(X＝1或X＝2)；(2)P12X72.【精彩点拨】先由分布列的性质求a，再根据X＝1或X＝2，12X72的含义，利用分布列求概率．分布列及其性质的应用【解】(1)∵i＝14pi＝1a＋2a＋3a＋4a＝1，∴a＝10，则P(X＝1或X＝2)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝110＋210＝310.(2)由a＝10，可得P12X72＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝110＋210＋310＝35.利用分布列及其性质解题时要注意以下两个问题：1X的各个取值表示的事件是互斥的.2不仅要注意i＝1npi＝1，而且要注意pi≥0，i＝1，2，…，n.1．若离散型随机变量X的分布列为：X01P4a－13a2＋a求常数a及相应的分布列．【解】由分布列的性质可知：3a2＋a＋4a－1＝1，即3a2＋5a－2＝0，解得a＝13或a＝－2，又因4a－10，即a14，故a≠－2.所以a＝13，此时4a－1＝13，3a2＋a＝23.所以随机变量X的分布列为：X01P1323【例2】口袋中有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，现从中随机取出3个球，用X表示取出的最大号码，求X的分布列．【精彩点拨】X的可能取值为3,4,5,6，是离散型随机变量．可以利用组合数公式与古典概型概率公式求各种取值的概率．求离散型随机变量的分布列【解】随机变量X的可能取值为3,4,5,6.从袋中随机取3个球，包含的基本事件总数为C36，事件“X＝3”包含的基本事件总数为C33，事件“X＝4”包含的基本事件总数为C11C23，事件“X＝5”包含的基本事件总数为C11C24，事件“X＝6”包含的基本事件总数为C11C25.从而有P(X＝3)＝C33C36＝120，P(X＝4)＝C11C23C36＝320，P(X＝5)＝C11C24C36＝310，P(X＝6)＝C11C25C36＝12，所以随机变量X的分布列为X3456P120320310121．求离散型随机变量的分布列的步骤(1)找出随机变量ξ的所有可能的取值xi(i＝1,2，…，n)．(2)求出取每一个值的概率P(ξ＝xi)＝pi.(3)列出表格．2．求离散型随机变量分布列时应注意的问题(1)确定离散型随机变量ξ的分布列的关键是要搞清ξ取每一个值对应的随机事件，进一步利用排列、组合知识求出ξ取每一个值的概率．对于随机变量ξ取值较多时，应由简单情况先导出一般的通式，从而简化过程．(2)在求离散型随机变量ξ的分布列时，要充分利用分布列的性质，这样不但可以减少运算量，还可验证分布列是否正确．2．从装有6个白球，4个黑球和2个黄球的箱中随机地取出两个球，规定每取出一个黑球赢2元，而每取出一个白球输1元，取出黄球无输赢，以X表示赢得的钱数，随机变量X可以取哪些值呢？求X的分布列．【解】从箱中取两个球的情形有以下6种：{2白}，{1白1黄}，{1白1黑}，{2黄}，{1黑1黄}，{2黑}．当取到2白时，结果输2元，随机变量X＝－2；当取到1白1黄时，输1元，随机变量X＝－1；当取到1白1黑时，随机变量X＝1；当取到2黄时，X＝0；当取到1黑1黄时，X＝2；当取到2黑时，X＝4.则X的可能取值为－2，－1,0,1,2,4.P(X＝－2)＝C26C212＝522，P(X＝－1)＝C16C12C212＝211，P(X＝0)＝C22C212＝166，P(X＝1)＝C16C14C212＝411，P(X＝2)＝C14C12C212＝433，P(X＝4)＝C24C212＝111.从而得到X的分布列如下：X－2－10124P522211166411433111[探究问题]1．利用随机变量研究一类问题，如抽取的奖券是否中奖，买回的一件产品是否为正品，新生婴儿的性别，投篮是否命中等，这些问题有什么共同点？【提示】这些问题的共同点是随机试验只有两个可能的结果．定义一个随机变量，使其中一个结果对应于1，另一个结果对应于0，即得到服从二点分布的随机变量．二点分布2．只取两个不同值的随机变量是否一定服从二点分布？【提示】不一定．如随机变量X的分布列由下表给出X25P0.30.7X不服从二点分布，因为X的取值不是0或1.【例3】袋内有10个白球，5个红球，从中摸出2个球，记X＝0，两球全红，1，两球非全红.求X的分布列．【精彩点拨】X只有两个可能取值，属于二点分布，应用概率知识求出X＝0的概率，最后列出表格的形式即可．【解】由题设可知X服从二点分布．P(X＝0)＝C25C215＝221，P(X＝1)＝1－P(X＝0)＝1921.∴X的分布列为X01P2211921两步法判断一个分布是否为二点分布1．看取值：随机变量只取两个值0和1.2．验概率：检验P(X＝0)＋P(X＝1)＝1是否成立．如果一个分布满足以上两点，则该分布是二点分布，否则不是二点分布．3．若离散型随机变量X的分布列为X01P2a3a则a＝()A.12B．13C.15D．110【解析】由离散型随机变量分布列的性质可知，2a＋3a＝1，解得a＝15.【答案】C当堂达标固双基1．设X是一个离散型随机变量，其分布列为X01P9a2－a3－8a则常数a的值为()A.13B．23C.13或23D．－13或－23【解析】[由离散型随机变量分布列的性质可得9a2－a＋3－8a＝1，0≤9a2－a≤1，0≤3－8a≤1，解得a＝13.]【答案】A2．已知随机变量X的分布列为P(X＝k)＝12k，k＝1,2，….则P(2＜X≤4)等于()A.316B．14C.116D．15【解析】2＜X≤4时，X＝3,4.所以P(2＜X≤4)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝123＋124＝316.【答案】A3．随机变量η的分布列如下：η123456P0.2x0.350.10.150.2则x＝________，P(η≤3)＝________.【解析】由分布列的性质得0．2＋x＋0.35＋0.1＋0.15＋0.2＝1，解得x＝0.故P(η≤3)＝P(η＝1)＋P(η＝2)＋P(η＝3)＝0.2＋0.35＝0.55.【答案】00.554．已知随机变量X只能取三个值x1，x2，x3，其概率依次成等差数列，则公差d的取值范围为________．【解析】设X的分布列为Xx1x2x3Pa－daa＋d由离散型随机变量分布列的基本性质知a－d＋a＋a＋d＝1，0≤a－d≤1，0≤a＋d≤1，解得－13≤d≤13.【答案】－13，135．在学校组织的足球比赛中，某班要与其他4个班级各赛一场，在这4场比赛的任意一场中，此班级每次胜、负、平的概率相等．已知当这4场比赛结束后，该班胜场多于负场．(1)求该班级胜场多于负场的所有可能的个数和；(2)若胜场次数为X，求X的分布列．【解】(1)若胜一场，则其余为平，共有C14＝4种情况；若胜两场，则其余两场为一负一平或两平，共有C24C12＋C24＝18种情况；若胜三场，则其余一场为负或平，共有C34×2＝8种情况；若胜四场，则只有一种情况．综上，共有31种情况．(2)X的可能取值为1,2,3,4，P(X＝1)＝431，P(X＝2)＝1831，P(X＝3)＝831，P(X＝4)＝131，所以X的分布列为X1234P4311831831131