2019-2020学年高中数学 第2章 点、直线、平面之间的位置关系 2.3.4 平面与平面垂直的性

数学必修②·人教A版新课标导学第二章点、直线、平面之间的位置关系2.3直线、平面垂直的判定及其性质2.3.4平面与平面垂直的性质1自主预习学案2互动探究学案3课时作业学案自主预习学案教室内的黑板所在的平面与地面所在的平面垂直，在黑板上任意画一条直线与地面垂直吗？怎样画一条直线方能与地面垂直？平面与平面垂直的性质定理文字语言两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面______符号语言α⊥βα∩β＝l________________⇒a⊥β图形语言作用证明直线与平面垂直垂直a⊂αa⊥l1．已知平面α⊥平面β，则下列结论正确的个数是()①α内垂直于α与β交线的直线必垂直于β内的无数条直线；②在β内垂直于α与β的交线的直线必垂直于α内的任意一条直线；③α内的任何一条直线必垂直于β；④过β内的任意一点作α与β交线的垂线，则这条直线必垂直于α．A．4B．3C．2D．1C[解析]序号正误理由①√设α∩β＝l，a⊂α，b⊂β，b⊥l，则a⊥b，故β内与b平行的无数条直线均垂直于α内的任意直线②√β内垂直于α与β交线的直线垂直于平面α，则它垂直于α内的任意直线③×α内不与交线垂直的直线不垂直于β④×垂直于交线的直线必须在平面β内才与平面α垂直，否则不垂直2．如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB上任取一点E，作EF⊥A1B1于F，则EF与平面A1B1C1D1的关系是()A．平行B．EF⊂平面A1B1C1D1C．相交但不垂直D．相交且垂直[解析]∵平面ABB1A1⊥平面A1B1C1D1，EF⊂平面ABB1A1，平面ABB1A1∩平面A1B1C1D1＝A1B1，EF⊥A1B1，∴EF⊥平面A1B1C1D1．D3．在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，已知平面AA1C1C⊥平面ABCD，且AB＝BC，AD＝CD，则BD与CC1()A．平行B．共面C．垂直D．不垂直C[解析]如图所示，在四边形ABCD中，∵AB＝BC，AD＝CD.∴BD⊥AC．∵平面AA1C1C⊥平面ABCD，平面AA1C1C∩平面ABCD＝AC，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥平面AA1C1C．又CC1⊂平面AA1C1C，∴BD⊥CC1，故选C．4．已知三棱锥P－ABC中，侧面PAC与底面ABC垂直，PA＝PB＝PC．(1)求证：AB⊥BC；(2)若AB＝BC，过点A作AF⊥PB于点F，连接CF，求证：平面PBD⊥平面AFC．[解析]如图所示：(1)取AC的中点D，连接PD、BD，∵PA＝PC，∴PD⊥AC，又平面PAC⊥平面ABC，且平面PAC∩平面ABC＝AC，∴PD⊥平面ABC，D为垂足．∵PA＝PB＝PC，∴DA＝DB＝DC，∴AC为△ABC的外接圆的直径，故AB⊥BC．(2)∵PA＝PC，AB＝BC，PB＝PB，∴△ABP≌△CBP．∵AF⊥PB，∴CF⊥PB，又AF∩CF＝F，∴PB⊥平面AFC，又PB⊂平面PBD，∴平面PBD⊥平面AFC．互动探究学案命题方向1⇨面面垂直性质的应用如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是∠DAB＝60°的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD．典例1[思路分析]解答本题可先由面面垂直依据面面垂直的性质定理得线面垂直．[解析]连接PG，BD，∵四边形ABCD是菱形且∠DAB＝60°，∴△ABD是正三角形，∵G是AD的中点，∴BG⊥AD．又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴BG⊥平面PAD．『规律方法』1.若所给题目中有面面垂直的条件，一般要利用面面垂直的定理将其转化为线面垂直、线线垂直．在应用面面垂直的性质定理时，注意三点：①两个平面垂直，是前提条件；②直线必须在其中一个平面内；③直线必须垂直于它们的交线．2．先找条件中有没有在一个平面内与交线垂直的直线，若没有与交线垂直的直线，一般需作辅助线，基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线，这样便把面面垂直问题转化为线面垂直问题，进而转化为线线垂直问题．〔跟踪练习1〕已知P是△ABC所在平面外的一点，且PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC，求证：BC⊥AC．[解析]如图，在平面PAC内作AD⊥PC于点D，∵平面PAC⊥平面PBC，AD⊂平面PAC，且AD⊥PC，∴AD⊥平面PBC，又BC⊂平面PBC，∴AD⊥BC．∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC，∵AD∩PA＝A，∴BC⊥平面PAC，又AC⊂平面PAC，∴BC⊥AC．命题方向2⇨与面面垂直有关的计算如图所示，平面α⊥平面β，在α与β的交线l上取线段AB＝4cm，AC、BD分别在平面α和平面β内，AC⊥l，BD⊥l，AC＝3cm，BD＝12cm，求线段CD的长．典例2[思路分析]要求CD的长，由BD⊥l，α⊥β易知△BCD为直角三角形，已知BD的长，只要知道BC的长即可．由AC⊥l知△ABC为直角三角形，从而可解．[解析]∵AC⊥l，AC＝3cm，AB＝4cm，∴BC＝5cm．∵BD⊥l，α∩β＝l，α⊥β，BD⊂β，∴BD⊥α．又BC⊂α，∴BD⊥BC．在Rt△BDC中，DC＝BD2＋BC2＝13cm．『规律方法』1.与面面垂直有关的计算问题的类型：(1)求角的大小(或角的某个三角函数值)：如两异面直线所成的角、线面角、二面角等．(2)求线段的长度或点到直线、平面的距离等．(3)求几何体的体积或平面图形的面积．2．计算问题的解决方法：(1)上述计算问题一般在三角形中求解．所给条件中的面面垂直首先转化为线面垂直，然后转化为线线垂直．往往把计算问题归结为一个直角三角形中的计算问题．(2)求几何体的体积时要注意应用转换顶点法，求线段的长度或点到平面的距离时往往也应用几何体中的转换顶点(等体积)法．〔跟踪练习2〕如图所示，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与平面α、β所成的角分别为45°和30°，过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为A′、B′，且AB＝12，求A′B′的长．[解析]连接A′B、AB′．在△AA′B中，∠AA′B＝90°，∠ABA′＝30°，AB＝12，所以A′B＝63．在△ABB′中，∠BB′A＝90°，∠BAB′＝45°，AB＝12，所以BB′＝62，在△A′B′B中，∠A′B′B＝90°，A′B＝63，BB′＝62，所以A′B′＝6．线线、线面、面面垂直关系的综合应用主要体现了转化思想，其转化关系如下：转化思想在线线、线面、面面垂直关系中的应用已知：α，β，γ是三个不同的平面，l为直线，α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l.求证：l⊥γ．典例3[解析]证法一：在γ内取一点P，作PA垂直α与γ的交线于A，作PB垂直β与γ的交线于B，∵α⊥γ，β⊥γ，则PA⊥α，PB⊥β，∵l＝α∩β，∴l⊥PA，l⊥PB，∵PA与PB相交，又PA⊂γ，PB⊂γ，∴l⊥γ．证法二：在α内作直线m垂直于α与γ的交线，在β内作直线n垂直于β与γ的交线，∵α⊥γ，β⊥γ，∴m⊥γ，n⊥γ，∴m∥n，又n⊂β，∴m∥β，又m⊂α，α∩β＝l，∴m∥l，∴l⊥γ．证法三：在l上取一点P，过P作γ的垂线l′，P∈lα∩β＝l⇒P∈αP∈βP∈αP∈l′l′⊥γα⊥γ⇒l′⊂α同理l′⊂β⇒α∩β＝l′α∩β＝l⇒l′与l重合l′⊥γ⇒l⊥γ．『规律方法』(1)证法一、证法二都是利用“两平面垂直时，在一个平面内垂直于两平面的交线的直线垂直于另一个平面”的这一性质，添加了在一个平面内垂直于交线的直线这样的辅助线．这是证法一、证法二的关键．证法三是利用“如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内”这一性质，添加了l′这条辅助线，这是解法三的关键．通过此例，应仔细体会两平面垂直时，添加辅助线的方法．又在原题条件下，添加条件b∥α，b∥β，求证b⊥γ.在l上任取一点B，过b和B的平面交α于过B的直线a′，交β于过B的直线a″，∵b∥α，∴a′∥b，同理b∥a″，∵a′和a″同时过B且平行于b．∴a′和a″重合于直线l，由l⊥γ可得b⊥γ．(2)在垂直的判定定理和性质定理中，有很多限制条件，如“相交直线”“线在面内”“平面经过一直线”等．这些条件一方面有很强的约束性；另一方面又为证明指出了方向．在利用定理时，既要注意定理的严谨性，又要注意推理的规律性．〔跟踪练习3〕如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝π2，AB＝BC＝1，AD＝2，E是AD的中点，O是AC与BE的交点．将△ABE沿BE折起到△A1BE的位置，如图2．图1图2(1)证明：CD⊥平面A1OC；(2)若平面A1BE⊥平面BCDE，求二面角A1－DC－B的大小．[解析]在图1中，因为AB＝BC＝12AD＝1，E是AD的中点，∠BAD＝π2，所以BE⊥AC．又在图2中，BE⊥A1O，BE⊥OC，A1O∩OC＝O，从而BE⊥平面A1OC．又CD∥BE，所以CD⊥平面A1OC．图1图2(2)因为OC⊥CD，A1C⊥CD，所以∠A1CO即为二面角A1－DC－B的平面角，计算得∠A1CO＝45°．如图所示，四棱锥P－ABCD的底面是一个直角梯形，AB∥CD，BA⊥AD，CD＝2AB，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点，则平面EBD能垂直于平面ABCD吗？请说明理由．典例4考虑问题不全面，导致证明过程不严谨[错解]平面EBD不能垂直于平面ABCD.理由如下：假设平面EBD垂直于平面ABCD，过E作EO⊥BD于O，连接AO、CO．∵EO⊂平面EBD，EO⊥BD，平面EBD∩平面ABCD＝BD，∴EO⊥平面ABCD．又∵PA⊥平面ABCD，∴EO∥PA．又∵E是PC的中点，∴O是AC的中点．又∵AB∥CD，∴△ABO∽△CDO．又∵AO＝OC，∴AB＝CD，这与CD＝2AB矛盾，∴假设不成立．故平面EBD不能垂直于平面ABCD．[错因分析]错误的原因是默认了A、O、C三点共线，而A、O、C三点若不共线，则△ABO∽△CDO不成立．事实上，很容易证A、O、C三点共线，由于A、O、C是PC上三点P、E、C在平面ABCD上的投影，故P、E、C三点的投影均在直线AC上，故A、O、C三点共线，补上这一点证明就完整了．[正解]平面EBD不能垂直于平面ABCD.理由如下：假设平面EBD垂直于平面ABCD，过E作EO⊥BD于O，连接AO、CO．∵EO⊂平面EBD，EO⊥BD，平面EBD∩平面ABCD＝BD，∴EO⊥平面ABCD．又∵PA⊥平面ABCD，∴EO∥PA．∵A、O、C是PC上三点P、E、C在平面ABCD上的投影，∴P、E、C三点的投影均在直线AC上，∴A、O、C三点共线．又∵E是PC的中点，∴O是AC的中点．又∵AB∥CD，∴△ABO∽△CDO．又∵AO＝OC，∴AB＝CD，这与CD＝2AB矛盾，∴假设不成立．故平面EBD不能垂直于平面ABCD．1．设两个平面互相垂直，则()A．一个平面内的任何一条直线垂直于另一个平面B．过交线上一点垂直于一个平面的直线必在另一平面上C．在一个平面内过交线上一点垂直于交线的直线，必垂直于另一个平面D．分别在两个平面内的两条直线互相垂直[解析]由面面垂直的性质可知，选C．C2．如图所示，三棱锥P－ABC中，平面PAB⊥平面ABC，PA＝PB，AD＝DB，则()A．PD⊂平面ABCB．PD⊥平面ABCC．PD与平面ABC相交但不垂直D．PD∥平面ABC[解析]∵PA＝PB，AD＝DB，∴PD⊥AB．又∵平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB，PD⊂平面PAB，∴PD⊥平面ABC．B3．如图所示，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是正方形，SA⊥平面ABCD，且SA＝AB，点E为AB的中点，点F为SC的中点．求证：(1)EF⊥CD；(2)平面SCD⊥平面SCE．[解析](1)连接AC、AF、BF．∵SA⊥平面ABCD，∴SA⊥AC，∴△SAC为直角三角形．又∵F为SC