2019-2020学年高中数学 第2章 点、直线、平面之间的位置关系 2.3.3 直线与平面垂直的性

第二章点、直线、平面之间的位置关系2.3直线、平面垂直的判定及其性质2.3.3直线与平面垂直的性质2.3.4平面与平面垂直的性质学习目标核心素养1.理解直线和平面垂直、平面与平面垂直的性质定理，并能用文字、符号和图形语言描述定理．(重点)2.能应用线面垂直、面面垂直的性质定理证明相关问题．(重点、难点)3.理解平行与垂直之间的相互转化．(易错点)1.通过学习直线与平面垂直的性质，提升直观想象、逻辑推理的数学素养.2.通过学习平面与平面垂直的性质，提升直观想象、逻辑推理、数学运算的数学素养.自主预习探新知1．直线与平面垂直的性质定理文字语言垂直于同一个平面的两条直线____符号语言a⊥αb⊥α⇒______图形语言作用①线面垂直⇒线线平行②作平行线平行a∥b思考：过一点有几条直线与已知平面垂直？[提示]有且仅有一条．假设过一点有两条直线与已知平面垂直，由直线与平面垂直的性质定理可得这两条直线平行，应无公共点，这与过同一点相矛盾，故只有一条直线．2．平面与平面垂直的性质定理文字语言两个平面垂直，则__________垂直于____的直线与另一个平面____符号语言α⊥βα∩β＝l____________⇒a⊥β一个平面内交线垂直a⊂αa⊥l图形语言作用①面面垂直⇒____垂直②作面的垂线线面思考：如果α⊥β，则α内的直线必垂直于β内的无数条直线吗？[提示]正确．若设α∩β＝l，a⊂α，b⊂β，b⊥l，则a⊥b，故β内与b平行的无数条直线均垂直于α内的任意直线．1．直线n⊥平面α，n∥l，直线m⊂α，则l、m的位置关系是()A．相交B．异面C．平行D．垂直D[由题意可知l⊥α，所以l⊥m.]2．若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则()A．α∥γB．α⊥γC．α与γ相交但不垂直D．以上都有可能D[可能平行，也可能相交．如图，α与δ平行，α与γ垂直．]3．已知直线a，b，平面α，且a⊥α，下列条件中，能推出a∥b的是()A．b∥αB．b⊂αC．b⊥αD．b与α相交C[由线面垂直的性质定理可知，当b⊥α，a⊥α时，a∥b.]4．平面α⊥平面β，直线l⊂α，直线m⊂β，则直线l，m的位置关系是________．相交、平行或异面[根据题意，l，m可能相交、平行或异面．]合作探究提素养线面垂直性质定理的应用【例1】如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC.求证：MN∥AD1.[证明]因为四边形ADD1A1为正方形，所以AD1⊥A1D.又因为CD⊥平面ADD1A1，所以CD⊥AD1.因为A1D∩CD＝D，所以AD1⊥平面A1DC.又因为MN⊥平面A1DC，所以MN∥AD1.证明线线平行常用如下方法：1利用线线平行定义：证共面且无公共点；2利用三线平行公理：证两线同时平行于第三条直线；3利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行；4利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直；5利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行.1．如图，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，直线a⊂β，a⊥AB.求证：a∥l.[证明]因为EA⊥α，α∩β＝l，即l⊂α，所以l⊥EA.同理l⊥EB.又EA∩EB＝E，所以l⊥平面EAB.因为EB⊥β，a⊂β，所以EB⊥a，又a⊥AB，EB∩AB＝B，所以a⊥平面EAB.由线面垂直的性质定理，得a∥l.面面垂直性质定理的应用【例2】如图，在三棱锥P­ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC.求证：BC⊥AB.[证明]如图，在平面PAB内，作AD⊥PB于点D.∵平面PAB⊥平面PBC，且平面PAB∩平面PBC＝PB，AD⊂平面PAB，∴AD⊥平面PBC.又BC⊂平面PBC，∴AD⊥BC.又∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC，又∵PA∩AD＝A，∴BC⊥平面PAB.又AB⊂平面PAB，∴BC⊥AB.1．证明或判定线面垂直的常用方法：(1)线面垂直的判定定理；(2)面面垂直的性质定理；(3)若a∥b，a⊥α，则b⊥α(a、b为直线，α为平面)；(4)若a⊥α，α∥β，则a⊥β(a为直线，α，β为平面)；2．两平面垂直的性质定理告诉我们要将面面垂直转化为线面垂直，方法是在其中一个面内作(找)与交线垂直的直线．2．如图，四棱锥V­ABCD的底面是矩形，侧面VAB⊥底面ABCD，又VB⊥平面VAD.求证：平面VBC⊥平面VAC.[证明]∵面VAB⊥面ABCD，且BC⊥AB，面VAB∩面ABCD＝AB，BC⊂平面ABCD.∴BC⊥面VAB，又VA⊂平面VAB，∴BC⊥VA，又VB⊥面VAD，∴VB⊥VA，又VB∩BC＝B，∴VA⊥面VBC，∵VA⊂面VAC，∴平面VBC⊥平面VAC.线线、线面、面面垂直的综合应用[探究问题]试总结线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的转化关系．[提示]垂直问题转化关系如下所示：【例3】如图所示，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中点，求证：(1)DE＝DA；(2)平面BDM⊥平面ECA；(3)平面DEA⊥平面ECA.思路探究：(1)设出BD，分别求出DE、DA的长度或证明DM⊥AE，即证DM为AE的中垂线即可．(2)(3)只需证明DM⊥平面ECA即可．[证明](1)设BD＝a，如图，作DF∥BC交CE于F，则CF＝DB＝a.因为CE⊥平面ABC，所以BC⊥CF，DF⊥EC，所以DE＝EF2＋DF2＝5a.又因为DB⊥平面ABC，所以DA＝DB2＋AB2＝5a，所以DE＝DA.(2)取CA的中点N，连接MN，BN，则MN═∥12CE═∥DB.所以四边形MNBD为平行四边形，所以MD∥BN.又因为EC⊥平面ABC，所以EC⊥BN，EC⊥MD.又DE＝DA，M为EA的中点，所以DM⊥AE.所以DM⊥平面AEC，所以平面BDM⊥平面ECA.(3)由(2)知DM⊥平面AEC，而DM⊂平面DEA，所以平面DEA⊥平面ECA.本例条件不变，试求平面ADE与平面ABC所成二面角的大小．[解]如图延长ED交CB延长线于点N，连接AN，设BD＝a，由例题知，CE＝AC＝BC＝AB＝2a，在△CEN中，由BDCE＝12知B为CN中点，∴CB＝BN＝2a.∴△ABN中，∠ABN＝120°，∠BAN＝∠BNA＝30°，∴∠CAN＝90°，即NA⊥CA.又EC⊥平面ABC，∴EC⊥NA，又CA∩CE＝C，∴NA⊥平面ACE，∴NA⊥AE，NA⊥AC，且AN为平面ADE与平面ABC的交线．∴∠CAE为平面ADE与平面ABC所成二面角的平面角，在Rt△ACE中，AC＝CE，∴∠CAE＝45°.所以平面ADE与平面ABC所成二面角为45°.垂直关系的互化及解题策略：空间问题化成平面问题是解决立体几何问题的一个基本原则，解题时，要抓住几何图形自身的特点，如等腰边三角形的三线合一、中位线定理、菱形的对角线互相垂直等.还可以通过解三角形，产生一些题目所需要的条件，对于一些较复杂的问题，注意应用转化思想解决问题.1．线面垂直的性质定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系相互转化的依据．2．面面垂直的性质定理揭示了“面面垂直、线面垂直及线线垂直”间的内在联系，体现了数学中的化归转化思想，其转化关系如下：当堂达标固双基1．直线a与直线b垂直，直线b⊥平面α，则直线a与平面α的位置关系是()A．a⊥αB．a∥αC．a⊂αD．a⊂α或a∥αD[a⊥b，b⊥α，则a∥α或a⊂α.选D.]2．已知l⊥平面α，直线m⊂平面β.有下面四个命题：①α∥β⇒l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③l∥m⇒α⊥β；④l⊥m⇒α∥β.其中正确的两个命题是()A．①②B．③④C．②④D．①③D[∵l⊥α，α∥β，∴l⊥β，∵m⊂β，∴l⊥m，故①正确；∵l∥m，l⊥α，∴m⊥α，又∵m⊂β，∴α⊥β，故③正确．]3．如图所示，三棱锥P­ABC中，平面ABC⊥平面PAB，PA＝PB，AD＝DB，则()A．PD⊂平面ABCB．PD⊥平面ABCC．PD与平面ABC相交但不垂直D．PD∥平面ABCB[∵PA＝PB，AD＝DB，∴PD⊥AB.又∵平面ABC⊥平面PAB，平面ABC∩平面PAB＝AB，∴PD⊥平面ABC.]4．如图所示，在四棱锥S­ABCD中，底面ABCD是矩形，侧面SDC⊥底面ABCD，求证：平面SCD⊥平面SBC.[证明]因为底面ABCD是矩形，所以BC⊥CD.又平面SDC⊥平面ABCD，平面SDC∩平面ABCD＝CD，BC⊂平面ABCD，所以BC⊥平面SCD.又因为BC⊂平面SBC.所以平面SCD⊥平面SBC.