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数学必修②·人教A版新课标导学第二章点、直线、平面之间的位置关系2.2直线、平面平行的判定及其性质2.2.2平面与平面平行的判定1自主预习学案2互动探究学案3课时作业学案自主预习学案2011年10月16日，在日本举行的世界体操锦标赛上，中国男子体操队在男团夺冠后，队长陈一冰在吊环比赛中获得冠军，这是他第四次获得世锦赛吊环冠军．吊环项目对运动员双臂力量要求很高，所有动作均由双臂支撑完成．“水平十字”是吊环的标志性动作，要求运动员在双臂支撑下，在空中将身体舒展，所形成的平面与地面平行，身体躯干与双臂要形成“十字”形，且需静止两秒以上．在比赛中，裁判只要观察运动员双臂、躯干是否与地面平行，即可判断该动作是否标准．平面与平面平行的判定定理文字语言一个平面内的两条________直线与另一个平面________，则这两个平面平行图形语言符号语言a⊂β，b⊂β，___________，a∥α，b∥α⇒α∥β作用证明两个平面平行相交平行a∩b＝P1．若α∥β，a∥α，则a与β的关系为()A．a∥βB．a⊂βC．a∥β或a⊂βD．a∩β＝A[解析]如图(1)所示，a⊂β，如图(2)所示，a∥β．C2．在如图所示的几何体中，三个侧面AA1B1B、BB1C1C、CC1A1A都是平行四边形．则平面ABC与平面A1B1C1平行吗？______(填“是”或“否”)．是[解析]∵四边形AA1B1B是平行四边形，∴AB∥A1B1，又∵A1B1⊂平面A1B1C1，AB⊄平面A1B1C1，∴AB∥平面A1B1C1．同理BC∥平面A1B1C1．又∵AB∩BC＝B，AB⊂平面ABC，BC⊂平面ABC．∴平面ABC∥平面A1B1C1．3．已知三棱锥P－ABC中，D、E、F分别是棱PA、PB、PC的中点．求证：平面DEF∥平面ABC．[解析]如图所示，在△PAB中，因为D、E分别是PA、PB的中点，所以DE∥AB．又AB⊂平面ABC，DE⊄平面ABC，因此DE∥平面ABC．同理，EF∥平面ABC．又因为DE∩EF＝E，所以平面DEF∥平面ABC．互动探究学案命题方向1⇨两个平面平行的判定如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，点D，E分别是BC与B1C1的中点．求证：平面A1EB∥平面ADC1．典例1[思路分析]要证平面A1EB∥平面ADC1，只需证平面A1EB内有两条相交直线平行于平面ADC1即可．[解析]如图，由棱柱的性质知，B1C1∥BC，B1C1＝BC．又D、E分别为BC，B1C1的中点，所以C1E∥DB，C1E＝DB，则四边形C1DBE为平行四边形，因此EB∥C1D．又C1D⊂平面ADC1，EB⊄平面ADC1，所以EB∥平面ADC1．连接DE，同理，EB1∥BD，EB1＝BD，所以四边形EDBB1为平行四边形，则ED∥B1B，ED＝B1B．因为B1B∥A1A，B1B＝A1A(棱柱的性质)，所以ED∥A1A，ED＝A1A，则四边形EDAA1为平行四边形，所以A1E∥AD．又A1E⊄平面ADC1，AD⊂平面ADC1，所以A1E∥平面ADC1．由A1E∥平面ADC1，EB∥平面ADC1，A1E⊂平面A1EB，EB⊂平面A1EB，且A1E∩EB＝E，所以平面A1EB∥平面ADC1．『规律方法』平面与平面平行的判定方法：(1)定义法：两个平面没有公共点；(2)判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面；(3)转化为线线平行：平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相交直线分别平行，则α∥β；(4)利用平行平面的传递性：若α∥β，β∥γ，则α∥γ．〔跟踪练习1〕如图，已知四棱锥P－ABCD的底面ABCD是平行四边形，点M，N，Q分别在PA，BD，PD上，且PMMA＝BNND＝PQQD，求证：平面MNQ∥平面PBC．[解析]∵在三角形PBD中，BNND＝PQQD，∴QN∥PB，∴QN∥平面PBC，同理PMMA＝PQQD，∴MQ∥AD．又底面ABCD是平行四边形，则AD∥BC，∴MQ∥BC，∴MQ∥平面PBC．而MQ∩NQ＝Q，MQ⊂平面MNQ，NQ⊂平面MNQ，∴平面MNQ∥平面PBC．已知底面是平行四边形的四棱锥P－ABCD，点E在PD上，且PEED＝21，在棱PC上是否存在一点F，使BF∥面AEC？证明你的结论，并说出点F的位置．[思路分析]解答本题应抓住BF∥面AEC．先找BF所在的平面平行于平面AEC，再确定F的位置．典例2数学思维能力培养——存在型探索性问题[解析]如下图所示，连接BD交AC于O点，连接OE，过B点作OE的平行线交PD于点G，过点G作GF∥CE，交PC于点F，连接BF．∵BG∥OE，BG⊄平面AEC，OE⊂平面AEC，∴BG∥平面AEC．同理，GF∥平面AEC，又BG∩GF＝G．∴平面BGF∥平面AEC，又∵BF⊂平面BGF，∴BF∥平面AEC．∵BG∥OE，O是BD中点，∴E是GD中点．又∵PEED＝21，∴G是PE中点．而GF∥CE，∴F为PC中点．综上，当点F是PC中点时，BF∥平面AEC．『规律方法』探索性问题，一般采用执果索因的方法，假设求解的结果存在，从这个结果出发，寻找使这个结论成立的充分条件，如果找到了符合题目结果要求的条件，则存在；如果找不到符合题目结果要求的条件(出现矛盾)，则不存在．〔跟踪练习2〕如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO?[解析]当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO．∵Q为CC1的中点，P为DD1的中点，∴QB∥PA．而QB⊄平面PAO，PA⊂平面PAO，∴QB∥平面PAO．连接DB，∵P、O分别为DD1，DB的中点，∴PO为△DBD1的中位线，∴D1B∥PO．而D1B⊄平面PAO，PO⊂平面PAO，∴D1B∥平面PAO．又D1B∩QB＝B，∴平面D1BQ∥平面PAO．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是AA1、BB1、CC1、DD1的中点，求证：平面EFGH∥平面ABCD．[错解]∵E、F分别是AA1和BB1的中点，∴EF∥AB，又EF⊄平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴EF∥平面ABCD，同理可证，HG∥平面ABCD．又EF⊂平面EG，HG⊂平面EG，∴平面EFGH∥平面ABCD．典例3应用定理条件不足，推理论证不严密致误[错因分析]错解中，EF与HG是平面EG内的两条平行直线，不是相交直线，不符合面面平行的判定定理的条件，因此证明不正确．[正解]∵E、F分别是AA1和BB1的中点，∴EF∥AB，又EF⊄平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴EF∥平面ABCD．同理可证EH∥平面ABCD．又EF⊂平面EG，EH⊂平面EG，EF∩EH＝E，∴平面EFGH∥平面ABCD．[警示]利用面面平行的判定定理证明两个平面平行时，所满足的条件必须是明显或已经证明成立的，并且要与定理条件保持一致，否则容易导致错误．1．六棱柱的表面中，互相平行的面最多有()A．2对B．3对C．4对D．5对[解析]底面为正六边形的六棱柱，互相平行的面最多．C2．下列结论中，错误的是()A．平行于同一直线的两个平面平行B．平行于同一平面的两个平面平行C．平行于同一平面的两直线关系不确定D．两平面平行，一平面内的直线必平行于另一平面[解析]如图正方体ABCD－A1B1C1D1中，BB1∥平面ADD1A1，BB1∥平面DCC1D1，而平面ADD1A1∩平面DCC1D1＝DD1．A3．如图所示，已知正方体ABCD－A1B1C1D1，求证：平面AB1D1∥平面BDC1．[解析]∵AB綊A1B1，C1D1綊A1B1，∴AB綊C1D1．∴四边形ABC1D1为平行四边形．∴AD1∥BC1．又AD1⊂平面AB1D1，BC1⊄平面AB1D1，∴BC1∥平面AB1D1．同理BD∥平面AB1D1．又∵BD∩BC1＝B，∴平面AB1D1∥平面BDC1．