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数学必修②·人教A版新课标导学第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.3空间中直线与平面之间的位置关系2.1.4平面与平面之间的位置关系1自主预习学案2互动探究学案3课时作业学案自主预习学案观察我们的教室，教室的墙面、地面、天花板均可抽象成平面，把日光灯抽象成一条直线，那么日光灯所在直线与墙面、地面、天花板有何位置关系？1．空间中直线与平面的位置关系(1)位置关系：有且只有三种①直线在平面内——有________个公共点；②直线与平面相交——________________公共点；③直线与平面平行——________公共点．直线与平面________或________的情况统称为直线在平面外．[归纳总结]“直线与平面不相交”和“直线与平面没有公共点”表示不同的意义，前者包括直线与平面平行及直线在平面内这两种情况，而后者仅指直线与平面平行．无数有且只有一个没有相交平行(2)符号表示：直线l在平面α内，记为__________；直线l与平面α相交于点M，记为______________；直线l与平面α平行，记为__________.(3)图示：直线l在平面α内，如图a所示；直线l与平面α相交于点M，如图b所示；直线l与平面α平行，如图c所示．l⊂αl∩α＝Ml∥α2．两个平面之间的位置关系(1)位置关系：有且只有两种①两个平面平行——________公共点；②两个平面相交——有________公共直线．(2)符号表示：两个平面α、β平行，记为α∥β；两个平面α、β相交于直线l，记为______________.(3)图示：两个平面α、β平行，如图a所示；两个平面α、β相交于直线l，如图b所示．没有一条α∩β＝l1．直线m∥平面α，则m与α的公共点有()A．0个B．1个C．2个D．无数个[解析]∵m∥α，∴m与α没有公共点．A2．直线l与平面α有两个公共点，则()A．l⊂αB．l∥αC．l与α相交D．l∈α[解析]如果一条直线上有两个点在一个平面内，那么这条直线就在这个平面内．A3．已知两个不同的平面α、β，若M∈平面α，M∈平面β，则α与β的位置关系是()A．平行B．相交C．重合D．不确定[解析]两个不同的平面若有一个公共点，则这两个平面一定有一条过这个公共点的公共直线．B4．若直线a不在平面α内，则直线a与平面α的公共点的个数为__________.[解析]当直线a与平面平行时，公共点有0个；当直线a与平面α相交时，公共点有1个．0或1互动探究学案下列五个结论中正确结论的个数是()①如果a、b是两条直线，a∥b，那么a平行于经过b的任何一个平面；②如果直线a和平面α满足a∥α，那么a与平面α内的任何一条直线平行；③如果直线a、b满足a∥α，b∥α，那么a∥b；④如果直线a、b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，那么b∥α；⑤如果a与平面α上的无数条直线平行，那么直线a必平行于平面α.A．0B．1C．2D．3命题方向1⇨直线与平面的位置关系B典例1[解析]如图所示，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，AA′∥BB′，AA′却在过BB′的平面ABB′A′内，故①错；AA′∥平面BB′C′C，BC⊂平面BB′C′C，但AA′不平行于BC，故②错；AA′∥平面BB′C′C，A′D′∥平面BB′C′C，但AA′与A′D′相交，故③错；A′B′∥C′D′，A′B′∥平面ABCD，C′D′⊄平面ABCD，则C′D′∥平面ABCD，故④正确；AA′显然与平面ABB′A′中的无数条直线平行，但AA′⊂平面ABB′A′，故⑤错误，故选B.『规律方法』直线与平面位置关系的判断：(1)空间直线与平面位置关系的分类是解决问题的突破口，这类判断问题，常用分类讨论的方法解决．另外，借助模型(如正方体、长方体等)也是解决这类问题的有效方法．(2)要证明直线在平面内，只要证明直线上两点在平面α内，要证明直线与平面相交，只需说明直线与平面只有一个公共点，要证明直线与平面平行，则必须说明直线与平面没有公共点．〔跟踪练习1〕在下列结论中，不是公理的是()A．平行于同一个平面的两个平面相互平行B．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线[解析]由立体几何基本知识知，B为公理2，C为公理1，D为公理3，A不是公理．A已知α，β为平面，A，B，M，N为相异四点，a为直线，下列推理错误的是()A．A∈a，A∈β，B∈a，B∈β⇒a⊂βB．M∈α，M∈β，N∈α，N∈β⇒α∩β＝直线MNC．A∈α，A∈β⇒α∩β＝AD．A，B，M∈α，A，B，M∈β，且A，B，M不共线⇒α，β重合命题方向2⇨两个平面的位置关系C典例2[解析]在选项A中，∵直线a上两个点A，B都在β内，∴a⊂β，故A正确；在选项B中，∵不同点M，N分别是两个不同平面α，β的公共点，∴α∩β＝直线MN，故B正确；在选项C中，∵A∈α，A∈β，∴A∈α∩β，由基本性质3可知α∩β为经过点A的一条直线而不是点A，故α∩β＝A的写法错误，故C错误；在选项D中，由不共线的三个点确定一个平面可知D正确．『规律方法』判断两平面之间的位置关系时，可把自然语言转化为图形语言，搞清图形间的相对位置是确定的还是可变的，借助于空间想象能力，确定平面间的位置关系．〔跟踪练习2〕如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么两个平面的位置关系一定是()A．平行B．相交C．平行或相交D．不能确定[解析]由题目分别在两个平面内的两直线平行判定两平面是相交或平行．解答本题可逆向考虑画两平行面，看是否能在此两面内画两条平行线．同样画两相交面，看是否能在此两面内画两条平行线，再作出选择(如图所示)．C已知：直线a∥b，a∩平面α＝P.求证：直线b与平面α相交．[思路分析]解答此类问题要首先把符号语言转化为图形语言，即依据题意作图，然后根据已知条件证明，若直接证明较困难，则宜采用反证法．即先假设原结论不成立，则原结论的反面就成立，然后把原结论的反面和题设条件作为条件进行推理，直到推出一个明显错误的结论．从而肯定原结论正确．推理证明的一种间接方法——反证法典例3[解析]如图，∵a∥b，∴a和b确定平面β，∵a∩α＝P，∴平面α和平面β相交于过P点的直线l.∵在平面β内l和两条平行直线a，b中的一条直线a相交，∴l必和b相交于Q，即b∩l＝Q，又因为b不在平面α内(若b在α内，则α和β都过两相交直线b和l，因此α和β重合)，l在α内，故直线b和平面α相交．『规律方法』应用反证法证题时，要全面考虑反面的各种情况，逐一推出矛盾进行排除，具体步骤为：(1)假设结论不成立；(2)归谬；(3)否定假设，肯定结论．〔跟踪练习3〕如果一条直线经过平面内的一点，又经过平面外的一点，则此直线和平面相交．已知：A∈α，A∈a，B∉α，B∈a.求证：直线a与平面α相交．[解析]假设直线a和平面α不相交，则a∥α或a⊂α.假设a∥α，就与A∈α，A∈a矛盾；假设a⊂α，就与B∉α，B∈a矛盾．∴假设不成立．∴直线a与平面α相交．设P是异面直线a、b外的一点，则过P与a、b都平行的平面()A．有且只有一个B．恰有两个C．没有或只有一个D．有无数个[错解]如图，过P作a1∥a，b1∥b.∵a1∩b1＝P，∴过a1、b1有且只有一个平面．故选A.对空间线面位置关系考虑不全面致误典例4C[错因分析]错解是因为对空间概念理解不透彻，对P点位置没有作全面地分析，只考虑了一般情况，而忽略了特殊情形．事实上，当直线a(或b)与点P确定的平面恰与直线b(或a)平行时，与a、b都平行的平面就不存在了．[正解]C[警示]对于空间中的线面和面面位置关系问题，应注意结合实例，全面考虑，认真分析所有可能的情形，才能避免判断失误．1．圆柱的两个底面的位置关系是()A．相交B．平行C．平行或异面D．相交或异面[解析]圆柱的两个底面无公共点，则它们平行．B2．直线a与平面α平行，直线b⊂α，则a与b的位置关系是()A．相交B．平行C．异面D．平行或异面[解析]∵a∥α，∴a与α无公共点，又∵b⊂α，∴a与b无公共点，∴a∥b或a与b异面．D3．若两个平面互相平行，则分别在这两个平行平面内的直线()A．平行B．异面C．相交D．平行或异面[解析]两个平面内的直线必无交点，所以不是异面必是平行．D4．过平面α外一点，作直线l∥α，则这样的直线l有________条．[解析]过平面α外一点可以作无数条直线平行于平面α.无数