2019-2020学年高中数学 第2章 参数方程章末复习课课件 北师大版选修4-4

第二章参数方程章末复习课体系构建[自我校对]①圆的参数方程②椭圆的参数方程③代数法④平摆线的参数方程⑤渐开线的参数方程题型探究参数法求动点的轨迹方程满足一定条件的动点所形成的图形即为动点的轨迹，而轨迹方程实际上为轨迹曲线的方程．求轨迹方程是解析几何的主要问题之一，大致分为直接法和间接法两种方法．其中，参数法求轨迹方程是常用的间接法．【例1】如图，正方形ABCD的边长为1，P，Q分别为BC，CD上的点，△CPQ的周长为2，(1)求∠PAQ的大小；(2)建立恰当的直角坐标系，试求△APQ的重心的轨迹．[精彩点拨](1)利用平面图形的性质，先求tanPAQ再求角；(2)建系后把重心坐标用参数θ(θ＝∠BOP)表示，消参即得轨迹方程．[尝试解答](1)设BP＝p，DQ＝q，∠BAP＝α，∠DAQ＝β，其中0＜p＜1,0＜q＜1，α，β∈0，π4，则tanα＝p，tanβ＝q，∴tan(α＋β)＝p＋q1－pq，又(1－p)＋(1－q)＋1－p2＋1－q2＝2，∴(1－p)2＋(1－q)2＝(p＋q)2，∴1－pq＝p＋q，∴tan(α＋β)＝1.又0＜α＋β＜π2，∴α＋β＝π4，∴∠PAQ＝π4.(2)以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴，建立直角坐标系，如图．设∠BOP＝θ，由(1)得，∠BOQ＝π4＋θ，其中0＜θ＜π4.∴P点的坐标为(1，tanθ)，Q点的坐标为1tanθ＋π4，1，又设△APQ的重心为G(x，y)，由重心坐标公式得：x＝131＋1tanθ＋π4＝231＋tanθ，y＝131＋tanθ(θ为参数)，消去参数θ，得y＝29x.又0＜θ＜π4，∴0＜tanθ＜1，∴13＜x＜23，13＜y＜23，∴△APQ的重心G的轨迹是双曲线xy＝29在第一象限内的一部分．1．已知动点P，Q都在曲线C：x＝2cosβ，y＝2sinβ(β为参数)上，对应参数分别为β＝α与β＝2α(0α2π)，M为PQ的中点．(1)求M的轨迹的参数方程；(2)将M到坐标原点的距离d表示为α的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点．[解](1)依题意有P(2cosα，2sinα)，Q(2cos2α，2sin2α)，因此M(cosα＋cos2α，sinα＋sin2α)．M的轨迹的参数方程为x＝cosα＋cos2α，y＝sinα＋sin2α(α为参数，0α2π)．(2)M点到坐标顶点的距离d＝x2＋y2＝2＋2cosα(0α2π)．当α＝π时，d＝0，故M的轨迹过坐标原点．直线的参数方程的应用直线参数方程的应用非常广泛，主要用来解决直线与圆锥曲线的位置关系问题．在解决这类问题时，应用直线的参数方程，利用直线参数方程中参数t的几何意义，可以避免通过解方程组求交点等繁琐运算，使问题得到简化，由于直线的参数方程有多种形式，只有标准形式中的参数才具有明显的几何意义．【例2】已知点P(3,2)平分抛物线y2＝4x的一条弦AB，求弦AB的长．[精彩点拨]利用直线参数方程中参数的几何意义求解．[尝试解答]设弦AB所在的直线方程为x＝3＋tcosα，y＝2＋tsinα(t为参数)，代入方程y2＝4x整理得：t2sin2α＋4(sinα－cosα)t－8＝0.①因为点P(3,2)是弦AB的中点，由参数t的几何意义可知，方程①的两个实根t1，t2满足关系t1＋t2＝0，即sinα－cosα＝0.因为0≤απ，所以α＝π4，因为|AB|＝|t1－t2|＝t1＋t22－4t1t2＝4·8sin2π4＝8.2．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x＝3－22t，y＝5＋22t(t为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，圆C的方程ρ＝25sinθ.(1)求圆C的直角坐标方程；(2)设圆C与直线l交于A，B．若点P的坐标为(3，5)，求|PA|＋|PB|.[解](1)由ρ＝25sinθ，得x2＋y2－25y＝0，即x2＋(y－5)2＝5.(2)将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得3－22t2＋22t2＝5，即t2－32t＋4＝0.由于Δ＝(32)2－4×4＝20，故可设t1，t2是上述方程的两实根，所以t1＋t2＝32，t1·t2＝4.又直线l过点P(3，5)，故由上式及t的几何意义得|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝t1＋t2＝32.圆锥曲线的参数方程椭圆、双曲线、抛物线统称为圆锥曲线．对于椭圆的参数方程，要明确a，b的几何意义以及离心角φ的意义，要分清椭圆上一点的离心角φ和这点与坐标原点连线倾斜角θ的关系，双曲线的参数方程中，要注意参数的取值范围，且它们的参数方程都有多种形式．【例3】椭圆x216＋y24＝1上有P，Q两点，O为椭圆中心，OP，OQ的斜率分别为kOP，kOQ，且kOP·kOQ＝－14.(1)求|OP|2＋|OQ|2的值；(2)求线段PQ中点的轨迹方程．[精彩点拨]利用椭圆的参数方程设点P(4cosθ1,2sinθ1)，Q(4cosθ1,2sinθ2)，充分利用已知条件建立方程求解．[尝试解答](1)设P点的坐标为(4cosθ1,2sinθ1)，Q点的坐标为(4cosθ2,2sinθ2)．∵kOP·kOQ＝－14，∴2sinθ14cosθ1·2sinθ24cosθ2＝－14，∴cos(θ1－θ2)＝0，∴θ1－θ2＝kπ＋π2(k∈Z)，∴sin2θ1＝cos2θ2，cos2θ1＝sin2θ2，∴|OP|2＋|OQ|2＝16cos2θ1＋4sin2θ1＋16cos2θ2＋4sin2θ2＝20，即|OP|2＋|OQ|2＝20.(2)设PQ的中点为(x，y)，则x＝2cosθ1＋cosθ2，y＝sinθ1＋sinθ2，∴x24＋y2＝(cosθ1＋cosθ2)2＋(sinθ1＋sinθ2)2＝2＋2cos(θ1－θ2)＝2，∴PQ中点的轨迹方程为x28＋y22＝1.3．在平面直角坐标系xOy中，设P(x，y)是椭圆x23＋y2＝1上的一个动点，求S＝x＋y的最大值．[解]因为椭圆x23＋y2＝1的参数方程为x＝3cosφ，y＝sinφ(φ为参数)．故可设动点P的坐标为(3cosφ，sinφ)，其中0≤φ2π.因此，S＝x＋y＝3cosφ＋sinφ＝232cosφ＋12sinφ＝2sinφ＋π3.所以当φ＝π6时，S取得最大值2.参数方程化为普通方程参数方程是用第三个变量(即参数)，分别表示曲线上任一点M的坐标x，y的另一种曲线方程的形式，它体现了x，y之间的一种关系，这种关系借助于中间桥梁——参数．有些参数具有物理或几何意义，在解决问题时，要注意参数的取值范围．在求轨迹方程问题时，参数的选择十分重要，参数必须与曲线上每一点都有密切关系，其次是能用参数较简捷地表示出x，y.在参数方程与普通方程的互化中，要注意参数方程与普通方程应是等价的，即它们所表示的应是同一条曲线．【例4】判断参数方程x＝1＋4t＋t21＋t2，y＝6＋2t21＋t2(t为参数)表示的曲线形状．[精彩点拨]根据参数方程的特点，可采用代数法消参，要注意自变量的范围．[尝试解答]x＝1＋4t＋t21＋t2＝1＋4t1＋t2，①y＝6＋2t21＋t2＝2＋41＋t2，②由①得x－1＝4t1＋t2，③由②得y－2＝41＋t2，④③÷④得x－1y－2＝t，代入④，得(x－1)2＋(y－4)2＝4.⑤由④知41＋t2＞0，所以y＞2，所以参数方程的普通方程为(x－1)2＋(y－4)2＝4(2＜y≤6)．可见，方程的曲线是以(1,4)为圆心，以2为半径的圆，不包括点(1,2)．4．已知曲线C的参数方程为x＝t－1t，y＝3t＋1t(t为参数，t0)，求曲线C的普通方程．[解]因为x2＝t＋1t－2，所以x2＋2＝t＋1t＝y3，故曲线C的普通方程为3x2－y＋6＝0.参数思想参数思想是一种重要的数学思想，尤其在运动变化型问题中．若能引入参数作桥梁，沟通变量之间的联系，既有利于揭示运动变化的本质规律，还能把多个变量统一体现在一个参变量上．【例5】直线l过点P0(－4,0)，它的参数方程为x＝－4＋32t，y＝12t(t为参数)与圆x2＋y2＝7相交于A，B两点．(1)求弦长|AB|；(2)过P0作圆的切线，求切线的长；(3)求|P0A|和|P0B|的长；(4)求交点A，B的坐标．[精彩点拨]充分利用参数思想，即参数的几何意义解决问题．[尝试解答]将直线l的参数方程代入圆的方程，得－4＋32t2＋12t2＝7，整理得t2－43t＋9＝0.(1)设A和B两点对应的参数分别为t1和t2，由根与系数的关系得t1＋t2＝43，t1·t2＝9，所以|AB|＝|t2－t1|＝t1＋t22－4t1t2＝23.(2)设圆过P0的切线为P0T，T在圆上，则|P0T|2＝|P0A|·|P0B|＝|t1t2|＝9，所以切线长|P0T|＝3.(3)解方程t2－43t＋9＝0，得t1＝33，t2＝3，所以|P0A|＝33，|P0B|＝3.(4)将t1＝33，t2＝3代入直线的参数方程，得点A的坐标为12，332，点B的坐标为－52，32.5．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x＝4cosθ，y＝4sinθ(θ为参数，且0≤θ＜2π)，点M是曲线C1上的动点．(1)求线段OM的中点P的轨迹的直角坐标方程；(2)以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若直线l的极坐标方程为ρcosθ－ρsinθ＋1＝0(ρ＞0)，求点P到直线l距离的最大值．[解](1)曲线C1上的动点M的坐标为(4cosθ，4sinθ)，坐标原点O(0,0)，设P点的坐标为(x，y)，则由中点坐标公式得x＝12(0＋4cosθ)＝2cosθ，y＝12(0＋4sinθ)＝2sinθ，所以点P的坐标为(2cosθ，2sinθ)，因此点P的轨迹的参数方程为x＝2cosθ，y＝2sinθ(θ为参数，且0≤θ＜2π)，消去参数θ得点P轨迹的直角坐标方程为x2＋y2＝4.(2)由直角坐标与极坐标关系x＝ρcosθ，y＝ρsinθ得直线l的直角坐标方程为x－y＋1＝0.又由(1)知，点P的轨迹为以原点为圆心，以2为半径的圆，因为原点(0,0)到直线x－y＋1＝0的距离为|0－0＋1|12＋－12＝12＝22，所以点P到直线l距离的最大值为2＋22.1．在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C1的极坐标方程为ρ(cosθ＋sinθ)＝－2，曲线C2的参数方程为x＝t2，y＝22t(t为参数)，则C1与C2交点的直角坐标为________．[解析]由ρ(cosθ＋sinθ)＝－2得x＋y＝－2.法一：由x＝t2，y＝22t，得y2＝8x，联立x＋y＝－2，y2＝8x，得x＝2，y＝－4，即交点坐标为(2，－4)．法二：把x＝t2，y＝22t代入x＋y＋2＝0得t2＋22t＋2＝0，解得t＝－2，∴x＝2，y＝－4，即交点坐标为(2，－4)．[答案](2，－4)2．如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆x2＋y2－x＝0的参数方程为________．[解析]将x2＋y2－x＝0配方，得x－122＋y2＝14，∴圆的直径为1.设P(x，y)，则x＝|OP|cosθ＝1×cosθ×cosθ＝cos2θ，y＝|OP|sinθ＝1×cosθ×sinθ＝sinθcosθ，∴圆x2＋y2－x＝0的参数方程为x＝cos2θ，y＝sinθcosθ(θ为参数)．[答案]x＝