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第二章参数方程2.2直线和圆的参数方程2.2.1直线的参数方程2.2.2圆的参数方程学习目标：1.理解直线的参数方程．(难点)2.掌握圆的参数方程．(重点)自主预习探新知1．直线的参数方程(1)经过点M0(x0，y0)，倾斜角为α(α≠π2)的直线l的参数方程为x＝__________________y＝__________________(t为参数)，其中参数t的几何意义是：|t|是直线l上任一点M(x，y)到点M0(x0，y0)的距离，即|t|＝|M0M|.x0＋tcosαy0＋tsinα1．直线的参数方程(2)设直线过点M0(x0，y0)，且与平面向量a＝(l，m)平行(或称直线与a共线，其中l，m都不为0)，直线的参数方程的一般形式为x＝__________y＝__________t∈R.x0＋lty0＋mt2．圆的参数方程若圆心在点M0(x0，y0)，半径为R，则圆的参数方程为x＝x0＋Rcosθy＝___________0≤θ≤2π.特别地，若圆心在原点，半径为R，则圆的参数方程为x＝Rcosθy＝Rsinθ.y0＋Rsinθ思考1：若直线l的倾斜角α＝0，则直线l的参数方程是什么？[提示]参数方程为x＝x0＋t，y＝y0.思考2：如何理解直线参数方程中参数的几何意义？[提示]过定点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为x＝x0＋tcosα，y＝y0＋tsinα，(t为参数)，其中t表示直线l上以定点M0为起点，任意一点M(x，y)为终点的向量M0M→的长度，即|t|＝|M0M→|.①当t＞0时，M0M→的方向向上；②当t＜0时，M0M→的方向向下；③当t＝0时，点M与点M0重合．1．直线x＝1＋tcosαy＝－2＋tsinα(α为参数，0≤α＜π)必过点()A．(1，－2)B．(－1,2)C．(－2,1)D．(2，－1)[解析]直线表示过点(1，－2)的直线．[答案]A2．已知直线l的参数方程为x＝－1－22ty＝2＋22t(t为参数)，则直线l的斜率为()A．1B．－1C．22D．－22[解析]消去参数t，得方程x＋y－1＝0，∴直线l的斜率k＝－1.[答案]B3．参数方程x＝cosαy＝1＋sinα(α为参数)化成普通方程为______．[解析]∵x＝cosαy＝1＋sinα(α为参数)，∴x＝cosα①y－1＝sinα②(α为参数)．①2＋②2得x2＋(y－1)2＝1，此即为所求普通方程．[答案]x2＋(y－1)2＝14．若直线x＝1－2ty＝2＋3t(t为参数)与直线4x＋ky＝1垂直，则常数k＝________.[解析]将x＝1－2ty＝2＋3t化为y＝－32x＋72，∴斜率k1＝－32，显然k＝0时，直线4x＋ky＝1与上述直线不垂直．∴k≠0，从而直线4x＋ky＝1的斜率k2＝－4k.依题意k1k2＝－1，即－4k×(－32)＝－1，∴k＝－6.[答案]－6合作探究提素养直线的参数方程【例1】已知直线l：x＝－3＋32ty＝2＋12t(t为参数)．(1)求直线l的倾斜角；(2)若点M(－33，0)在直线l上，求t，并说明t的几何意义．[思路探究]将直线l的参数方程化为标准形式，求得倾斜角，利用参数的几何意义，求得t.[解](1)由于直线l：x＝－3＋tcosπ6y＝2＋tsinπ6(t为参数)表示过点M0(－3，2)且倾斜角为π6的直线，故直线l的倾斜角α＝π6.(2)由(1)知，直线l的单位方向向量e＝(cosπ6，sinπ6)＝(32，12)．∵M0(－3，2)，M(－33，0)，∴M0M→＝(－23，－2)＝－4(32，12)＝－4e，∴点M对应的参数t＝－4，几何意义为|M0M→|＝4，且M0M→与e方向相反(即点M在直线l上点M0的左下方)．1．一条直线可以由定点M0(x0，y0)，倾斜角α(0≤α＜π)惟一确定，直线上的动点M(x，y)的参数方程为x＝x0＋tcosαy＝y0＋tsinα(t为参数)，这是直线参数方程的标准形式．2．直线参数方程的形式不同，参数t的几何意义也不同，过定点M0(x0，y0)，斜率为ba的直线的参数方程是x＝x0＋aty＝y0＋bt(a、b为常数，t为参数)．1．设直线l过点P(－3,3)，且倾斜角为5π6.(1)写出直线l的参数方程；(2)设此直线与曲线C：x＝2cosθy＝4sinθ(θ为参数)交于A，B两点，求|PA|·|PB|.[解](1)直线l的参数方程为x＝－3＋tcos56π＝－3－32ty＝3＋tsin56π＝3＋t2(t为参数)．(2)把曲线C的参数方程中参数θ消去，得4x2＋y2－16＝0.把直线l的参数方程代入曲线C的普通方程中，得4－3－32t2＋(3＋12t)2－16＝0.即13t2＋4(3＋123)t＋116＝0.由t的几何意义，知|PA|·|PB|＝|t1·t2|，故|PA|·|PB|＝|t1·t2|＝11613.圆的参数方程及应用【例2】设曲线C的参数方程为x＝2＋3cosθy＝－1＋3sinθ(θ为参数)，直线l的方程为x－3y＋2＝0，则曲线C上到直线l距离为71010的点的个数为()A．1B．2C．3D．4[思路探究]求曲线C的几何特征，化参数方程为普通方程(x－2)2＋(y＋1)2＝9，根据圆心到直线l的距离与半径大小作出判定．[解]由x＝2＋3cosθ，y＝－1＋3sinθ.得(x－2)2＋(y＋1)2＝9.曲线C表示以(2，－1)为圆心，以3为半径的圆，则圆心C(2，－1)到直线l的距离d＝710＝710103，所以直线与圆相交．所以过圆心(2，－1)与l平行的直线与圆的2个交点满足题意，又3－d71010，故满足题意的点有2个．[答案]B1．本题利用三角函数的平方关系，消去参数；数形结合，判定直线与圆的位置关系．2．参数方程表示怎样的曲线，一般是通过消参，得到普通方程来判断．特别要注意变量的取值范围．2．已知直线x＝y，与曲线x＝1＋2cosαy＝2＋2sinα(α为参数)相交于两点A和B，求弦长|AB|.[解]由x＝1＋2cosα，y＝2＋2sinα.得x－1＝2cosα，y－2＝2sinα.∴(x－1)2＋(y－2)2＝4，其圆心为(1,2)，半径r＝2，则圆心(1,2)到直线y＝x的距离d＝|1－2|12＋－12＝22.∴|AB|＝2r2－d2＝222－222＝14.直线参数方程的简单应用【例3】已知直线的参数方程为x＝1＋2ty＝2＋t(t为参数)，则该直线被圆x2＋y2＝9截得的弦长是多少？[思路探究]考虑参数方程标准形式中参数t的几何意义，所以首先要把原参数方程转化为标准形式x＝1＋25t′，y＝2＋15t′，再把此式代入圆的方程，整理得到一个关于t的一元二次方程，弦长即为方程两根之差的绝对值．[解]将参数方程x＝1＋2ty＝2＋t(t为参数)转化为直线参数方程的标准形式为x＝1＋25t′y＝2＋15t′(t′为参数)．代入圆方程x2＋y2＝9，得(1＋25t′)2＋(2＋15t′)2＝9，整理，得5t′2＋8t′－45＝0由韦达定理，t′1＋t′2＝－85，t′1·t′2＝－4.根据参数t′的几何意义．|t′1－t′2|＝t′1＋t′22－4t′1t′2＝1255，故直线被圆截得的弦长为1255.在直线参数方程的标准形式下，直线上两点之间的距离可用|t1－t2|来求．本题易错的地方是：将题目所给参数方程直接代入圆的方程求解，忽视了参数t的几何意义．3．若将条件改为“直线l经过点A(1,2)，倾斜角为π3，圆x2＋y2＝9不变”，试求：(1)直线l的参数方程；(2)直线l和圆x2＋y2＝9的两个交点到点A的距离之积．[解](1)直线l的参数方程为x＝1＋t2y＝2＋32t，(t为参数)．(2)将x＝1＋t2y＝2＋32t，代入x2＋y2＝9，得t2＋(1＋23)t－4＝0，∴t1t2＝－4.由参数t的几何意义，得直线l和圆x2＋y2＝9的两个交点到点A的距离之积为|t1t2|＝4.(教材P41习题2－2T6)写出过点A(－1,2)，倾斜角为34π的直线的参数方程，并求该直线与圆x2＋y2＝8的交点．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x＝acost，y＝1＋asint，(t为参数，a0)．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝4cosθ.(1)说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；(2)直线C3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tanα0＝2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.[命题意图]知识：曲线的参数方程与极坐标方程．能力：通过参数方程与极坐标方程的互化，考查转化与化归的数学思想方法．试题难度：中．[解](1)消去参数t得到C1的普通方程为x2＋(y－1)2＝a2，则C1是以(0,1)为圆心，a为半径的圆．将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入C1的普通方程中，得到C1的极坐标方程为ρ2－2ρsinθ＋1－a2＝0.(2)曲线C1，C2的公共点的极坐标满足方程组ρ2－2ρsinθ＋1－a2＝0，ρ＝4cosθ.若ρ≠0，由方程组得16cos2θ－8sinθcosθ＋1－a2＝0，由已知tanθ＝2，可得16cos2θ－8sinθcosθ＝0，从而1－a2＝0，解得a＝－1(舍去)或a＝1.当a＝1时，极点也为C1，C2的公共点，且在C3上．所以a＝1.