2019-2020学年高中数学 第2章 变化率与导数章末复习课课件 北师大版选修2-2

第二章变化率与导数章末复习课导数的定义求导【例1】利用导数的定义求函数y＝x2＋1的导数．思路探究：根据求导的步骤求解即可．[解]y′＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0fx＋Δx－fxΔx＝limΔx→0x＋Δx2＋1－x2＋1Δx＝limΔx→02x·Δx＋Δx2Δx[x＋Δx2＋1＋x2＋1]＝limΔx→02x＋Δxx＋Δx2＋1＋x2＋1＝xx2＋1.导数定义的理解函数f(x)在点x＝x0处的导数是f(x)在x0点附近的平均变化率ΔyΔx＝fx0＋Δx－fx0Δx；当Δx趋于0时的极限，即f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx，这是数学上的“逼近思想”．对于导数的定义，必须明确定义中包含的基本内容和Δx→0的方式，掌握用定义求导数的三个步骤以及用定义求导数的一些简单变形．1．设f(x)在x处可导，则limΔh→0fx＋h－fx－h2h＝()A．2f′(x)B．12f′(x)C．f′(x)D．4f′(x)C[limΔh→0fx＋h－fx－h2h＝limΔh→0fx＋h－fx＋fx－fx－h2h＝12limΔh→0fx＋h－fxh＋12limΔh→0fx－fx－hh＝f′(x)．]导数的几何意义的应用【例2】已知函数f(x)＝x3＋x－16.(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标．思路探究：(1)点(2，－6)在曲线上，利用y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；(2)点(0,0)不在曲线上要先设切点(x0，f(x0))再将(0,0)代入切线方程求切点即可求得．[解](1)可判定点(2，－6)在曲线y＝f(x)上．∵f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1，∴f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝13.∴切线的方程为y－(－6)＝13(x－2)，即y＝13x－32．(2)设切点为(x0，y0)，则直线l的斜率为f′(x0)＝3x20＋1，y0＝x30＋x0－16，∴直线l的方程为y＝(3x20＋1)(x－x0)＋x30＋x0－16.又∵直线l过点(0,0)，∴0＝(3x20＋1)(－x0)＋x30＋x0－16，整理得，x30＝－8，∴x0＝－2．∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，得切点坐标为(－2，－26)，k＝3×(－2)2＋1＝13.∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．利用几何意义求切线时的关键利用导数的几何意义求切线方程时关键是搞清所给的点是不是切点，常见的类型有两种，一是求“在某点处的切线方程”，则此点一定为切点，先求导，再求斜率代入直线方程即可得；另一类是求“过某点的切线方程”，这种类型中的点不一定是切点，可先设切点为Q(x1，y1)，则切线方程为y－y1＝f′(x1)(x－x1)，再由切线过点P(x0，y0)得y0－y1＝f′(x1)(x0－x1)，①又y1＝f(x1)，②由①②求出x1，y1的值，即求出了过点P(x0，y0)的切线方程．2．已知曲线y＝1x.(1)求曲线在点P(1,1)处的切线方程；(2)求曲线过点Q(1,0)的切线方程；(3)求满足斜率为－14的曲线的切线方程．[解]∵y＝1x，∴y′＝－1x2.(1)∵点P(1,1)在y＝1x上，∴k＝y′|x＝1＝－112＝－1．∴在点P(1,1)处的切线方程为：y－1＝－(x－1)．∴切线方程为：x＋y－2＝0.(2)∵点Q(1,0)不在曲线y＝1x上，可设切点为Ax0，1x0，∴在A点处的切线方程为：y－1x0＝－1x20(x－x0)．∴切线方程为：y＝－1x20x＋2x0.又∵切线过点Q(1,0)，∴－1x20＋2x0＝0，∴2x0－1＝0，∴x0＝12.∴切线方程为y＝－4x＋4.(3)设切点坐标为Bx1，1x1，则切线的斜率为k＝－1x21.又∵－1x21＝－14，∴x21＝4，∴x1＝2或－2，∴切点为B12，12或B2－2，－12，∴切线方程为：y－12＝－14(x－2)，或y＋12＝－14(x＋2)，∴切线方程为：y＝－14x＋1或y＝－14x－1．求函数的导数【例3】求下列函数的导数．(1)y＝(1＋x2)cosx；(2)y＝lnxx－2x；(3)y＝e－ax2＋bx.思路探究：认真分析解析式的特征，判断函数是由基本初等函数的和、差、积、商构成还是复合构成，然后选择相应的求导法则进行运算．[解](1)∵y＝(1＋x2)cosx，∴y′＝2xcosx＋(1＋x2)(－sinx)＝2xcosx－sinx－x2sinx.(2)∵y＝lnxx－2x，∴y′＝lnx′x－x′lnxx2－2xln2＝1－lnxx2－2xln2．(3)y＝eu，u＝－ax2＋bx.yx′＝yu′·ux′＝eu·(－ax2＋bx)′＝eu·(－2ax＋b)＝(－2ax＋b)e－ax2＋bx.运算法则求导的注意点求函数的导数要准确把函数分割为基本函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数．在求导过程中，要仔细分析出函数解析式的结构特征，根据导数运算法则，联系基本函数的导数公式．对于不具备导数运算法则结构形式的要进行适当恒等变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数，进而解决一些切线斜率、瞬时速度等问题．3．求下列函数的导数．(1)y＝xx2＋1x＋1x3；(2)y＝3x2－xx＋5x－9x；(3)y＝1＋ln2x.[解](1)∵y＝xx2＋1x＋1x3＝x3＋1＋1x2，∴y′＝3x2－2x3.(2)∵y＝3x32－x＋5－9x－12，∴y′＝3(x32)′－x′＋5′－9(x－12)′＝92x12－1＋92x-32＝92x1＋1x2－1．(3)y＝u12，u＝1＋v2，v＝lnx.yx′＝yu′·uv′·vx′＝12u－12·2v·1x＝12·11＋ln2x·2lnx·1x＝lnxx1＋ln2x.导数的综合问题【例4】设函数f(x)＝ax＋1x＋b(a，b∈Z)，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝3.(1)求f(x)的解析式；(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点的切线与直线x＝1和直线y＝x所围成的三角形的面积为定值，并求出此定值．思路探究：(1)用待定系数法求解，根据条件通过导数建立关于a，b的方程组，解方程组确定a，b从而得到f(x)的解析式．(2)设曲线上任一点坐标(x0，y0)，表示出该点的切线方程，然后证明三角形的面积与点(x0，y0)无关．[解](1)f′(x)＝a－1x＋b2，则依题意f′(2)＝0，f(2)＝3.于是2a＋12＋b＝3，a－12＋b2＝0，解得a＝1，b＝－1或a＝94，b＝－83.因为a，b∈Z，故f(x)＝x＋1x－1.(2)证明：在曲线上任取一点x0，x0＋1x0－1，由f′(x0)＝1－1x0－12，知在此点处的切线方程为y－x20－x0＋1x0－1＝1－1x0－12(x－x0)．令x＝1，得y＝x0＋1x0－1，即切线与直线x＝1的交点为1，x0＋1x0－1；令y＝x，得y＝2x0－1，即切线与直线y＝x的交点为(2x0－1,2x0－1)；又直线x＝1与直线y＝x的交点为(1,1)，从而所围成的三角形的面积为12x0＋1x0－1－1|2x0－1－1|＝122x0－1|2x0－2|＝2．所以，所围成的三角形的面积为定值2．导数应用中的数学思想导函数本身就是一种函数，因此在解决有关导数的问题时，常常会用到函数方程思想．函数的思想是用运动和变化的观点、集合与对应的思想去分析和研究数学问题中的数量关系，建立函数关系式或构造函数，运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决．方程思想就是分析数学问题中变量的等量关系，从而建立方程或方程组，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，从而使问题获得解决．4．已知直线x－2y－4＝0与抛物线y2＝x相交于A，B两点，O为坐标原点，试在抛物线的弧︵AOB上求一点P，使△ABP的面积最大．[解]设P(x0，y0)，过点P与AB平行的直线为l，如图．由于直线x－2y－4＝0与抛物线y2＝x相交于A，B两点，所以|AB|为定值，要使△ABP的面积最大，只要P到AB的距离最大，而P点是抛物线的弧︵AOB上的一点，因此点P是抛物线上平行于直线AB的切线的切点，由图知点P在x轴上方，y＝x，y′＝12x，由题意知kAB＝12，所以kl＝12x0＝12，即x0＝1，所以y0＝1，所以P(1,1)．