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第6课时与圆有关的比例线段(二)1．相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．2．割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的两条线段长的积相等．3．切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这一点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．4．切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．1．如图所示，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，连接OP交AB于C，连接OA，OB，则图中等腰三角形、直角三角形的个数分别为()A．1,2B．2,2C．2,6D．1,6【答案】C2．(2014年天津)如图所示，△ABC是圆的内接三角形，∠BAC的平分线交圆于点D，交BC于点E，过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F.在上述条件下，给出下列四个结论：①BD平分∠CBF；②FB2＝FD·FA；③AE·CE＝BE·DE；④AF·BD＝AB·BF.则所有正确结论的序号是()A．①②B．③④C．①②③D．①②④【答案】D3．如图所示，PA切⊙O于A，PBC是⊙O的割线，PB＝BC，PA＝32，那么BC的长为()A．3B．23C．3D．33【答案】C4．如图所示，已知⊙O的两条弦AB，CD相交于AB的中点E且AB＝4，DE＝CE＋3，则CD的长为______．【答案】5【例1】如图所示，AB是⊙O的直径，过A，B引两条弦AD和BE，相交于C．求证：AC·AD＋BC·BE＝AB2.【解题探究】无法在已知圆中利用相关定理解决问题，可考虑作辅助线构造新圆．证明【证明】如图所示，连接AE，BD，过C作CF⊥AB，与AB交于F.∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝∠ADB＝90°.∵∠AFC＝90°，∴A，F，C，E四点共圆．∴BC·BE＝BF·BA．①同理可证F，B，D，C四点共圆．∴AC·AD＝AF·AB．②①＋②得AC·AD＋BC·BE＝AB·(AF＋BF)＝AB2.找到A，F，C，E四点共圆，F，B，D，C四点共圆是解决本题的关键．【例2】如图所示，AB是⊙O的切线，AB＝AC，ADE是⊙O的割线，连接CD交⊙O于F点，连接EC交⊙O于G点．求证：(1)△ADC∽△ACE；(2)FG∥AC．【解题探究】要证三角形相似需证两角对应相等，或一角相等两夹边成比例．【证明】(1)∵AB是圆的切线，∴AB2＝AD·AE，∵AB＝AC，∴AC2＝AD·AE，即ACAE＝ADAC.∵∠CAD＝∠EAC，∴△ADC与△ACE两边对应成比例，夹角相等．故△ADC∽△ACE.(2)∵F，G，E，D四点共圆，∴∠CFG＝∠AEC，又由△ADC∽△ACE，∴∠ACD＝∠AEC．∴∠CFG＝∠ACF.∴FG∥AC．切割线定理的本质是三角形相似，当AC由切线转到圆外时，并未改变这两个三角形的边角关系．1．如图所示，AB，AC是⊙O的切线，ADE是⊙O的割线，连接CD，BD，BE，CE.求证：(1)CD·AE＝AC·CE；(2)BE·CD＝BD·CE.【证明】(1)∵AC是圆的切线，∴∠ACD＝∠AEC，而∠CAD＝∠EAC，∴△ADC∽△ACE.∴CDCE＝ACAE.∴CD·AE＝AC·CE.①(2)同理可证△ADB∽△ABE，∴BDBE＝ABAE.∴BD·AE＝AB·BE.②∵AC＝AB，由①②可得BE·CD＝BD·CE.求线段的长【例3】(2015年广东)如图，AB为⊙O的直径，E为AB的延长线上一点，过E作⊙O的切线，切点为C，过A作直线EC的垂线，垂足为D，若AB＝4，CE＝23，则AD＝________.【解题探究】由切割线定理可得CE2＝BE·AE，求出BE.连接OC，则OC⊥DE，OC∥AD，可得OCAD＝OEAE，于是AD可求．【解析】连接OC，则OC⊥DE.又AD⊥DE，∴AD∥OC．∴OCAD＝OEAE.由切割线定理可得CE2＝BE·AE，∴(23)2＝BE·(BE＋4)．解得BE＝2，∴OE＝4，AE＝6.∴AD＝OC·AEOE＝2×64＝3.本题考查切割线定理和平行线分线段成比例定理(也可用相似三角形的性质)．考查学生综合运用相关定理进行推理和计算的能力．2．如图所示，已知AB，BC是⊙O的两条弦，AO⊥BC，AB＝2，BC＝23，则⊙O的半径等于________．【答案】2【解析】设垂足为D，⊙O的半径等于R，延长AO与圆交于另外一点E.因为AO⊥BC，所以AD＝AB2－BD2＝1.根据相交弦定理有DA·DE＝DB·DC，即1×(2R－1)＝3×3，解得R＝2.3．(2016年重庆月考)如图，点A，B，C都在⊙O上，过点C的切线交AB的延长线于点D，若AB＝6，BC＝3，CD＝4，则线段AC的长为______．【答案】6【解析】根据切割线定理得到DC2＝DB·DA，∵AB＝6，CD＝4，∴16＝DB·(DB＋6)．∴DB＝2.由题意知∠D＝∠D，∠BCD＝∠A，∴△DBC∽△DCA，DCDA＝BCCA.∴AC＝8×34＝6.四条定理统称为圆幂定理，它们之间的相互联系如下：相交弦定理――――――――→弦交点P拉到圆外割线定理――――――――→割线PAB绕P转到相切切割线定理――――――――→割线PCD再绕P转到相切切线长定理．