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第5课时与圆有关的比例线段(一)1．相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的______相等．2．割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的两条线段长的______相等．3．切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这一点到割线与圆交点的两条线段长的________．4．切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的长________，圆心和这一点的连线________两条切线的夹角．积积比例中项相等平分1．如图，圆内的两条弦AB，CD相交于圆内一点P，已知PA＝PB＝3，PC＝3，则PD＝________.【答案】33【解析】根据相交弦定理，PA·PB＝PC·PD，即3×3＝3PD，解得PD＝33.2．如图，从圆O外一点P引圆O的割线PAB和PCD，PCD过圆心O，已知PA＝1，AB＝2，PO＝3，则圆O的半径等于______．【答案】6【解析】根据割线定理，PC·PD＝PA·PB，即(3－r)(3＋r)＝3，解得r＝6.3．(2015年龙川县校级模拟)如图，已知AC切⊙O于A，AC＝6，BD＝5，则线段DC的长为________．【答案】4【解析】∵AC切⊙O于A，AC＝6，BD＝5，∴62＝CD·(CD＋5)，∴CD＝4.4．(2015年辉县市校级月考)如图，AB，AC为⊙O的切线，B和C是切点，延长OB到D，使BD＝OB，连接AD．如果∠DAC＝78°，那么∠ADO等于()A．70°B．64°C．62°D．51°【答案】B【解析】∵AB，AC为⊙O的切线，B和C是切点，∴∠CAO＝∠OAB，∠ABD＝90°.又BD＝OB，∴∠OAB＝∠BAD．∵∠DAC＝78°，∴∠BAD＝13∠DAC＝26°.∴∠ADO＝90°－26°＝64°.故选B．【思路分析】用PC表示PD的值，代入相交弦定理解出PC即可求出CD的值．相交弦定理【例1】如图，圆内的两条弦AB，CD相交于圆内一点P，已知PA＝PB＝6，PC＝14PD，求CD的长．【解析】由相交弦定理可得PC·PD＝PA·PB，即4PC2＝6×6，解得PC＝3.所以CD＝PC＋PD＝5PC＝15.故CD的长是15.本题是一个典型的相交弦定理的应用问题，需要熟练应用相交弦定理．1．圆O的半径为5，点P是弦AB的中点，OP＝3，弦CD过点P且CPCD＝13，则CD的长为____．【答案】62【解析】连接OA，因为P为AB中点，OA＝5，OP＝3，所以△AOP为直角三角形且AP＝4.由相交弦定理，得AP·PB＝CP·PD，即AP2＝13CD·23CD，解得CD＝62.【例2】已知△ABC中AB＝AC，D为△ABC外接圆劣弧AC上的点(不与点A，C重合)，延长BD至E，延长AD交BC的延长线于F.求证：AB·AC·DF＝AD·FC·FB．割线定理【思路分析】根据割线定理，得FC·FB＝FD·FA，于是要证的结论可转化为AB·AC·DF＝AD·FD·FA，即AB·AC＝AD·FA，可构造相似三角形来证明．【证明】∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB．又∠ACB＝∠ADB，∴∠ADB＝∠ABC．又∠BAD＝∠FAB，∴△BAD∽△FAB．∴＝.∴AB2＝AD·AF.∵AB＝AC，∴AB·AC＝AD·AF.∴AB·AC·DF＝AD·AF·DF.根据割线定理，得DF·AF＝FC·FB．∴AB·AC·DF＝AD·FC·FB．本题的结论中是三条线段的乘积，需要进行转化，使等式两边都是两条线段的乘积的形式，需要利用割线定理和相似三角形的性质．从结论入手分析，根据所学知识构造条件是解决复杂的几何证明问题的关键，这是一个难点．2．(2016年衡阳校级模拟)如图所示，AB是半径等于3的圆O的直径，CD是圆O的弦，BA，DC的延长线交于点P，若PA＝4，PC＝5，则∠CBD＝____.【答案】30°【解析】由题可知PB＝10，PA×PB＝PC×PD解得PD＝8，DC＝PD－PC＝3，故△DCO为正三角形，∠DBC＝12∠DOC＝30°.【例3】如图所示，设△ABC的外接圆的切线AE与BC的延长线交于点E，∠BAC的平分线与BC交于点D．求证：ED2＝EB·EC．切割线定理【解题探究】由切割线定理有EA2＝EB·EC，只要证明EA＝ED即可．【证明】如图，∵AE是圆的切线，∴∠ABC＝∠CAE.又∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD＝∠CAD，从而∠ABC＋∠BAD＝∠CAE＋∠CAD．∵∠ADE＝∠ABC＋∠BAD，∠DAE＝∠CAD＋∠CAE，∴∠ADE＝∠DAE，故EA＝ED．∵EA是圆的切线，∴由切割线定理知，EA2＝EB·EC．而EA＝ED，∴ED2＝EB·EC．不仅要熟练运用切割线定理，而且要运用弦切角定理．3．如图，PA是圆的切线，A为切点，PBC是圆的割线且BC＝3PB，则ABAC＝________.【答案】12【解析】由切割线定理可知PA2＝PB·PC，又BC＝3PB，可得PA＝2PB．在△PAB与△PCA中，∠P＝∠P，∠PAB＝∠PCA(同弧上的圆周角与弦切角相等)，可得△PAB∽△PCA，所以ABAC＝PBPA＝PB2PB＝12.【例4】如图所示，四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA和⊙O分别相切于点L，M，N，P，求证：AB＋CD＝AD＋BC．切线长定理【解题探究】过圆外一点引圆的两条切线，自然想到切线长相等．【证明】因为AB，BC，CD，DA都与⊙O相切，L，M，N，P为切点，所以AL＝AP，BL＝BM，CM＝CN，DN＝DP.所以AB＋CD＝AL＋BL＋CN＋DN＝AP＋BM＋CM＋DP＝AD＋BC，即AB＋CD＝AD＋BC．在多边形的内切圆问题中，经常可利用切线长定理实现线段的转换．4．(2016年贵州联考)如图所示，PC切⊙O于A，PO的延长线交⊙O于B，BC切⊙O于B，若AC∶CP＝1∶2，则PO∶OB等于()A．2∶1B．1∶1C．1∶2D．1∶4【答案】A【解析】连接OA，则OA⊥PC，∴△PAO∽△PBC．∴POAO＝PCBC.又AO＝OB，AC＝BC，所以POOB＝PCAC＝2∶1.故选A．1．相交弦定理、割线定理、切割线定理、切线长定理统称为圆幂定理，是用来计算与圆有关的线段长的重要依据．2．相交弦定理、割线定理、切割线定理都可以用相似三角形的性质加以证明，以相交弦定理为例．如图所示，圆的弦AB，CD相交于点P，易得∠PAC＝∠PDB，∠PCA＝∠PBD，于是△PAC∽△PDB，所以PAPD＝PCPB，PA·PB＝PC·PD．同理，也可以通过证明△PAD∽△PCB来得到相交弦定理．从以上的证明过程，我们可以发现几何证明方法具有多样性，并且通过证明三角形相似我们还可以得到更多有关线段的比例关系，如PAPD＝PCPB＝ACDB.