搜索
第3课时圆的切线的性质及判定定理1．定义：直线与圆只有一个公共点，称直线与圆______．相切2．切线的性质定理：圆的切线________于经过切点的半径．推论1：经过圆心且________于切线的直线必经过切点；推论2：经过切点且________于切线的直线必经过圆心．3．切线的判定定理：经过半径的外端并且________于这条半径的直线是圆的________．垂直垂直垂直垂直切线1．下列说法正确的是()A．过圆内接三角形的顶点的直线是圆的切线B．若直线与圆不相切，则它和圆相交C．若直线和圆有公共点，则直线和圆相交D．若直线和圆有唯一公共点，则公共点是切点【答案】D2．已知圆的半径为6.5cm，圆心到直线l的距离为4.5cm，那么这条直线和这个圆的公共点的个数是()A．0B．1C．2D．不能确定【答案】C3．下列说法中正确的个数是()①垂直于半径的直线是圆的切线；②过圆上一点且垂直于圆的半径的直线是圆的切线；③过圆心且垂直于切线的直线必过切点；④过切点且垂直于切线的直线必过圆心；⑤过半径的一端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；⑥若同心圆内大圆的弦AB是小圆的切线，则切点是AB的中点．A．2B．3C．4D．5【答案】B4．如图所示，已知⊙O的直径AB与弦AC的夹角为30°，过C点的切线PC与AB的延长线交于P，PC＝5，则⊙O的半径为()A．533B．563C．10D．5【答案】A【例1】如图所示，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D．求证：AC平分∠DAB．圆的切线的性质定理及推论【解题探究】要证AC平分∠DAB，需证∠CAD＝∠CAO.【证明】如图所示，连接OC．∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD．又∵AD⊥CD，∴OC∥AD．由此∠ACO＝∠CAD．∵OC＝OA，∴∠CAO＝∠ACO.∴∠CAD＝∠CAO.故AC平分∠DAB．得到垂直于同一直线的两直线OC∥AD，然后得出内错角相等，是证明的关键．1．(2016年广安月考)如图，AB是圆O的直径，PB，PE分别切圆O于B，C，若∠ACE＝40°，则∠P＝______【答案】80°【解析】连接OC，则∠OCE＝∠OCP＝90°.因为∠ACE＝40°，OA＝OC，所以∠OAC＝∠OCA＝50°.又∠ABP＝90°，所以由四边形ABPC的内角和为360°可得∠P＝80°.【例2】如图所示，AB是⊙O的直径，⊙O过BC的中点D，DE⊥AC，求证：DE是⊙O的切线．【解题探究】要证DE是⊙O的切线，只需证DE⊥OD即可．圆的切线的判定定理【证明】连接OD．∵BD＝CD，OA＝OB，∴OD是△ABC的中位线．∴OD∥AC．又∵∠DEC＝90°，∴∠ODE＝90°.又∵D在圆周上，∴DE是⊙O的切线．关键是得到OD∥AC．2．如图所示，直角梯形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AD∥BC，E为AB上的点，DE平分∠ADC，CE平分∠BCD，以AB为直径的圆与CD有怎样的位置关系？【解析】过E作EF⊥CD于F，∵DE平分∠ADC，CE平分∠BCD，∠A＝∠B＝90°，∴AE＝EF＝BE＝12AB．∴以AB为直径的圆的圆心为E.∴EF是圆心E到CD的距离且EF＝12AB．∴以AB为直径的圆与CD是相切关系．【例3】如图所示，已知PA是圆O的切线，切点为A，PA＝2，AC是圆O的直径，PC与圆O交于B点，PB＝1，求圆O的半径R.圆的切线的综合应用【解题探究】由于切线垂直于直径，直径所对的圆周角是直角，所以可考虑用相似三角形求直径．【解析】如图所示，连接AB．∵PA与圆O相切于点A，∴PA⊥AC．∵AC是直径，∴AB⊥PC，AB＝PA2－PB2＝3.∴△PBA∽△PAC．∴PBAB＝PAAC.∴AC＝PA·ABPB＝23.∴半径R＝3.本题主要考查了切线的性质和相似三角形等基础知识．3．如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，以BC上一点O为圆心作⊙O与AB相切于E，与AC相切于C，又⊙O与BC的另一个交点为D，求线段BD的长．【解析】∵∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，∴AB＝5.连接OE，则∠OEB＝∠C＝90°，∴△OEB∽△ACB，∴OEAC＝OBAB.设⊙O的半径为R，∴OB＝OE·ABAC＝54R.∴BC＝OC＋OB＝R＋54R＝94R＝3.∴R＝43.∴BD＝BC－2R＝3－83＝13.1．切线上只有切点在圆上，其他的点都在圆外，圆心与切线上的点的连线段中与切点的连线段最短．2．由圆的切线的性质定理及其推论，可知经过圆点、经过切点、垂直于切线三个条件中的任意两个可以推出另外一个．3．除了利用切线的判定定理来判定切线外，还可以利用“到圆心的距离等于半径的直线与圆相切”来判定切线．