搜索
第1课时圆周角定理1．圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对________的一半．圆心角2．圆心角定理：圆心角的度数等于它所对_____的度数．3．推论1：同弧或等弧所对的圆周角________；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．4．推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是______；90°的圆周角所对的弦是______．弧相等直角直径1．下面是关于圆周角定理的句子，表述简明的一项是()A．一条弧所对的圆周角等于这个圆上的弧所对的圆心角的一半B．一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半C．一条弧所对的圆周角等于圆心角的一半D．圆上的一条弧所对的圆周角等于圆心角的一半【答案】B2．下列说法中：(1)直径相等的两个圆是等圆；(2)长度相同的两条弧是等弧；(3)圆中最长的弦是通过圆心的弦；(4)一条弦把圆分成两条弧，这两条弧不可能是等弧．正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【答案】B【解析】由同弧所对的圆周角相等可知∠ABD＝∠CBD＝∠ACD＝∠DAC，故与∠ABD相等的角有3个．3．如图所示，D是AC︵的中点，与∠ABD相等的角的个数是()A．7B．3C．2D．14．如图所示，AB是⊙O的直径，∠A＝70°，则∠ABC＝______.【答案】20°【解析】AB是⊙O的直径，所对的角为∠C，所以∠C＝90°，∠ABC＝180°－70°－90°＝20°.【解题探究】由于∠APD既不是圆周角，也不是圆心角，为此我们要把它转化成圆周角或圆心角．圆周角定理【例1】如图所示，弦AB和CD相交于点P，求证：∠APD＝12(AD︵的度数＋BC︵的度数)．【证明】连接DB，∵∠APD是△PBD的一外角，∴∠APD＝∠PBD＋∠PDB＝∠ABD＋∠CDB．由圆周角定理和圆心角定理，可得∠ABD＝AD︵的度数的一半，∠CDB＝BC︵的度数的一半，∴∠APD＝12(AD︵的度数＋BC︵的度数)．在圆的有关问题中，把圆内的一个角转化为与之相等的圆周角或圆心角，以便利用定理解决它是一种重要思维方法．1．如图所示，已知⊙O中∠AOB＝2∠BOC，求证：∠ACB＝2∠BAC．【证明】∵∠ACB＝12∠AOB，∠AOB＝2∠BOC，∴∠ACB＝∠BOC．而∠BAC＝12∠BOC，∴∠ACB＝2∠BAC．【例2】如图所示，已知AD是△ABC外接圆的直径，CE⊥AD交AD于点F，交AB于点E，求证：AC2＝AB·AE.圆周角定理的推论【解题探究】欲证AC2＝AB·AE，需证ACAB＝AEAC，从而需证△ACE∽△ABC．【证明】如图所示，连接CD，∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD＝90°.∵CE⊥AD，∴∠ACE＝90°－∠CAD＝∠ADC＝∠B．又∠CAE＝∠BAC，∴△ACE∽△ABC．∴ACAB＝AEAC.故AC2＝AB·AE.从要证的线段关系分析出要证的两个三角形相似是关键．2．(2016年荆州模拟)如图，⊙O中弦AB，CD相交于点P，已知AP＝3，BP＝2，CP＝1，则DP＝________.【答案】6【解析】连接BC，AD，有∠BCD＝∠BAD，∠CPB＝∠APD，所以△BCP∽△DAP，CPPA＝BPDP，DP＝2×31＝6.【解题探究】(1)中要证三角形相似需证两个角相等，而证角相等可利用圆周角定理．圆周角定理的应用【例3】如图所示，△ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E.(1)求证：△ABE∽△ADC；(2)若△ABC的面积S＝12AD·AE，求∠BAC的大小．【解析】(1)证明：∵∠BAE＝∠EAC＝∠DAC，∠BEA＝∠BCA＝∠DCA，∴△ABE∽△ADC．(2)由(1)知ABAE＝ADAC，∴AB·AC＝AD·AE.∵S＝12AD·AE＝12AB·AC·sin∠BAC，∴sin∠BAC＝1，故∠BAC＝90°.由三角形面积想到将AD·AE转化为AB·AC是解题的关键．【答案】D3．如图所示，已知AB是圆O的直径，弦AD，BC相交于点P，若CD＝3，AB＝4，则tan∠BPD等于()A．34B．43C．53D．73【解析】由圆周角定理可得∠C＝∠A，∠D＝∠B，所以△CPD∽△APB，所以CDAB＝PDPB＝34.连接BD，则∠BDP＝90°，在Rt△BPD中，cos∠BPD＝PDPB＝34，所以tan∠BPD＝73.1．利用等腰三角形顶角的外角等于底角的两倍推证圆周角定理时要注意各种情形的完备性：圆心在角边上、圆心在角内部、圆心在角外部．2．注意：“弧”是一个几何图形，而“弧的度数”和“弧的长度”是刻画“弧”的两个量，三者各不相同，圆心角定理推论中指弧的度数相等并非弧相等．3．弦心距、半弦与半径可组成一个直角三角形，这个三角形为解决圆的很多问题提供了方便．