2019-2020学年高中数学 第2讲 讲明不等式的基本方法 第5课时 放缩法课件 新人教A版选修4

第5课时放缩法1．放缩法：在证明不等式的过程中，有时利用不等式的________，通过对不等式的某些部分作适当的____________，达到证明的目的．2．放缩法的实质是_______________，放缩没有____________________，需按题意适当放缩，否则达不到目的．传递性放大或缩小非等价转化一定的准则和程序1．lg9·lg11与1的大小关系是()A．lg9·lg11＝1B．lg9·lg11＜1C．lg9·lg11＞1D．不能确定【答案】B【解析】lg9·lg11＜lg9＋lg1122＝lg9922＜lg10022＝1，故选B.2．设x＞0，y＞0，A＝x＋y1＋x＋y，B＝x1＋x＋y1＋y，则A，B的大小关系是()A．A＞BB．A＝BC．A＜BD．不能确定【答案】C【解析】因为x＞0，y＞0，所以A＝x＋y1＋x＋y＝x1＋x＋y＋y1＋x＋y＜x1＋x＋y1＋y＝B，故选C．3．设A＝1210＋1＋1210＋2＋1210＋3＋…＋1211，则A与1的大小关系是________．【答案】A＜1【解析】A＝1210＋1＋1210＋2＋1210＋3＋…＋1210＋210＜1210＋1210＋1210＋…＋1210＝1210×210＝1.4．已知an＝1×2＋2×3＋3×4＋…＋n·n＋1(n∈N*)，求证：nn＋12＜an＜n＋122.【证明】∵n＜nn＋1＜2n＋12，∴1＋2＋3＋…＋n＜an＜3＋5＋7＋…＋2n＋12.∴nn＋12＜an＜n3＋2n＋122＝nn＋22＜n＋122.故nn＋12＜an＜n＋122.数列不等式的放缩【例1】证明：12－1n＋1＜122＋132＋142＋…＋1n2＜n－1n(n＝2,3,4，…)．【解题探究】要证不等式的中间是与数列有关的和的结构，无法直接求和，可从通项结构特征考虑先放缩，再求和．【解析】当n＞1时，1n2＞1nn＋1＝1n－1n＋1.所以122＋132＋142＋…＋1n2＞12×3＋13×4＋14×5＋…＋1nn＋1＝12－13＋13－14＋14－15＋…＋1n－1n＋1＝12－1n＋1.当n＞1时，1n2＜1nn－1＝1n－1－1n，所以122＋132＋142＋…＋1n2＜11×2＋12×3＋13×4＋…＋1n－1n＝1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n－1－1n＝1－1n＝n－1n.所以12－1n＋1＜122＋132＋142＋…＋1n2＜n－1n.此类问题通常有两类：一类是先求和，后放缩；另一类是先放缩，后求和．从而达到证明的目的．1．已知an＝12n－1，b1＝a1，bn＝Tn－1n＋1＋12＋13＋…＋1nan(n≥2)，Tn，Sn分别是数列{an}和{bn}的前n项和，证明：Sn＜2＋2lnn.【证明】根据题意得an＝12n－1，Tn＝2－21－n，则bn＝Tn－1n＋1＋12＋13＋…＋1nan＝a1＋a2＋…＋an－1n＋1＋12＋13＋…＋1nan，∴Sn＝1＋12a1＋1＋12＋13a2＋…＋1＋12＋13＋…＋1nan≤1＋12＋13＋…＋1na1＋1＋12＋13＋…＋1n·a2＋…＋1＋12＋13＋…＋1nan＝1＋12＋13＋…＋1nTn＝1＋12＋13＋…＋1n(2－21－n)＜21＋12＋13＋…＋1n.令f(x)＝lnx＋1x－1，x＞1，则f′(x)＝1x－1x2＝x－1x2＞0，即f(x)在(1，＋∞)上为增函数．∵f(1)＝0，∴f(x)＞0.∵k≥2且k∈N*时，kk－1＞1，∴fkk－1＝lnkk－1＋k－1k－1＞0，即lnkk－1＞1k.∴12＋13＋…＋1n＜ln21＋ln32＋…＋lnnn－1＝lnn，∴21＋12＋13＋…＋1n＝2＋212＋13＋…＋1n＜2＋2lnn，即Sn＜2＋2lnn.含根式不等式的放缩【例2】已知实数x，y，z不全为零，求证：x2＋xy＋y2＋y2＋yz＋z2＋z2＋zx＋x2＞32(x＋y＋z)．【解题探究】欲证不等式左端是三个根式的和，而右端是有理式，若两边平方则十分复杂，可考虑对根号内的式子进行配方后再用放缩法．【解析】∵x2＋xy＋y2＝x＋y22＋34y2≥x＋y22＝x＋y2≥x＋y2.同理可得y2＋yz＋z2≥y＋z2，z2＋zx＋x2≥z＋x2.由于x，y，z不全为零，故三式中至少有一式取不到等号，三式相加得x2＋xy＋y2＋y2＋yz＋z2＋z2＋zx＋x2＞x＋y2＋y＋z2＋z＋x2＝32(x＋y＋z)．放缩法证不等式主要是根据不等式的传递性进行变换，即欲证a＞b，可换成证a＞c，且c＞b，同时注意放缩要适当．2．已知an＝1×2＋2×3＋3×4＋…＋nn＋1(n∈N*)，求证：nn＋12＜an＜nn＋22.【证明】∵nn＋1＝n2＋n，∴nn＋1＞n.∴an＝1×2＋2×3＋…＋nn＋1＞1＋2＋3＋…＋n＝nn＋12.∵nn＋1＜n＋n＋12，∴an＜1＋22＋2＋32＋…＋n＋n＋12＝12＋(2＋3＋…＋n)＋n＋12＝nn＋22.综上得nn＋12＜an＜nn＋22.含分式不等式的缩放【例3】已知a，b，c为三角形的三边，求证：c1＋c＜a1＋a＋b1＋b.【解题探究】分式型可用比较法，也可利用结论：当a＞b＞0，m＞0时，ba＜b＋ma＋m.【解析】设f(x)＝x1＋x，x∈(0，＋∞)，显然f′(x)＝11＋x2＞0，所以f(x)在(0，＋∞)是增函数．因为a，b，c为三角形的三边，所以c＜a＋b.所以f(c)＜f(a＋b)，即c1＋c＜a＋b1＋a＋b＝a1＋a＋b＋b1＋a＋b＜a1＋a＋b1＋b.所以c1＋c＜a1＋a＋b1＋b.分式型放缩可改变分子或分母，或分子、分母同时改变，达到放缩的目的．3．求证：1＋122＋133＋…＋1nn＜3(n∈N*)．【证明】∵1k3＝1k2·k＜1k2－14·k＝24k2－1·k＝2k－1＋2k＋1k·12k－1－12k＋1，其中2k－1＋2k＋1k2＝4k＋24k2－1k＜4k＋4kk＝8，∴2k－1＋2k＋1k＜22，即1k3＜22·12k－1－12k＋1，∴1＋122＋133＋…＋1nn＜22·1－13＋13－15＋…＋12n－1－12n＋1＝22·1－12n＋1＜22＜3.∴不等式1＋122＋133＋…＋1nn＜3(n∈N*)得证．1．放缩法的具体措施：(1)舍掉式中的一些正项或负项．(2)将和式中各项或某项换以较大或较小的数．(3)在分式中放大或缩小分子、分母，或分子分母同时放大或缩小．(4)利用基本不等式放缩．2．常见的放缩技巧：(1)1kk＋1＜1k2＜1kk－1(k＞1，k∈N)．(2)1k＋k＋1＜12k＜1k＋k－1(k＞1，k∈N)．(3)若a＞b＞0，m＞0，则ba＜b＋ma＋m.(4)|sin(ωx＋φ)|≤1(x∈R)．