2019-2020学年高中数学 第2讲 讲明不等式的基本方法 第4课时 反证法课件 新人教A版选修4

第4课时反证法1．用反证法证明，就是从____________出发，要求结论否定的情况只有有限多种，然后证明这有限种否定都是不可能的，是与__________、___________或___________________相矛盾．2．凡涉及的不等式为________命题、________命题或是含“________”“_________”等字句时，可考虑使用反证法．结论的否定已知条件已知事实已证明过的定理否定性唯一性至多至少1．用反证法证明“若x＋y≤0，则x≤0或y≤0”时，应假设()A．x＞0或y＞0B．x＞0且y＞0C．xy＞0D．x＋y＜0【答案】B【解析】假设结论不成立，则x＞0且y＞0(p∨q的否定是¬p∧¬q)．2．设a，b，c都是正数，则三个数a＋1b，b＋1c，c＋1a()A．都大于2B．至少有一个大于2C．至少有一个不小于2D．至少有一个不大于2【答案】C【解析】方法一：取a＝b＝c＝1，则a＋1b＝b＋1c＝c＋1a＝2，排除A，B.取a＝b＝c＝2，显然a＋1b，b＋1c，c＋1a均大于2，排除D.故选C．方法二：假设a＋1b，b＋1c，c＋1a均小于2，则a＋1b＋b＋1c＋c＋1a＜6.①又a＋1b＋b＋1c＋c＋1a＝a＋1a＋b＋1b＋c＋1c≥2a·1a＋2b·1b＋2c·1c＝6，∴a＋1b＋b＋1c＋c＋1a≥6.②①与②矛盾，故假设不成立．3．下列3个命题：p1：∃x0∈(0，＋∞)，使得12x0＜13x0；p2：∃x0∈(0,1)，使得log12x0＜log13x0；p3：∀x∈0，13，都有12x＜log12x，其中真命题的序号是__________________．【答案】p3【解析】p1：若∃x0∈(0，＋∞)，12x0＜13x0，则12x013x0＝32x0＞1，从而12x0＞13x0，与12x0＜13x0矛盾．故p1错．p2：事实上，对∀x0∈(0,1)，log12x0＞log13x0，故p2错．p3：对∀x∈0，13，12x＜120＝1，而log12x＞log1313＝1，∴∀x∈0，13，12x＜log12x，故p3成立．4．已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，求证：a＋b≥0.【证明】假设a＋b＜0，那么a＋b＜0⇒a＜－b.∵f(x)是R上的增函数，∴f(a)＜f(－b)．①同理由a＋b＜0⇒b＜－a，∴f(b)＜f(－a)．②①＋②得f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)，这与已知矛盾，故有a＋b≥0成立．【例1】若三个互不相等的正数a，b，c成等差数列，求证：a，b，c不可能成等比数列．【解题探究】利用反证法，由等比数列的性质推出与已知矛盾．否定型命题的证明【解析】假设a，b，c成等比数列，则b2＝aC．∵a，b，c成等差数列，∴b＝a＋c2，∴a＋c22＝ac，∴(a－c)2＝0，∴a＝c，与a，b，c为三个互不相等的正数相矛盾．∴假设不成立．∴a，b，c不可能成等比数列．当证明的结论中含有“不是”“不都”“不存在”等词语时，适于应用反证法，因为此类问题的反面比较具体．可依据题设条件导出互相矛盾的结果．1．(2017年宣城期中)在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若a，b，c三边的倒数成等差数列，求证：B不可能是钝角．【证明】假设B可能是钝角，则B为△ABC的最大角．∴b为△ABC最大的边，即b＞a，b＞C．∴1b＜1a，1b＜1c.相加有1b＋1b＜1a＋1c，即2b＜1a＋1c，与a，b，c三边的倒数成等差数列相矛盾．∴假设不成立．∴B不可能是钝角．用反证法证明不等式【例2】已知|a|＜1，|b|＜1，求证：a＋b1＋ab＜1.【解题探究】从已知条件出发，直接证明有困难，不知怎样使用条件，宜用反证法．【解析】假设a＋b1＋ab≥1，则|a＋b|≥|1＋ab|，即(a＋b)2≥(1＋ab)2.整理得1＋a2b2－a2－b2≤0，即(1－a2)(1－b2)≤0.1－a2≥0，1－b2≤0或1－a2≤0，1－b2≥0.解得|a|≤1且|b|≥1，或|a|≥1且|b|≤1，这与已知矛盾．故a＋b1＋ab＜1成立．直接证明有困难时可考虑用反证法．2．(2017年桂林期末)已知a＞b＞0，求证：a－b＜a－b.【证明】假设a－b≥a－b，则(a－b)2≥(a－b)2，∴a－2ab＋b≥a－b，即b≥ab，∴b≥a＞0，与a＞b＞0相矛盾．∴假设不成立．∴当a＞b＞0时，a－b＜a－b成立．“至多”和“至少”型命题的证明【例3】已知f(x)＝x2＋px＋q，求证：|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于12.【解题探究】利用反证法，结合绝对值不等式的性质证明．【解析】假设|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|都小于12，即|f(1)|＜12，|f(2)|＜12，|f(3)|＜12.则|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|＜2.①而|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|≥|f(1)＋f(3)－2f(2)|＝|1＋p＋q＋9＋3p＋q－2(4＋2p＋q)|＝2，这与①相矛盾，从而假设不成立．故|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于12.涉及否定词“至少”的命题直接求证有困难，宜用反证法．难点是发现f(1)＋f(3)－2f(2)＝2.3．若a＋b＋c≥0且abc≤0，求证：a，b，c三个实数中至多有一个小于0.【证明】假设a，b，c三个实数中至少有两个小于0.不妨令a＜0，b＜0，∴c≥－(a＋b)＞0，∴abc＞0，与abc≤0相矛盾．∴假设不成立．∴a，b，c三个实数中至多有一个小于0.1．反证法证明不等式M＞N步骤：(1)先否定结论M＞N，假设M≤N成立；(2)由题设，或其他性质，或假设等导出矛盾；(3)假设不成立，从而原不等式成立．2．导出的矛盾可与已知条件相矛盾，可与假设相矛盾，可与定理、公理相违背，或与已知的事实相矛盾等．3．反证法必须利用结论的否定，否则就不是反证法．