2019-2020学年高中数学 第2讲 讲明不等式的基本方法 第3课时 分析法课件 新人教A版选修4

第3课时分析法1．分析法：从______________出发，逐步寻求使它成立的__________，直至所需条件为____________或_______________________________(______________________等)，从而得出要证的命题成立．2．分析法的实质是__________的思考方法和证明方法．要证的结论充分条件已知条件一个明显成立的事实定义、公理或已证明的定理、性质执果索因1．若a，b，m，n均为正数且m＋n＝1，T＝ma＋nb，Q＝ma＋nb，则有()A．T＞QB．T≤QC．T≥QD．T＜Q【答案】C【解析】T2－Q2＝ma＋nb－(m2a＋2mnab＋n2b)＝ma(1－m)＋nb(1－n)－2mnab＝mna＋mnb－2mnab＝mn(a－b)2≥0.∴T≥Q.2．已知f(x)是周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f(x)＝lgx，设a＝f65，b＝f32，c＝f52，则()A．a＜b＜cB．b＜a＜cC．c＜b＜aD．c＜a＜b【答案】D【解析】c＝f52＝f12＋2＝f12＝lg12＜0.b＝f32＝f32－2＝f－12＝－f12＝lg2.a＝f65＝f65－2＝f－45＝－f45＝－lg45＝lg54.又lg2＞lg54＞0，所以c＜a＜b.3．方程|x|＋|log2x|＝|x＋log2x|的解集是________．【答案】[1，＋∞)【解析】∵|a|＋|b|＝|a＋b|⇔a2＋2|ab|＋b2＝a2＋2ab＋b2⇔|ab|＝ab⇔ab≥0，∴|x|＋|log2x|＝|x＋log2x|⇔xlog2x≥0⇔x≥1.4．用分析法证明不等式：5＋7＞1＋15.【证明】要证5＋7＞1＋15，只需证(5＋7)2＞(1＋15)2.即要证12＋235＞16＋215，即要证35＞2＋15，只需证(35)2＞(2＋15)2，即4＞15，这显然成立，故5＋7＞1＋15成立.作差分析【例1】已知a，b是正数，求证：2在ab和a＋2ba＋b之间．【解题探究】若用综合法，不易入手，还要分类讨论，比较麻烦，因而采用分析法．【解析】要证2在ab和a＋2ba＋b之间，只需证ab－2a＋2bb＋a－2≤0，只需证a－2ba＋2b－2a－2bba＋b≤0，即证1－2a－2b2ba＋b≤0.∵a＞0，b＞0，∴1－2a－2b2ba＋b≤0恒成立．∴2在ab和a＋2ba＋b之间．当所证不等式与重要不等式、基本不等式没有什么直接联系，或很难发现条件与结论之间的关系时，可用分析法寻找证明途径．1．已知a，b，m∈R＋，a＜b，用分析法证明：a＋mb＋m＞ab.【证明】要证a＋mb＋m＞ab，只要证a＋mb＋m－ab＞0，即证ba＋mbb＋m－ab＋mbb＋m＞0，只要证b－ambb＋m＞0，∵a0，b0，m0，a＜b，∴b－a＞0，∴b－ambb＋m＞0，故原不等式成立．代数式的取值范围【例2】设a＞0，b＞0，a≠b且a3－b3＝a2－b2，求证：1＜a＋b＜43.【解题探究】从已知a3－b3＝a2－b2，证明a＋b＞1用综合法较容易，如何证a＋b＜43比较困难，用综合法难以下手，可用分析法．【解析】∵a3－b3＝a2－b2且a≠b，∴a2＋ab＋b2＝a＋b.∴(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2＞a2＋ab＋b2＝a＋b.∴a＋b＞1.要证a＋b＜43，需证3(a＋b)＜4，需证3(a＋b)2＜4(a＋b)，∵a2＋ab＋b2＝a＋b，∴只需证3(a2＋b2＋2ab)＜4(a2＋ab＋b2)，即证a2－2ab＋b2＞0，即证(a－b)2＞0.∵a≠b，上式显然成立．故1＜a＋b＜43.根据所证不等式的特征，灵活选择证明方法．难点是将3(a＋b)＜4两边同乘(a＋b)后，再将右边(a＋b)换成a2＋ab＋b2.2．已知a，b∈R，a＋b＝1，用分析法证明：(a＋2)2＋(b＋2)2≥252.【证明】要证(a＋2)2＋(b＋2)2≥252，只要证a2＋b2＋4(a＋b)＋8≥252，∵a＋b＝1，∴只要证a2＋b2≥12，∴即证a2＋(1－a)2≥12，只要证a－122≥0，显然成立．故原不等式成立．含根式不等式的证明【例3】已知c＞1，求证：c＋1＋c－1＜2c.【解题探究】不等式左右两边都是根式，可两边平方用分析法求证．【解析】∵c＞1，∴c＋1＞0，c－1＞0.要证c＋1＋c－1＜2c，只需证(c＋1＋c－1)2＜(2c)2，即证c＋1＋2c2－1＋c－1＜4c，即证c2－1＜C．只需证c2－1＜c2，即证－1＜0，而此不等式显然成立．故c＋1＋c－1＜2c.类似这样的无理式通常利用分析法进行证明，注意两边平方时不等号的方向．3．已知正数a＞2，求证：a＋2＋a－2＜2a.【证明】当a＞2，要证明a＋2＋a－2＜2a，只需证明(a＋2＋a－2)2＜(2a)2，需证明2a＋2a2－4＜4a，即证a2－4＜a，也就是证a2－4＜a2，显然成立．∴a＋2＋a－2＜2a成立．1．分析法证明A＞B的格式和步骤：B＜B1＜B2＜…＜Bn＜A．2．表达时注意恰当使用“要证”“需证”“即证”“只要证”等．3．当证题不知从何入手时，通常运用分析法．