2019-2020学年高中数学 第2讲 参数方程 一 曲线的参数方程 第2课时 参数方程和普通方程的

第二讲参数方程一曲线的参数方程第二课时参数方程和普通方程的互化梳理知识夯实基础自主学习导航目标导学1．掌握参数方程化为普通方程的方法．2．理解参数方程与普通方程互相转化的原理及其应用．‖知识梳理‖1．曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通过__________而从参数方程得到普通方程．2．如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如_________，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数t的关系_________，那么____________就是曲线的参数方程．在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的__________保持一致．x＝f(t)y＝g(t)x＝ft，y＝gt消去参数取值范围解剖难点探究提高重点难点突破(1)一般地，将参数方程中的参数消去就会得到普通方程，常采用消去法或代入法进行消参．(2)普通方程化为参数方程一般找出变数x，y中的一个与参数t的关系，如：x＝f(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y＝g(t)，那么x＝ft，y＝gt就是所求的曲线的参数方程．(3)消参的常用方法①代入法，先由一个方程求出参数的表达式(用直角坐标变量表示)，再代入另一个方程．②利用代数或三角函数中的恒等式消去参数，例如对于参数方程x＝at＋1tcosθ，y＝at－1tsinθ，如果t是常数，θ是参数，那么可以利用公式sin2θ＋cos2θ＝1消参；如果θ是常数，t是参数，那么适当变形后可以利用(m＋n)2－(m－n)2＝4mn消参．归纳透析触类旁通课堂互动探究题型一将参数方程化为普通方程把下列参数方程化为普通方程，并说明是什么曲线．(1)x＝1－2t，y＝3－4t(t为参数)；(2)x＝sinθ＋cosθ，y＝sinθcosθ(θ为参数)；(3)x＝t1＋2t2，y＝1－2t21＋2t2(t为参数)．【思路探索】解决此题的关键是消去参数．【解】(1)∵x＝1－2t，∴t＝1－x2.①∴x≤1，将①代入y＝3－4t，得2x－y＋1＝0(x≤1)，表示一条射线．(2)x＝cosθ＋sinθ＝2sinθ＋π4，∴x∈[－2，2]．x2＝1＋2sinθcosθ，将sinθcosθ＝y代入，得x2＝1＋2y且|x|≤2，是抛物线的一部分．(3)由y＝1－2t21＋2t2得t2＝1－y2y＋2，代入x＝t1＋2t2，可得8x2＋y2＝1且y≠－1，是少一点的椭圆．[名师点拨]①并不是所有的参数方程都能化为普通方程；②参数方程化为普通方程时要保证转化过程的等价性，坐标x，y的变化范围不能扩大或缩小，即对应曲线上的点的坐标不能有增减．实际上，坐标x，y的取值范围是由参数方程给定的，所以为了防止转化过程中出现范围的变化，也可以先由参数方程讨论x，y的变化范围，再对方程进行转化.(2019·文昌高二期中)将下列参数方程化为普通方程．(1)x＝3k1＋k2，y＝6k21＋k2k为参数；(2)x＝1－sin2θ，y＝sinθ＋cosθθ为参数.解：(1)当k＝0时，x＝y＝0，当k≠0时，yx＝2k，∴k＝y2x，将k＝y2x代入x＝3k1＋k2，得4x2＋y2＝6y.当x＝y＝0时，上式也成立．∴所求普通方程为4x2＋y2＝6y.(2)将y＝sinθ＋cosθ两边平方，得y2＝1＋sin2θ，与x＝1－sin2θ相加，得y2＋x＝2.∴所求普通方程为x＋y2＝2.已知曲线C的参数方程x＝kk2＋4，y＝4k2＋4(k为参数)．(1)求x的取值范围；(2)把参数方程化为普通方程．【解】(1)由x＝kk2＋4知，当k＝0时，x＝0，当k≠0时，x＝kk2＋4＝1k＋4k；当k＞0时，x＝kk2＋4＝1k＋4k≤124＝14，∴0＜x≤14；当k＜0时，x＝kk2＋4＝1k＋4k＝1－－k＋4－k≥－14.∴－14≤x＜0.综上，得x∈－14，14.(2)由x＝kk2＋4，y＝4k2＋4(k为参数)，得xy＝k4.∴k＝4xy代入y＝4k2＋4得，y＝416x2y2＋4，整理得4x2＋y2－y＝0.又y＝4k2＋4，∴0＜y≤1，∴曲线的普通方程为4x2＋y2－y＝0x∈－14，14，y∈(0,1].[名师点拨]在消参时，还要注意常数的取值对消参的影响(常数是对参数而言的，其实它的取值也是变化的)，也就是要注意分类讨论思想的应用，分类讨论的关键是根据题意确定分类的标准，使分类不重不漏.将下列参数方程化为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线．(1)x＝cos2t，y＝sint(t为参数)；(2)x＝1－t21＋t2，y＝2t1＋t2(t为参数)．解：(1)由x＝cos2t＝1－sin2t＝1－y2，得y2＝－x＋1.∵x＝cos2t，∴0≤x≤1.∴普通方程为y2＝－x＋1(0≤x≤1)．由y2＝－(x－1)知，它表示的是以(1,0)为顶点，开口向左的一条抛物线上的一段．(2)由已知得，x2＋y2＝1－t21＋t22＋2t1＋t22＝1＋t21＋t22＝1，由x＝1－t21＋t2＝－1－t2＋21＋t2＝－1＋21＋t2，而21＋t2≠0，得x≠－1，∴普通方程为x2＋y2＝1(x≠－1)，它表示以原点为圆心，以1为半径的圆(除去点(－1,0))．题型二将普通方程化为参数方程根据下列条件求椭圆x24＋y29＝1的参数方程．(1)x＝2sinθ，θ为参数；(2)y＝3t，t为参数．【思路探索】将x＝2sinθ和y＝3t分别代入椭圆方程，分别求出y和x即可．【解】(1)把x＝2sinθ代入x24＋y29＝1中，得y29＝1－4sin2θ4＝cos2θ，∴y＝±3|cosθ|，由于θ具有任意性，∴取y＝3cosθ.故x24＋y29＝1的参数方程为x＝2sinθ，y＝3cosθ(θ为参数)．(2)把y＝3t代入x24＋y29＝1中，得x2＝4(1－t2)，∴x＝±21－t2，∴椭圆x24＋y29＝1的参数方程为x＝21－t2，y＝3t(t为参数)和x＝－21－t2，y＝3t(t为参数).[名师点拨]同一个普通方程，由于选择参数不同，得到的参数方程也不同，由普通方程化为参数方程的主要过程是解方程，在求解过程中要注意等价变形，如开方，去分母等.(2019·张家口阶段测试)在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ2－2ρcosθ－3＝0，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的方程为y＝kx.(1)求曲线C的参数方程；(2)曲线C与直线l交于A，B两点，若||OA|－|OB||＝2，求k的值．解：(1)曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2x－3＝0，即(x－1)2＋y2＝4，∴曲线C的参数方程为x＝1＋2cosθ，y＝2sinθ(θ为参数)．(2)直线l的参数方程为x＝t1＋k2，y＝kt1＋k2(t为参数)．把直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程得t2－2t1＋k2－3＝0.设t1，t2为方程的两个根，则t1＋t2＝21＋k2，t1·t2＝－3＜0，∴||OA|－|OB||＝|t1＋t2|＝21＋k2＝2，∴k＝0.即学即练稳操胜券课堂基础达标1．(2019·天津市和平区模拟)圆心在点(1，－3)，周长为4π的圆的参数方程为()A．x＝1－4cosθ，y＝－3＋4sinθ(θ为参数)B．x＝1－2cosθ，y＝－3＋2sinθ(θ为参数)C．x＝1＋4cosθ，y＝－3＋4sinθ(θ为参数)D．x＝1＋2cosθ，y＝－3＋2sinθ(θ为参数)解析：因为圆的周长为4π，所以圆的半径为2，又因为圆心在点(1，－3)，所以所求圆的参数方程为x＝1＋2cosθ，y＝－3＋2sinθ(θ为参数)，故选D．答案：D2．(2019·宁夏石嘴山月考)参数方程x＝t＋1，y＝1－2t(t为参数)表示的曲线不经过点()A．(0,3)B．(1,1)C．32，0D．(2，－1)解析：将参数方程x＝t＋1，y＝1－2t(t为参数)，消去参数t，化为普通方程，得y＝3－2x(x≥1)，所以表示的射线不经过点(0,3)，故选A．答案：A3．由方程x2＋y2－4tx－2ty＋5t2－4＝0(t为参数)所表示的一组圆的圆心轨迹是()A．一个定点B．一个椭圆C．一条抛物线D．一条直线解析：设圆心坐标为(x，y)，由题意得x＝2t，y＝t(t为参数)化为普通方程为x－2y＝0.答案：D4．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1和C2的参数方程分别为x＝t，y＝t(t为参数)和x＝2cosθ，y＝2sinθ(θ为参数)，则曲线C1与C2的交点坐标为________．解析：由x＝t，y＝t(t为参数)得x＝y2(y≥0)，由x＝2cosθ，y＝2sinθ(θ为参数)得x2＋y2＝2.由x＝y2，x2＋y2＝2，y≥0得x＝1，y＝1.答案：(1,1)5．(2019·湖南益阳月考)已知直线l的参数方程为x＝a－2t，y＝－4t(t为参数)，圆C的参数方程为x＝4cosθ，y＝4sinθ(θ为参数)．(1)求直线l和圆C的普通方程；(2)若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围．解：(1)将直线l的参数方程x＝a－2t，y＝－4t(t为参数)，消去参数t，得2x－y－2a＝0；将圆C的参数方程x＝4cosθ，y＝4sinθ(θ为参数)，消去参数θ，得x2＋y2＝16.所以直线l的普通方程为2x－y－2a＝0，圆C的普通方程为x2＋y2＝16.(2)由(1)知，圆C的圆心坐标为(0,0)，半径r＝4，因为直线l与圆C有公共点，所以圆心C到直线l的距离d＝|－2a|5≤4，解得－25≤a≤25.即实数a的取值范围是[－25，25]．