2019-2020学年高中数学 第2讲 参数方程 三 直线的参数方程 四 渐开线与摆线课件 新人教A

第二讲参数方程三直线的参数方程四渐开线与摆线梳理知识夯实基础自主学习导航目标导学1．理解直线的参数方程的几何意义．2．掌握直线的参数方程在计算弦长中的应用．3．了解圆的渐开线与摆线的意义及其参数方程．‖知识梳理‖1．直线的普通方程和参数方程已知直线l经过点M0(x0，y0)，倾斜角为α(α≠π2)，点M(x，y)为直线l上任意一点，则直线l的普通方程和参数方程分别为普通方程参数方程y－y0＝tanα(x－x0)或______x＝_________，y＝_________(t为参数)其中，直线的参数方程中参数t的绝对值满足关系式：|t|＝______.x＝x0x0＋tcosαy0＋tsinα|M0M→|2．圆的渐开线及其参数方程(1)把线绕在圆周上，假设线的粗细可以忽略，拉着线头__________，保持线与圆相切，______的轨迹就叫做圆的渐开线，相应的______叫做渐开线的______．(2)设基圆的半径为r，圆的渐开线的参数方程是______________________________．离开圆周线头定圆基圆x＝rcosφ＋φsinφ，y＝rsinφ－φcosφ(φ为参数)3．摆线及其参数方程(1)当一个圆沿着一条定直线__________滚动时，圆周上的______________的轨迹叫做________，简称______，又叫做________．(2)设圆的半径为r，圆滚动的角为φ，那么摆线的参数方程是___________________________．无滑动地一个定点运动平摆线摆线旋轮线x＝rφ－sinφ，y＝r1－cosφ(φ为参数)解剖难点探究提高重点难点突破过定点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线参数方程为x＝x0＋tcosα，y＝y0＋tsinα(t为参数)．参数t有明显的几何意义，t表示直线上有向线段M0M→的数量，即M0M＝t(其中M(x，y)是直线上任意一点)，当M点在M0上方时，t0，点M与M0重合时，t＝0，点M在M0下方时，t0；如果直线与x轴平行或是x轴，则当点M在M0右方时，t0.已知P1、P2两点都在直线上，对应的参数分别为t1和t2，则|P1P2|＝|t1－t2|.P1P2中点对应的t值为t＝12(t1＋t2)．归纳透析触类旁通课堂互动探究题型一直线参数方程的标准形式(1)过点(1,2)，斜率为3的直线参数方程的标准形式为______________；(2)设直线的参数方程为x＝5＋3t，y＝10－4t(t为参数)，则该直线参数方程的标准形式为______________．【思路探索】把直线写成x＝x0＋tcosα，y＝y0＋tsinα(t为参数)的形式即可．【解析】(1)由于直线过点(1,2)，∴x0＝1，y0＝2，又直线的斜率为3，则该直线的倾斜角为60°，∴该直线参数方程的标准形式为x＝1＋12t，y＝2＋32t(t为参数)．(2)把方程变形为x＝5＋32＋42·332＋42t＝5＋355t，y＝10－32＋42·432＋42t＝10－455t，令u＝－5t，则方程变为x＝5－35u，y＝10＋45u(u为参数)，记cosα＝－35，sinα＝45，点M0(5,10)，这是过M0点，倾角为α的直线的参数方程，u为参数，它是直线参数方程的标准形式．|u|表示直线上的点M(x，y)到定点M0的距离，点M(x，y)与参数u对应．【答案】(1)x＝1＋12t，y＝2＋32t(t为参数)(2)x＝5－35u，y＝10＋45u(u为参数)[名师点拨]若直线l经过点M0(x0，y0)倾斜角为α，则其参数方程的标准形式为x＝x0＋tcosα，y＝y0＋tsinα(t为参数)．①如果直线的参数方程的一般形式为x＝x0＋ct，y＝y0＋dt(t为参数，c，d∈R)．②可以通过转换x＝x0＋cc2＋d2c2＋d2·t，y＝y0＋dc2＋d2c2＋d2·t.就可以把直线的参数方程化为标准形式①，即x＝x0＋cc2＋d2t′，y＝y0＋dc2＋d2t′(其中t′是参数，且t′＝c2＋d2·t)．直线的参数方程②中，若c＝0，则直线的斜率不存在；若c≠0，则直线的斜率k＝dc.(1)(2019·德才期中)已知直线l的参数方程为x＝3－t，y＝－2＋3t(t为参数)，则直线l的倾斜角为()A．π6B．5π6C．π3D．2π3(2)设直线的参数方程为x＝－4＋22t，y＝22t(t为参数)，点P在直线上，且与点M0(－4,0)的距离为2，如果该直线的参数方程改写成x＝－4＋t，y＝t(t为参数)，则在这个方程中点P对应的t的值为()A．±1B．0C．±12D．±2解析：(1)解法一：由直线l的参数方程x＝3－t，y＝－2＋3t(t为参数)，得y＋2x－3＝3t－t＝－3，∴直线的斜率k＝－3，其倾斜角为2π3，故选D．解法二：由x＝3－t＝3－12·2t，y＝－2＋3t＝－2＋32·2t，令2t＝t′，则x＝3－12t′，y＝－2＋32t′(t′为参数)，这是直线l的标准参数方程．设其倾斜角为α，则cosα＝－12，sinα＝32，0≤α＜π，解得α＝2π3，故选D．(2)由题意知|PM0|＝2，∴t＝±2，代入第一个参数方程x＝－4＋22t，y＝22t(t为参数)得P的坐标分别为(－3,1)或(－5，－1)．再把P的坐标代入第二个参数方程x＝－4＋t，y＝t(t为参数)得t＝1或t＝－1.答案：(1)D(2)A题型二直线的参数方程的应用如图所示，已知直线l过点P(2,0)，斜率为43，直线l和抛物线y2＝2x相交于A，B两点，设线段AB的中点为M，求：(1)P，M间的距离|PM|；(2)点M的坐标；(3)线段AB的长|AB|.【思路探索】欲解此题，只需将直线写出参数方程的标准形式，再利用参数的几何意义求解．【解】(1)∵直线l过点P(2,0)，斜率为43，设直线l的倾斜角为α，则tanα＝43，∴cosα＝35，sinα＝45，∴直线l的参数方程的标准形式为x＝2＋35t，y＝45t(t为参数)．(*)∵直线l和抛物线相交，∴将直线l的参数方程代入抛物线方程y2＝2x中，整理得8t2－15t－50＝0，Δ＝152＋4×8×500.设这个二次方程的两个根为t1、t2，由根与系数的关系得t1＋t2＝158，t1t2＝－254，由M为线段AB的中点，根据t的几何意义，得|PM|＝t1＋t22＝1516.(2)∵中点M所对应的参数为tM＝1516，将此值代入直线l的参数方程的标准形式(*)，得x＝2＋35×1516＝4116，y＝45×1516＝34，即M4116，34.(3)|AB|＝|t1－t2|＝t1＋t22－4t1t2＝5873.[名师点拨]经过点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为x＝x0＋tcosα，y＝y0＋tsinα(t为参数)，(1)若P1，P2是直线l上的两个点，对应的参数分别为t1，t2，则向量P1P2→的数量为t2－t1，所以|P1P2→|＝|t2－t1|，若P1，P2是直线l与某圆锥曲线的两个交点，则弦长|P1P2|＝|t2－t1|.(2)若P1P2的中点为P3，且P1，P2，P3对应的参数分别为t1，t2，t3，则t3＝t1＋t22，特别地，若直线l上的两个点P1，P2的中点为M0(x0，y0)，则t1＋t2＝0，t1t20.(2019·成都三诊)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x＝25cosα，y＝2sinα(α为参数)．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ2＋4ρcosθ－2ρsinθ＋4＝0.(1)写出曲线C1的普通方程，曲线C2的直角坐标方程；(2)过曲线C1的左焦点且倾斜角为π4的直线l交曲线C2于A、B两点，求|AB|.解：(1)x＝25cosα，y＝2sinα(α为参数)⇒x252＋y22＝cos2α＋sin2α＝1，即曲线C1的普通方程为x220＋y24＝1.∵ρ2＝x2＋y2，x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，曲线C2的方程可化为x2＋y2＋4x－2y＋4＝0，即曲线C2的直角坐标方程为(x＋2)2＋(y－1)2＝1.(2)曲线C1的左焦点为(－4,0)，∵直线l的倾斜角为α＝π4，∴sinα＝cosα＝22，∴直线l的参数方程为x＝－4＋22t，y＝22t(t为参数)．将直线l的参数方程代入曲线C2的直角坐标方程，得t2－32t＋4＝0.设A、B对应的参数分别为t1，t2，则t1＋t2＝32，t1t2＝4.∴|AB|＝|t1－t2|＝t1＋t22－4t1t2＝322－4×4＝2.题型三圆的渐开线与摆线的参数方程(1)平面直角坐标系中，若圆的摆线过点(1,0)，则这条摆线的参数方程为______________；(2)已知圆的渐开线的参数方程x＝3cosφ＋3φsinφ，y＝3sinφ－3φcosφ(φ为参数)，则此渐开线对应基圆的半径是________；当φ＝π2时对应的曲线上的点的坐标为________．【思路探索】对于(1)套圆的摆线方程求解；对于(2)利用圆的渐开线的参数方程求解．【解析】(1)令r(1－cosφ)＝0，可得cosφ＝1，所以φ＝2kπ(k∈Z)，代入可得x＝r(2kπ－sin2kπ)＝1.所以r＝12kπ.又根据实际情况可知r是圆的半径，故r0.所以应有k0且k∈Z，即k∈N*.所以所求摆线的参数方程是x＝12kπφ－sinφ，y＝12kπ1－cosφ(φ为参数)(k∈N*)．(2)圆的渐开线的参数方程可化为x＝3cosφ＋φsinφ，y＝3sinφ－φcosφ(φ为参数)，圆的渐开线的参数方程由圆的半径唯一确定，从方程不难看出基圆的半径r＝3.当φ＝π2时，代入渐开线的参数方程，得x＝3cosπ2＋3·π2·sinπ2，y＝3sinπ2－3·π2·cosπ2，即x＝3π2，y＝3，所以当φ＝π2时对应的曲线上的点的坐标为3π2，3.【答案】(1)x＝12kπφ－sinφ，y＝12kπ1－cosφ(φ为参数)(k∈N*)(2)33π2，3[名师点拨]解决有关圆的渐开线及摆线的参数方程的问题，记住参数方程是关键.已知一个圆的摆线过一定点(2,0)，请写出该圆的半径最大时该摆线的参数方程以及对应的圆的渐开线的参数方程．解：令y＝0，可得r(1－cosφ)＝0，由于r0，即得cosφ＝1，所以φ＝2kπ(k∈Z)．代入x＝r(φ－sinφ)，得x＝r(2kπ－sin2kπ)．又因为x＝2.所以r(2kπ－sin2kπ)＝2，即得r＝1kπ(k∈Z)．又由实际可知r0，所以r＝1kπ(k∈N＋)．易知，当k＝1时，r取最大值为1π.代入即可得圆的摆线的参数方程为x＝1πφ－sinφ，y＝1π1－cosφ(φ为参数)；圆的渐开线的参数方程为x＝1πcosφ＋φsinφ，y＝1πsinφ－φcosφ(φ为参数)．即学即练稳操胜券课堂基础达标1．(2019·慧德高中月考)已知直线l的参数方程为x＝1＋t，y＝－1＋t(t为参数)，则直线l的普通方程为()A．x－y－2＝0B．x－y＋2＝0C．x＋y＝0D．x＋y－2＝0解析：由直线l的参数方程x＝1＋t，y＝－1＋t(t为参数)，消去参数t，得x－y－2＝0，故选A．答案：A2．对于参数方程x＝1－tcos30°，y＝2＋tsin30°(