2019-2020学年高中数学 第2讲 参数方程 二 圆锥曲线的参数方程课件 新人教A版选修4-4

第二讲参数方程二圆锥曲线的参数方程梳理知识夯实基础自主学习导航目标导学1．理解椭圆、双曲线、抛物线的参数的几何意义．2．掌握椭圆的参数方程在计算最值问题中的应用，了解双曲线、抛物线的参数方程在计算中的应用．‖知识梳理‖1．椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的参数方程为x＝______，y＝______(φ为参数)．y2a2＋x2b2＝1(ab0)的参数方程为x＝bcosφ，y＝asinφ(φ为参数)．acosφbsinφ2．双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的参数方程为x＝_________，y＝_________(φ为参数)．3．抛物线y2＝2px(p0)的参数方程为x＝2ptan2α，y＝_________(α为参数)或x＝2pt2，y＝___(t为参数)．acosφbtanφ2ptanα2pt解剖难点探究提高重点难点突破(1)从几何变换的角度看，通过伸缩变换，令x′＝1ax，y′＝1by，椭圆x2a2＋y2b2＝1可以变成圆x′2＋y′2＝1，利用圆x′2＋y′2＝1的参数方程x′＝cosφ，y′＝sinφ(φ是参数)，可以得到椭圆x2a2＋y2b2＝1的参数方程x＝acosφ，y＝bsinφ(φ是参数)，因此，参数φ的几何意义是椭圆上任意一点M所对应的圆的半径OA(或OB)的旋转角(称为点M的离心角)，而不是OM的旋转角．(2)同一条圆锥曲线的参数方程的形式不是唯一的，如椭圆x2a2＋y2b2＝1的参数方程可以是x＝acosφ，y＝bsinφ，也可以是x＝asinφ，y＝bcosφ，二者只是形式不同而已．在解题时，写圆锥曲线的参数方程时，要结合题目中所给的条件，选择合适的参数求解．归纳透析触类旁通课堂互动探究题型一椭圆的参数方程及其应用(1)中心在原点，焦点在x轴上，椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为10，离心率为35，则椭圆的参数方程为______________；(2)设P为椭圆x216＋y212＝1上一点，且∠xOP＝π3，则点P的坐标为________；(3)点P在椭圆x24＋y2＝1上，则点P到直线l：x＋2y＝0的距离的最大值为________．【思路探索】对于(1)可先求出椭圆的普通方程，再求其参数方程；对于(2)(3)可利用椭圆的参数方程，求解．【解析】(1)由题意得2a＝10，ca＝35，得a＝5，c＝3.又椭圆的焦点在x轴上，b2＝a2－c2＝16，∴椭圆的方程为x225＋y216＝1，其参数方程为x＝5cosθ，y＝4sinθ(θ为参数)．(2)∵P在x216＋y212＝1上，∴设P的坐标为(4cosθ，23sinθ)，∠POx＝π3，∴23sinθ4cosθ＝3，∴tanθ＝2.∴sinθ＝255，cosθ＝55或sinθ＝－255，cosθ＝－55.(舍)∴点P的坐标为455，4155.(3)∵点P在椭圆x24＋y2＝1上，∴设P(2cosθ，sinθ)，由点到直线的距离公式得|2cosθ＋2sinθ|5＝22sinθ＋π45≤225.∴点P到直线x＋2y＝0的最大距离为2105.【答案】(1)x＝5cosθ，y＝4sinθ(θ为参数)(2)455，4155(3)2105[名师点拨]利用椭圆的参数方程可以解决与椭圆上的点有关的最值问题，其思想转化为三角函数求最值.(2019·汕头质检)在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为3ρ2＝12ρcosθ－10(ρ＞0)．(1)求曲线C1的直角坐标方程；(2)曲线C2的方程为x216＋y24＝1，设P，Q分别为曲线C1与曲线C2上的任意一点，求|PQ|的最小值.解：(1)由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，得3(x2＋y2)＝12x－10.整理得(x－2)2＋y2＝23.所以曲线C1的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝23.(2)把曲线C2：x216＋y24＝1转化为参数方程为x＝4cosα，y＝2sinα(α为参数)，则点Q的坐标可设为(4cosα，2sinα)．由(1)知，圆C1的圆心坐标为(2,0)，半径r＝63，所以|QC1|＝4cosα－22＋4sin2α＝12cos2α－16cosα＋8＝23cosα－232＋23，所以当cosα＝23时，|QC1|min＝263，所以|PQ|min＝|QC1|min－r＝263－63＝63.题型二双曲线的参数方程及其应用(1)双曲线x＝5cosθ，y＝4tanθ(θ为参数)的离心率为________，渐近线方程为________；(2)将参数方程x＝t＋1t，y＝t－1t(t为参数)化为普通方程为____；(3)设M为双曲线x2－y2＝1上任意一点，M0(0,2)，则|MM0|的最小值是________．【思路探索】对于(1)化参数方程为普通方程再求解；对于(2)直接消参即可；对于(3)可利用双曲线的参数方程求解．【解析】(1)由x＝5cosθ，y＝4tanθ(θ为参数)得x225－y216＝1.其中a2＝25，b2＝16，∴c2＝a2＋b2＝41，∴e＝ca＝415.令x225－y216＝0，得y＝±45x，∴其渐近线方程为y＝±45x.(2)由x＝t＋1t，y＝t－1t(t为参数)得x2－y2＝4.(3)双曲线x2－y2＝1的参数方程为x＝1cosθ，y＝tanθ(θ为参数)，则M的坐标为1cosθ，tanθ，又∵M0(0,2)，∴|MM0|2＝1cosθ－02＋(tanθ－2)2＝tan2θ＋1＋tan2θ－4tanθ＋4＝2(tanθ－1)2＋3.∴当tanθ＝1时，|MM0|2有最小值3，从而|MM0|有最小值3.【答案】(1)415y＝±45x(2)x2－y2＝4(3)3[名师点拨]1．双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的参数方程为x＝acosφ，y＝btanφ(φ为参数)．其中cosφ≠0，所以φ≠kπ＋π2，k∈Z，这也使令tanφ有意义的φ的取值范围一致．故我们通常规定参数φ的范围为φ∈[0,2π)且φ≠π2，φ≠32π.2．与椭圆的参数方程的应用相似，当P在双曲线x2a2－y2b2＝1上时，可设Pacosφ，btanφ，其中φ∈[0,2π)，且φ≠π2，φ≠32π，从而把与双曲线上的点的坐标有关问题转化为三角函数问题来处理.(2019·衡水高二检测)参数方程x＝sinα2＋cosα2，y＝2＋sinα(α为参数)的普通方程为()A．y2－x2＝1B．x2－y2＝1C．y2－x2＝1(1≤y≤3)D．x2－y2＝1(|x|≤2)解析：由x＝sinα2＋cosα2，得x2＝1＋sinα，由y＝2＋sinα，得y2＝2＋sinα，∴y2－x2＝1，又y2＝2＋sinα∈[1,3]，∴y∈[1，3]，故选C．答案：C题型三抛物线的参数方程及其应用已知抛物线x＝2pt2，y＝2pt(t为参数，p0)上的点M，N对应的参数值为t1，t2，且t1＋t2＝0，t1t2＝－p2.(1)求抛物线的准线方程及焦点坐标；(2)求M、N两点间的距离．【思路探索】对于(1)把参数方程化为普通方程即可求出准线方程及焦点坐标；对于(2)可直接套用两点间的距离公式．【解】(1)由x＝2pt2，y＝2pt(t为参数，p0)得y2＝2px(p0)，∴其焦点坐标为p2，0，准线方程为x＝－p2.(2)由题可知M，N两点的坐标分别为(2pt21，2pt1)，(2pt22，2pt2)，∴|MN|＝2pt21－2pt222＋2pt1－2pt22＝4p2t1＋t22t1－t22＋4p2t1－t22.∵t1＋t2＝0，t1t2＝－p2，∴|MN|＝2pt1＋t22－4t1t2＝2p4p2＝4p2.∴M，N两点间的距离为4p2.[名师点拨]若点M在抛物线y2＝2px(p0)上，可根据参数方程设M(2pt2,2pt)，从而把点的坐标转化为与参数t有关的问题求解．(2019·江南十校联考)已知曲线M的参数方程为x＝cosα－3sinα，y＝2sin2α－23sinαcosα(α为参数)，曲线N的极坐标方程为ρcosθ＋π4＝m.(1)求曲线M的普通方程与曲线N的直角坐标方程；(2)曲线M与曲线N有两个公共点，求m的取值范围．解：(1)在曲线M中，由x＝cosα－3sinα，得x2＝cos2α＋3sin2α－23sinαcosα＝1＋2sin2α－23sinαcosα＝1＋y，又x＝cosα－3sinα＝2cosα＋π3，∴x∈[－2,2]．∴曲线M的普通方程为y＝x2－1，x∈[－2,2]．由ρcosθ＋π4＝m，得ρcosθ－ρsinθ＝2m.化为直角坐标方程为x－y－2m＝0.(2)∵曲线M与曲线N有两个公共点，∴y＝x－2m，y＝x2－1在[－2,2]上有两组解，即方程x2－x＋2m－1＝0在[－2,2]上有两解．令g(x)＝x2－x＋2m－1，x∈[－2,2]，则Δ＝1－42m－1＞0，12∈[－2，2]，g2＝4－2＋2m－1＝1＋2m≥0，g－2＝4＋2＋2m－1＝5＋2m≥0，解得－22≤m＜528，∴实数m的取值范围是－22，528.即学即练稳操胜券课堂基础达标1．(2019·杭州检测)当参数θ变化时，动点P(2cosθ，3sinθ)所确定的曲线必过点()A．(1,2)B．(2,3)C．(0,3)D．0，π2解析：由x＝2cosθ，y＝3sinθ消去参数θ，得普通方程x24＋y29＝1，该椭圆必过点(0,3)，故选C．答案：C2．已知椭圆的参数方程为x＝2cost，y＝4sint(t为参数)，点M在椭圆上，对应参数t＝π3，点O为原点，则直线OM的斜率为()A．3B．－33C．23D．－23解析：当t＝π3时，x＝2cosπ3＝1，y＝4sinπ3＝23.∴直线OM的斜率为k＝yx＝23.答案：C3．(2019·太原检测)与普通方程x2＋y－1＝0等价的参数方程为()A．x＝sint，y＝cos2t(t为参数)B．x＝1－t，y＝t(t为参数)C．x＝cost，y＝sin2t(t为参数)D．x＝tanφ，y＝1－tan2φ(φ为参数)解析：与普通方程x2＋y－1＝0等价的含义是指将参数方程转化为普通方程时，形式一致，且x、y的变化范围对应相同．选项A化为普通方程为x2＋y－1＝0，x∈[－1,1]与x∈R不符；选项B化为普通方程为x2＋y－1＝0，x∈[0，＋∞)，y∈(－∞，1]与x∈R不符；选项C化为普通方程为x2＋y－1＝0，x∈[－1,1]与x∈R不符；选项D化为普通方程为x2＋y－1＝0，x∈R，y∈(－∞，1]，正确．故选D．答案：D4．(2019·洛阳检测)已知椭圆C的参数方程为x＝5cosθ，y＝3sinθ(θ为参数，θ∈R)，则此椭圆的焦距为______．解析：由椭圆C的参数方程为x＝5cosθ，y＝3sinθ(θ为参数)知，a＝5，b＝3，∴c＝4，∴此椭圆的焦距为2c＝8.答案：85．设M为抛物线y2＝2x上的动点，定点M0(－1,0)，点P为线段M0M的中点，求点P的轨迹方程．解：令y＝2t，则x＝y22＝2t2，得抛物线的参数方程为x＝2t2，y＝2t(t为参数)．∵M为抛物线上的动点，则M(2t2,2t)，定点M0(－1,0)，设线段M0M的中点P(x，y)．由中点坐标公式得