2019-2020学年高中数学 第2讲 参数方程 第6课时 抛物线的参数方程课件 新人教A版选修4-

第6课时抛物线的参数方程抛物线的参数方程(1)抛物线y2＝2px(p＞0)的参数方程可表示为___________(t为参数)，参数t的几何意义：___________________________________________________________；(2)抛物线x2＝2py(p＞0)的参数方程可表示为__________(t为参数)．x＝2pt2，y＝2pt表示抛物线上除顶点外任意一点(x，y)与原点连线斜率的倒数x＝2pt，y＝2pt2【答案】C1．抛物线x＝4t2，y＝2t(t为参数)的焦点坐标是()A．0，14B．0，－14C．14，0D．－14，0【解析】化为普通方程为y2＝x,2p＝1，p＝12，p2＝14，所以焦点坐标为14，0．2．参数方程x＝cos2θ，y＝sinθ(θ为参数)所表示的曲线为()A．抛物线的一部分B．一条抛物线C．双曲线的一部分D．一条双曲线【答案】A【解析】x＋y2＝1⇒y2＝－x＋1，又x＝cos2θ∈[0,1]，方程表示的曲线为抛物线的一部分．3．参数方程x＝cosθ，y＝1＋cos2θ(θ为参数)化为普通方程是________________．【答案】x2＝12y，x∈[－1,1]【解析】y＝1＋cos2θ＝2cos2θ＝2x2，又－1≤cosθ≤1，所以x2＝12y，x∈[－1,1]．4．如图，已知点A(1,0)，P是曲线x＝2cosθ，y＝1＋cos2θ(θ∈R)上一点，设P到直线l：y＝－12的距离为d，求|PA|＋d的最小值．【解析】y＝1＋cos2θ＝2cos2θ，消去θ得x2＝2y(0≤y≤2)，图象是一段抛物线弧，焦点为F0，12，准线为l，d＝|PF|，|PA|＋d＝|PA|＋|PF|，当A，P，F三点共线时，|PA|＋d最小，最小值为|AF|＝52．有关抛物线的实际问题【例1】设飞机以匀速v＝150m/s做水平飞行，若在飞行高度h＝588m处投弹(假设炸弹的初速度等于飞行的速度)，求炸弹离开飞机后的轨迹方程．【解题探究】选择合理的参变量将炸弹(看作质点)的水平方向和竖直方向的运动表示出来．【解析】如图所示，A为投弹点，坐标为(0,588)，B为落地点，坐标为(x0,0)．记炸弹飞行的时间为t，在A点处，t＝0.设M(x，y)为飞行曲线上的任意一点，它对应时刻t，炸弹初速度v0＝150m/s，用物理学知识，分别计算水平、竖直方向的路程，得x＝v0t，y＝588－4.9t2(t为参数，g＝9.8m/s2)，即x＝150t，y＝588－4.9t2(t为参数)，这是炸弹飞行曲线的参数方程．准确把握题意，分析物理学中物体的运动过程，选择适当的坐标系及变量，将物理问题转化为数学问题．利用抛物线的参数方程解决．1．若不计空气阻力，炮弹运行轨道是抛物线，测得我炮位A与炮击目标B在同一水平线上，水平距离为6000米，炮弹运行的最大高度为1200米，求炮弹的发射角α的正切值和发射初速度v0(重力加速度g＝9.8米/秒2)．【解析】在以A为原点，以直线AB为x轴的直角坐标系中，弹道方程是x＝v0tcosα，y＝v0tsinα－12gt2(t为参数且t≥0)．它经过最高点(3000,1200)和点B(6000,0)的时间分别为t0和2t0，代入参数方程得3000＝v0t0cosα，1200＝v0t0sinα－12gt20，0＝2v0t0sinα－2gt20，消去t0，得v20sinαcosα＝3000g，v20sin2α＝2400g.解得tanα＝45，v0＝71230(米/秒)．【例2】已知抛物线y2＝2px(p＞0)过顶点的两弦OA⊥OB，求以OA，OB为直径的两圆的另一交点Q的轨迹．【解题探究】利用参数方程设出点A，B的坐标，从而可以迅速得到以OA，OB为直径的两圆的方程，然后解决问题．抛物线的轨迹问题【解析】设A，B的坐标分别为(2pt21，2pt1)，(2pt22，2pt2)，则以OA为直径的圆的方程为x2＋y2－2pxt21－2pt1y＝0，以OB为直径的圆的方程为x2＋y2－2pxt22－2pt2y＝0，∴t1，t2是方程2pxt2＋2pyt－x2－y2＝0的两根．∴t1·t2＝－x2＋y22px.又OA⊥OB，∴t1·t2＝－x2＋y22px＝－1.∴x2＋y2－2px＝0.∴另一交点Q的轨迹是以(p,0)为圆心，p为半径的圆．利用参数t的几何意义，由OA⊥OB得t1·t2＝－1，利用根与系数的关系解决问题．2．设M是抛物线y2＝2x上的动点，给定点M0(－1,0)，点P为线段M0M的中点，求点P的轨迹方程．【解析】令y＝2t，则x＝y22＝2t2，得抛物线的参数方程x＝2t2，y＝2t.设动点M(2t2,2t)，定点M0(－1,0)，设P(x，y)，由中点的坐标公式得x＝12－1＋2t2，y＝120＋2t，即x＝－12＋t2，y＝t.这就是P点的轨迹参数方程．化为普通方程是y2＝x＋12，它是以x轴为对称轴，顶点为－12，0的抛物线．【例3】已知抛物线y2＝2px(p＞0)上存在两点关于直线x＋y－1＝0对称，求p的取值范围．【解题探究】两点关于直线对称，一般是利用两点的中点在直线上，两点所在的直线与对称直线垂直．抛物线的几何问题【解析】设抛物线上两点A，B的坐标分别为(2pt21，2pt1)，(2pt22，2pt2)且关于直线x＋y－1＝0对称，则pt21＋t22＋pt1＋t2＝1，①2pt1－t22pt21－t22＝1.②由②得t1＋t2＝1，代入①得t21＋t22＝1－pp＞0，所以0＜p＜1．又t21＋t222＞t1＋t222，得1－pp＞12，所以0p＜23．综上，0＜p＜23．利用参数方程设出抛物线上点的坐标，减少了未知量的引入．根据条件建立恰当的不等式，快捷方便地求出了p的范围．3．如图所示，O是直角坐标原点，A，B是抛物线y2＝2px(p0)上异于顶点的两动点且OA⊥OB，点A，B在什么位置时，△AOB的面积最小？最小值是多少？【解析】根据题意，抛物线y2＝2px的参数方程为x＝2pt2，y＝2pt(t为参数)，设点A，B的坐标分别为(2pt21，2pt1)，(2pt22，2pt2)(t1≠t2且t1t2≠0)，则|OA|＝2pt212＋2pt12＝2p|t1|t21＋1，|OB|＝2pt222＋2pt22＝2p|t2|t22＋1．因为OA⊥OB，所以OA→·OB→＝0，即2pt21·2pt22＋2pt1·2pt2＝0.所以t1t2＝－1．△AOB的面积为S△AOB＝12|OA|·|OB|＝12·2p|t1|t21＋1·2p|t2|t22＋1＝2p2|t1t2|t21＋1t22＋1＝2p2t21＋t22＋2＝2p2t21＋1t21＋2≥2p22＋2＝4p2．当且仅当t21＝1t21，即t1＝1，t2＝－1时，等号成立．所以点A，B的坐标分别为(2p,2p)，(2p，－2p)时，△AOB的面积最小，最小值为4p2．1．参数方程的形式不唯一，可通过转化为普通方程判断．2．要注意参数的取值范围．