2019-2020学年高中数学 第2讲 参数方程 第1课时 参数方程的概念课件 新人教A版选修4-4

第1课时参数方程的概念1．参数方程的概念在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数x＝ft，y＝gt，并且对于t的每一个允许值，由这个方程所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的__________，联系变数x，y的变数t叫做________，简称______．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做____________．参数方程参变数参数普通方程2．参数方程的意义参数方程是曲线上点的位置的另一种表示形式，它借助于中间变量把曲线上的动点的两个坐标间接地联系起来，参数方程与普通方程同等地描述，了解曲线的参数方程实际上是一个方程组，其中x，y分别为曲线上点M的________和________．横坐标纵坐标3．关于参数几点说明(1)参数方程中参数可以有物理意义，几何意义，也可以没有明显意义；(2)同一曲线选取的参数不同，曲线的参数方程形式也不一样；(3)在实际问题中要确定参数的取值范围．【答案】B【解析】参数方程中，要求曲线上任意一点的坐标x，y都是参数t的函数，B中x不是t的函数，所以不是参数方程．1．下列方程不是参数方程的是()A．x＝ty＝2t－1B．x2＝ty＝2tC．x＝1＋ty＝2t＋1D．x＝ty＝2t2－12.(2018年抚州期末)当参数θ变化时，由点P(2cosθ，3sinθ)所确定的曲线过点()A.(2,3)B.(1,5)C.0，π2D.(2,0)【答案】D【解析】当2cosθ＝2，即cosθ＝1时，3sinθ＝0.∴过点(2,0).3．已知曲线C满足方程x＝t，y＝2t－1(t为参数)，则曲线C上点的横坐标的取值范围是________．【答案】12，＋∞【解析】由y＝2t－1得2t－1≥0，t≥12，所以x≥12．4．若x＝t，t∈R，求3x＋4y＋7＝0的参数方程．【答案】将x＝t代入方程3x＋4y＋7＝0，则y＝－14(3t＋7)，所求参数方程为x＝t，y＝－143t＋7(t为参数)．【例1】动点M做匀速直线运动，它在x轴和y轴方向的速度分别为5m/s和12m/s，运动开始时位于点P(1,2)，求点M运动的轨迹的参数方程．【解题探究】路程由速度和时间决定，速度已经知道，且x轴和y轴方向上运动的时间是一样的，故可以选取时间t为参数．求有关物理学的参数方程【解析】设动点M(x，y)，运动时间为t，依题意，它在x轴和y轴上运动的路程分别为x＝5t＋1，y＝12t＋2，所以点M运动的轨迹的参数方程为x＝5t＋1，y＝12t＋2(t为参数)．本题是列出参数方程使问题简化，参数方程有时比普通方程简便．1．物体从高处以初速度v0(m/s)沿水平方向抛出，以抛出点为原点，水平直线为x轴，物体所经路线的参数方程为________．【答案】x＝v0t，y＝－12gt2(t为参数，t≥0)【解析】设物体抛出的时刻为0s，在时刻ts时其坐标为M(x，y)，由于物体做平抛运动，依题意，得x＝v0t，y＝－12gt2(t为参数，t≥0)，这就是物体所经路线的参数方程．【例2】已知曲线C的参数方程是x＝1＋2t，y＝at2(t为参数，a∈R)，点M(5,4)在该曲线上．(1)求常数a；(2)若点N(9，b)也在曲线上，求M，N的距离．【解题探究】点在曲线上，可将点的坐标代入曲线方程，利用参数t求出a.从而求出曲线的参数方程，再将点N的坐标代入参数方程，求出b，利用两点间距离公式求出解即可．参数方程的几何问题【解析】(1)由题意可知1＋2t＝5，at2＝4⇒a＝1，t＝2，∴a＝1．(2)由已知及(1)可得，曲线C的方程为x＝1＋2t，y＝t2，将N(9，b)代入参数方程，得1＋2t＝9，t2＝b⇒t＝4⇒b＝16，∴N(9,16)，|MN|＝9－52＋16－42＝410．利用参数t可分别求出x，y的值，反之，知道x，y的值，也可求出参数t．2．曲线x＝1＋cosθ，y＝2sinθ(θ为参数)，经过点32，a，则a＝______．【解析】点32，a代入曲线方程得cosθ＝12，a＝2sinθ＝±21－14＝±3．【答案】±3【例3】已知等腰直角△ABC，B为直角顶点且在x轴的正方向上运动，点A在y轴正方向上运动，|AB|＝2，求点C的轨迹的参数方程．【解题探究】由条件可知，点C的变化是随∠CBx的变化而变化，故可选取∠CBx＝θ为参数，求动点C的参数方程．求轨迹的参数方程【解析】如图，设∠CBx＝θ0≤θ≤π2，过点C作CD⊥x轴，交x轴于点D，设点C(x，y)，由几何条件有∠CBx＝∠BAO，则x＝|OB|＋|BD|＝2sinθ＋2cosθ，y＝|CD|＝2sinθ．从而所求参数方程为x＝2sinθ＋cosθ，y＝2sinθθ为参数，0≤θ≤π2．能否找准参数是参数方程是否简单的前提条件，用参数将x，y分别表示出来，不用找x，y之间的关系式，使问题简化．3．如图所示，OA是圆C的直径且OA＝2a，射线OB与圆交于Q点，和经过A点的切线交于B点，作PQ⊥OA且垂足为D，PB∥OA，试求点P的轨迹方程．(用参数方程求解并化为普通方程)【解析】设P(x，y)是轨迹上任意一点，取∠DOQ＝θ，由PQ⊥OA，PB∥OA，连接AQ，得x＝OD＝OQcosθ＝OAcos2θ＝2acos2θ，y＝AB＝OAtanθ＝2atanθ，∴P点轨迹的参数方程为x＝2acos2θ，y＝2atanθθ为参数，θ∈－π2，π2．由于1cos2θ－tan2θ＝1，代入消θ得点P轨迹的普通方程为y2＝4a22ax－1．1．参数的选择要注意(1)曲线上每一点的坐标x，y与参数的关系比较明显，容易列出方程；(2)(x，y)都能由参数取某一值唯一地确定出来．2．参数方程求法(1)建立直角坐标系，设曲线上任一点P坐标为(x，y)；(2)选取适当的参数；(3)根据已知条件和图形的几何性质、物理意义，建立点P的坐标与参数的函数式；(4)证明这个参数方程就是所表示的曲线的方程．求曲线的参数方程关键是参数的选取，选取参数的原则是曲线上任一点坐标与参数的关系比较明显，关系相对简单，与运动有关的问题选取时间t作参数，与旋转有关的问题选取角θ作参数，或选取有向线段的数量、长度、直线的倾斜角、斜率等．