2019-2020学年高中数学 第2讲 参数方程 1 曲线的参数方程 第1课时 参数方程的概念 圆的

第二讲参数方程一曲线的参数方程第1课时参数方程的概念圆的参数方程学习目标：1.了解曲线的参数方程的概念与特点.2.理解圆的参数方程的形式和特点．(重点)3.运用圆的参数方程解决最大值、最小值问题．(难点、易错点)自主探新知预习教材整理1参数方程的概念阅读教材P21～P23“圆的参数方程”以上部分，完成下列问题．一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数x＝ft，_______①，并且对于t的每一个允许值，由方程组①所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么方程组①就叫做这条曲线的，联系变数x，y的变数t叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做．普通方程参数方程y＝g(t)方程x＝1＋sinθy＝sin2θ(θ是参数)所表示曲线经过下列点中的()A．(1,1)B.32，12C.32，32D.2＋32，－12[解析]将点的坐标代入方程：x＝1＋sinθy＝sin2θ，解θ的值．若有解，则该点在曲线上．[答案]C教材整理2圆的参数方程阅读教材P23～P24“思考”及以上部分，完成下列问题．1．如图，设圆O的半径为r，点M从初始位置M0(t＝0时的位置)出发，按逆时针方向在圆O上作匀速圆周运动，设M(x，y)，点M转过的角度是θ，则___________(θ为参数)，这就是圆心在原点，半径为r的圆的参数方程．x＝r·cosθy＝r·sinθ2．圆心为C(a，b)，半径为r的圆的普通方程与参数方程：普通方程参数方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2x＝_________y＝___________(θ为参数)b＋rsinθa＋rcosθ圆的参数方程为：x＝2＋2cosθy＝2sinθ(θ为参数)，则圆的圆心坐标为()A．(0,2)B．(0，－2)C．(－2,0)D．(2,0)[解析]圆的普通方程为(x－2)2＋y2＝4，故圆心坐标为(2,0)．[答案]D合作提素养探究参数方程的概念【例1】已知曲线C的参数方程是x＝1＋2ty＝at2(t为参数，a∈R)，点M(－3,4)在曲线C上．(1)求常数a的值；(2)判断点P(1,0)，Q(3，－1)是否在曲线C上？[思路探究](1)将点M的横坐标和纵坐标分别代入参数方程中的x，y，消去参数t，求a即可；(2)要判断点是否在曲线上，只要将点的坐标代入曲线的普通方程检验即可，若点的坐标是方程的解，则点在曲线上，否则，点不在曲线上．[自主解答](1)将M(－3,4)的坐标代入曲线C的参数方程x＝1＋2t，y＝at2，得－3＝1＋2t，4＝at2，消去参数t，得a＝1.(2)由上述可得，曲线C的参数方程是x＝1＋2t，y＝t2，把点P的坐标(1,0)代入方程组，解得t＝0，因此P在曲线C上，把点Q的坐标(3，－1)代入方程组，得到3＝1＋2t，－1＝t2，这个方程组无解，因此点Q不在曲线C上．点与曲线的位置关系：满足某种约束条件的动点的轨迹形成曲线，点与曲线的位置关系有两种：点在曲线上、点不在曲线上．(1)对于曲线C的普通方程f(x，y)＝0，若点M(x1，y1)在曲线上，则点M(x1，y1)的坐标是方程f(x，y)＝0的解，即有f(x1，y1)＝0，若点N(x2，y2)不在曲线上，则点N(x2，y2)的坐标不是方程f(x，y)＝0的解，即有f(x2，y2)≠0.(2)对于曲线C的参数方程x＝fty＝gt(t为参数)，若点M(x1，y1)在曲线上，则x1＝fty1＝gt对应的参数t有解，否则参数t不存在．1．已知曲线C的参数方程为x＝2cosθy＝3sinθ(θ为参数，0≤θ2π)．判断点A(2,0)，B－3，32是否在曲线C上？若在曲线上，求出点对应的参数的值．[解]把点A(2,0)的坐标代入x＝2cosθ，y＝3sinθ，得cosθ＝1且sinθ＝0，由于0≤θ2π，解之得θ＝0，因此点A(2,0)在曲线C上，对应参数θ＝0.同理，把B－3，32代入参数方程，得－3＝2cosθ，32＝3sinθ，∴cosθ＝－32，sinθ＝12.又0≤θ2π，∴θ＝56π，所以点B－3，32在曲线C上，对应θ＝56π.求曲线的参数方程【例2】已知边长为a的等边三角形ABC的顶点A在y轴的非负半轴上移动，顶点B在x轴的非负半轴上移动，求顶点C在第一象限内的轨迹的参数方程．[思路探究]先画出图形，选取角为参数，建立动点的坐标的三角函数即可．[自主解答]如图，设C点坐标为(x，y)，∠ABO＝θ，过点C作x轴的垂线段CM，垂足为M.则∠CBM＝23π－θ，∴x＝acosθ＋acos23π－θ，y＝asin23π－θ，即x＝asinθ＋π6，y＝asinθ＋π3θ为参数，0≤θ≤π2为所求．求曲线的参数方程的方法步骤：(1)建立适当的直角坐标系，设曲线上任一点M的坐标；(2)写出适合条件的点M的集合；(3)用坐标表示集合，列出方程；(4)化简方程为最简形式；(5)证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点(此步骤可以省略，但一定要注意所求的方程中所表示的点是否都表示曲线上的点，要注意那些特殊的点)．2．若本例中的等边三角形变为等腰直角三角形，AC为斜边，腰为a，其余条件不变，如何求顶点C在第一象限内的轨迹的参数方程？[解]如图，设C点坐标为(x，y)，∠ABO＝θ，过点C作x轴的垂线段CM，垂足为M.则∠CBM＝π2－θ，∴x＝acosθ＋acosπ2－θ，y＝asinπ2－θ，即x＝acosθ＋asinθ，y＝acosθθ为参数，0≤θ≤π2为所求．圆的参数方程[探究问题]1．当物体绕定轴作匀速转动时，物体中各个点都作匀速圆周运动(如图)．那么，怎样刻画运动中点的位置呢？[提示]如图，设圆O的半径是r，点M从初始位置M0(t＝0时的位置)出发，按逆时针方向在圆O上作匀速圆周运动，点M绕点O转动的角速度为ω.以圆心O为原点，OM0所在的直线为x轴，建立直角坐标系．显然，点M的位置由时刻t惟一确定，因此可以取t为参数．2．如果在时刻t，点M转过的角度是θ，坐标是M(x，y)，那么θ＝ωt.设|OM|＝r，如何用r和θ表示x，y呢？[提示]由三角函数定义，有cosωt＝xr，sinωt＝yr，即x＝rcosωt，y＝rsinωt.(t为参数)考虑到θ＝ωt，也可以取θ为参数，于是有x＝rcosθ，y＝rsinθ.(θ为参数)【例3】如图，已知点P是圆x2＋y2＝16上的一个动点，定点A(12,0)，当点P在圆上运动时，求线段PA的中点M的轨迹．[思路探究]引入参数→化为参数方程→设动点Mx，y――――→代入法求动点的参数方程→确定轨迹[自主解答]设动点M(x，y)，∵圆x2＋y2＝16的参数方程为x＝4cosθ，y＝4sinθ，(θ为参数)，∴设点P(4cosθ，4sinθ)，由线段的中点坐标公式，得x＝4cosθ＋122，且y＝4sinθ2，∴点M的轨迹方程为x＝2cosθ＋6，y＝2sinθ，因此点M的轨迹是以点(6,0)为圆心，以2为半径的圆．1．引入参数，把圆的普通方程化为参数方程x＝4cosθ，y＝4sinθ，，其实质就是三角换元，利用了三角恒等式sin2θ＋cos2θ＝1.2．圆的参数方程x＝x0＋rcosθy＝y0＋rsinθ(θ为参数)表示圆心为(x0，y0)，半径为r的圆．3．已知点M(x，y)是圆x2＋y2＋2x＝0上的动点，若4x＋3y－a≤0恒成立，求实数a的取值范围．[解]由x2＋y2＋2x＝0，得(x＋1)2＋y2＝1，又点M在圆上，∴x＝－1＋cosθ，且y＝sinθ，因此4x＋3y＝4(－1＋cosθ)＋3sinθ＝－4＋5sin(θ＋φ)≤－4＋5＝1.(φ由tanφ＝43确定)∴4x＋3y的最大值为1.若4x＋3y－a≤0恒成立，则a≥(4x＋3y)max，故实数a的取值范围是[1，＋∞)．当堂固双基达标1．下列方程：(1)x＝m，y＝m.(m为参数)(2)x＝m，y＝n.(m，n为参数)(3)x＝1，y＝2.(4)x＋y＝0中，参数方程的个数为()A．1B．2C．3D．4[解析]由参数方程的概念知x＝my＝m是参数方程，故选A.[答案]A2．曲线x＝1＋t2y＝t－1与x轴交点的直角坐标是()A．(0,1)B．(1,2)C．(2,0)D．(±2,0)[解析]设与x轴交点的直角坐标为(x，y)，令y＝0得t＝1，代入x＝1＋t2，得x＝2，∴曲线与x轴的交点的直角坐标为(2,0)．[答案]C3．参数方程x＝t＋1ty＝2(t为参数)表示的曲线是()A．两条直线B．一条射线C．两条射线D．双曲线[解析]当t0时x≥2，y＝2，是一条射线；当t0时，x≤－2，y＝2，也是一条射线，故选C.[答案]C4．已知x＝t＋1y＝t2(t为参数)，若y＝1，则x＝________.[解析]当y＝1时，t2＝1，∴t＝±1，当t＝1时，x＝2；当t＝－1时，x＝0.∴x的值为2或0.[答案]2或05．在平面直角坐标系xOy中，动圆x2＋y2－8xcosθ－6ysinθ＋7cos2θ＋8＝0(θ∈R)的圆心为P(x，y)，求2x－y的取值范围．[解]由题设得x＝4cosθ，y＝3sinθ，(θ为参数，θ∈R)．于是2x－y＝8cosθ－3sinθ＝73sin(θ＋φ)，φ由tanφ＝－83确定所以－73≤2x－y≤73.所以2x－y的取值范围是[－73，73]．