2019-2020学年高中数学 第1章 坐标系 3 柱坐标系和球坐标系课件 北师大版选修4-4

第一章坐标系§3柱坐标系和球坐标系学习目标：1.了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方法．(重点)2.理解柱坐标、球坐标与空间直角坐标的互化关系与公式．(重点)3.体会空间直角坐标、柱坐标、球坐标刻画点的位置的方法的区别．(易错易混点)自主探新知预习教材整理1柱坐标系和球坐标系1．柱坐标系如图，建立空间直角坐标系O­xyz.设M(x，y，z)为空间一点，并设点M在xOy平面上的投影点P的极坐标为(r，θ)，则这样的三个数r，θ，z构成的有序数组(r，θ，z)就叫作点M的，这里规定r，θ，z的变化范围为0≤r＜＋∞，0≤θ＜2π，－∞＜z＜＋∞.柱坐标特别地，r＝常数，表示的是以z轴为轴的圆柱面；θ＝常数，表示的是过z轴的半平面；z＝常数，表示的是与xOy平面平行的平面．2．球坐标系设M(x，y，z)为空间一点，点M可用这样三个有次序的数r，φ，θ来确定，其中r为原点O到点M间的距离，φ为有向线段OM→与z轴正方向所夹的角，θ为从z轴正半轴看，x轴正半轴按逆时针方向旋转到有向线段OP→的角，这里P为点M在xOy平面上的投影(如图)．这样的三个数r，φ，θ构成的有序数组(r，φ，θ)叫作点M的______，这里r，φ，θ的变化范围为0≤r＋∞，0≤φ≤π，0≤θ＜2π.球坐标特别地，r＝常数，表示的是以原点为球心的球面；φ＝常数，表示的是以原点为顶点，z轴为轴的圆锥面；θ＝常数，表示的是过z轴的半平面．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)柱坐标和球坐标都是有序数组，但意义不同．()(2)在柱坐标系M(r，θ，z)中，θ表示OM与y轴所成的角．()(3)球坐标中，r表示OM的长度．()[解析](1)√柱坐标和球坐标都是有序数组，但意义不同．(2)×θ表示OM与x轴所成的角．(3)√球坐标中r表示OM的长度．[答案](1)√(2)×(3)√教材整理2空间中点的坐标之间的变换公式设空间一点M的直角坐标为(x，y，z)，柱坐标为(r，θ，z)，球坐标为(r，φ，θ)，则空间直角坐标柱坐标系球坐标系(x，y，z)x＝rcosθy＝rsinθz＝zx＝rsinφcosθy＝rsinφsinθz＝rcosφ填空：(1)柱坐标2，π3，1的直角坐标是________．(2)球坐标4，π4，π6的直角坐标是________．[解析](1)x＝2cosπ3＝1，y＝2sinπ3＝3，z＝1.所以2，π3，1的直角坐标是(1，3，1)．(2)x＝4×sinπ4×cosπ6＝6，y＝4×sinπ4×sinπ6＝2，z＝4cosπ4＝22.∴4，π4，π6的直角坐标是(6，2，22)．[答案](1)(1,3，1)(2)(6，2，22)合作提素养探究把点的柱坐标化为直角坐标【例1】根据下列点的柱坐标，分别求直角坐标．(1)2，5π6，3；(2)2，π4，5.[精彩点拨][尝试解答]设点的直角坐标为(x，y，z)．(1)∵(r，θ，z)＝2，5π6，3，∴x＝rcosθ＝2cos5π6＝－3，y＝rsinθ＝2sin5π6＝1，z＝3，∴(－3，1,3)为所求．(2)∵(r，θ，z)＝2，π4，5，∴x＝rcosθ＝2cosπ4＝1，y＝rsinθ＝2sinπ4＝1，z＝5，∴(1,1,5)为所求．点(r，θ，z)是三维空间坐标系中的点的坐标，在平面xOy内实际为极坐标系，且r≥0,0≤θ＜2π，在竖直方向上，z为任意实数．化点的柱坐标(r，θ，z)为直角坐标(x，y，z)，需要运用公式x＝rcosθ，y＝rsinθ，z＝z转化为三角函数的求值与运算即得．1．将下列各点的柱坐标分别化为直角坐标．(1)2，π6，1；(2)(1，π，0)．[解]设点的直角坐标为(x，y，z)，(1)∵(r，θ，z)＝2，π6，1，∴x＝rcosθ＝2cosπ6＝3，y＝rsinθ＝2sinπ6＝1，z＝1，∴(3，1,1)为所求．(2)∵(r，θ，z)＝(1，π，0)，∴x＝rcosθ＝cosπ＝－1，y＝rsinθ＝sinπ＝0，z＝0，∴(－1,0,0)为所求.把点的球坐标化为直角坐标【例2】把下列各点的球坐标化为直角坐标．(1)2，34π，54π；(2)6，π3，π6.[精彩点拨][尝试解答]设点的直角坐标为(x，y，z)，(1)∵(r，φ，θ)＝2，3π4，5π4，∴x＝rsinφcosθ＝2sin3π4cos5π4＝－1，y＝rsinφsinθ＝2sin3π4sin5π4＝－1，z＝rcosφ＝2cos3π4＝－2，∴(－1，－1，－2)为所求．(2)∵(r，φ，θ)＝6，π3，π6，∴x＝rsinφcosθ＝6sinπ3cosπ6＝364，y＝rsinφsinθ＝6sinπ3sinπ6＝324，z＝rcosφ＝6cosπ3＝62，∴364，324，62为所求．首先要明确点的球坐标(r，φ，θ)中角φ，θ的边与数轴Oz，Ox的关系，注意各自的限定范围，即0≤φ≤π，0≤θ＜2π.化点的球坐标(r，φ，θ)为直角坐标(x，y，z)，需要运用公式x＝rsinφcosθ，y＝rsinφsinθ，z＝rcosφ.转化为三角函数的求值与运算．2．将下列各点的球坐标分别化为直角坐标．(1)6，π3，23π；(2)(3，π，π)．[解]设点的直角坐标为(x，y，z)．(1)∵(r，φ，θ)＝6，π3，2π3，∴x＝rsinφcosθ＝6sinπ3cos2π3＝－332，y＝rsinφsinθ＝6sinπ3sin2π3＝92，z＝rcosφ＝6cosπ3＝3，∴－332，92，3为所求．(2)∵(r，φ，θ)＝(3，π，π)，∴x＝rsinφcosθ＝3sinπcosπ＝0，y＝rsinφsinθ＝3sinπsinπ＝0，z＝rcosφ＝3cosπ＝－3，∴(0,0，－3)为所求.化点的坐标为柱坐标或球坐标[探究问题]1．空间中点的坐标有三种形式：直角坐标、柱坐标和球坐标，它们各有何特点？[提示]设空间中点M的直角坐标为(x，y，z)，柱坐标为(r，θ，z)，球坐标为(r，φ，θ)，它们都是有序数组，但意义不同．直角坐标为三个实数；柱坐标分别表示距离、角、实数；球坐标分别表示距离、角、角．2．在空间的柱坐标系中，方程r＝r0(r0为不等于0的常数)，θ＝θ0，z＝z0分别表示什么图形？[提示]在空间的柱坐标系中，方程r＝r0表示中心轴为z轴，底半径为r0的圆柱面，它是上述圆周沿z轴方向平行移动而成的．方程θ＝θ0表示与zOx坐标面成θ0角的半平面．方程z＝z0表示平行于xOy坐标面的平面，如图所示．常把上述的圆柱面、半平面和平面称为柱坐标系的三族坐标面．【例3】已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，如图，建立空间直角坐标系A­xyz，以Ax为极轴，求点C1的直角坐标、柱坐标以及球坐标．[精彩点拨]先求C1的直角坐标，再根据柱坐标、球坐标与直角坐标的关系，求得其柱坐标、球坐标．[尝试解答]点C1的直角坐标为(1,1,1)．设点C1的柱坐标为(r，θ，z)，球坐标为(r，φ，θ)，其中r≥0，r≥0,0≤φ≤π，0≤θ＜2π.由公式x＝rcosθ，y＝rsinθ，z＝z及x＝rsinφcosθ，y＝rsinφsinθ，z＝rcosφ，得r＝x2＋y2，tanθ＝yxx≠0，及r＝x2＋y2＋z2，cosφ＝zr，得r＝2，tanθ＝1，及r＝3，cosφ＝33，结合图形，得θ＝π4，由cosφ＝33得tanφ＝2.所以点C1的直角坐标为(1,1,1)，柱坐标为2，π4，1，球坐标为3，φ，π4，其中tanφ＝2，0≤φ≤π.化点M的直角坐标(x，y，z)为柱坐标(r，θ，z)或球坐标(r，φ，θ)，需要对公式x＝rcosθy＝rsinθz＝z以及x＝rsinφcosθ，y＝rsinφsinθ，z＝rcosφ进行逆向变换，得到r＝x2＋y2，tanθ＝yxx≠0，z＝z以及r＝x2＋y2＋z2，cosφ＝zr.提醒：在由三角函数值求角时，要结合图形确定角的范围再求值．3．已知点M的柱坐标为2，π4，1，求M关于原点O对称的点的柱坐标．[解]M2，π4，1的直角坐标为x＝2cosπ4＝1，y＝2sinπ4＝1，z＝1，∴M关于原点O的对称点的直角坐标为(－1，－1，－1)．(－1，－1，－1)的柱坐标为：ρ2＝(－1)2＋(－1)2＝2，∴ρ＝2.tanθ＝－1－1＝1，又x0，y0，∴θ＝5π4，∴其柱坐标为2，5π4，－1，∴M关于原点O对称点的柱坐标为2，5π4，－1.当堂固双基达标1．要刻画绕地球运转的某气象卫星的位置，应适合运用()A．极坐标系B．空间直角坐标系C．柱坐标系D．球坐标系[解析]由题意知D正确．[答案]D2．已知点A的柱坐标为(1,0,1)，则点A的直角坐标为()A．(1,1,0)B．(1,0,1)C．(0,1,1)D．(1,1,1)[解析]由点A的柱坐标为(1,0,1)知，r＝1，θ＝0，z＝1，故x＝rcosθ＝1，y＝rsinθ＝0，z＝1，所以直角坐标为(1,0,1)．[答案]B3．已知点A的球坐标为3，π2，π2，则点A的直角坐标为________．[解析]∵x＝3×sinπ2×cosπ2＝0，y＝3×sinπ2×sinπ2＝3，z＝2×cosπ2＝0，∴直角坐标为(0,3,0)．[答案](0,3,0)4．设点M的直角坐标为(1，－3，4)，则它的柱坐标是________．[解析]r＝x2＋y2＝2，tanθ＝－3，∵x0，y0，∴θ＝5π3，∴柱坐标为2，5π3，4.[答案]2，5π3，45．已知点P的柱坐标为2，π4，5，点B的球坐标为6，π3，π6，求这两个点的直角坐标．[解]设点P的直角坐标为(x，y，z)，则x＝2cosπ4＝2×22＝1，y＝2sinπ4＝1，z＝5.设点B的直角坐标为(x，y，z)，则x＝6sinπ3cosπ6＝6×32×32＝364，y＝6sinπ3sinπ6＝6×32×12＝324，z＝6cosπ3＝6×12＝62.所以点P的直角坐标为(1,1,5)，点B的直角坐标为364，324，62.