2019-2020学年高中数学 第1章 坐标系 2 2.1 极坐标系的概念课件 北师大版选修4-4

第一章坐标系§2极坐标系2.1极坐标系的概念学习目标：1.了解极坐标系，理解极坐标的概念．(重点)2.能在极坐标系中用极坐标判定点的位置．(难点)3.能进行点坐标和极坐标的互化．(易错易混点)自主探新知预习教材整理极坐标系与极坐标1．极坐标系的概念如图所示，在平面内取一个定点O，叫作，从O点引一条射线Ox，叫作，选定一个单位长度和角的正方向(通常取逆时针方向)．这样就确定了一个，简称．极点极轴极坐标系平面极坐标系2．极坐标的概念对于平面内任意一点M，用ρ表示，θ表示____________________________，ρ叫作点M的，θ叫作点M的，有序实数对叫作点M的，记作__________.特别地，当点M在极点时，它的极径ρ＝，极角θ可以取__________．线段OM的长以Ox为始边、OM为终边的角度极径极角(ρ，θ)极坐标M(ρ，θ)0任意值3．点与极坐标的关系一般地，极坐标(ρ，θ)与表示同一个点，特别地，极点O的坐标为(0，θ)(θ∈R)．和点的直角坐标的唯一性不同，平面内一个点的极坐标有种表示．如果规定ρ＞0，，那么除外，平面内的点可用______的极坐标(ρ，θ)表示；同时，极坐标(ρ，θ)表示的点也是______确定的．(ρ，θ＋2kπ)(k∈Z)无数0≤θ＜2π极点唯一唯一判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)极轴是以极点为端点的一条射线．()(2)极角θ的大小是唯一的．()(3)点3，π6与点3，5π6是同一个点．()[解析](1)√极轴是以极点为端点的一条射线．(2)×因为极角是以极轴为始边，终边是过极点与目标点的射线，可正、可负，相差2kπ.(3)×因为极角不相差2π的整数倍，故不表示同一个点．[答案](1)√(2)×(3)×合作提素养探究根据点的位置确定点的极坐标【例1】设点A2，π3，直线l为过极点且垂直于极轴的直线，分别求点A关于极轴、直线l、极点的对称点的极坐标(限定ρ0,0θ≤2π)．[精彩点拨]欲写出点的极坐标，首先应确定ρ和θ的值．[尝试解答]如图所示，关于极轴的对称点为B2，53π.关于直线l的对称点为C2，23π.关于极点O的对称点为D2，4π3.四个点A，B，C，D都在以极点为圆心，2为半径的圆上．1．点的极坐标不是唯一的，但若限制ρ0,0≤θ2π，则除极点外，点的极坐标是唯一确定的．2．写点的极坐标要注意顺序：极径ρ在前，极角θ在后，不能颠倒顺序．1．若使正六边形的一个顶点为极点且边长为a，极轴通过它的一边，试求正六边形各顶点的极坐标．[解]建立如图所示的极坐标系，则正六边形各顶点的极坐标为：A(0,0)，B(a,0)，C3a，π6，D2a，π3，E3a，π2，Fa，23π.极坐标确定点的位置【例2】已知点A的极坐标是6，5π3，分别在下列给定条件下，画出点A关于极点O的对称点A′的位置，并写出A′的极坐标：(1)ρ＞0，－π＜θ≤π；(2)ρ＜0,0≤θ＜2π；(3)ρ＜0，－2π＜θ≤0.[精彩点拨]本题以极坐标系中点的对称为载体，主要考查极坐标系中点的极坐标的确定，同时考查应用极坐标系解决问题的能力．[尝试解答]如图所示，|OA|＝|OA′|＝6，∠xOA′＝2π3，∠xOA＝5π3，即A与A′关于极点O对称，由极坐标的定义知：(1)当ρ＞0，－π＜θ≤π时，A′点的坐标为6，2π3；(2)当ρ＜0,0≤θ＜2π时，A′点的坐标为－6，5π3；(3)当ρ＜0，－2π＜θ≤0时，A′点的坐标为－6，－π3.由极坐标确定点的位置的步骤：(1)取定极点O；(2)作方向为水平向右的射线Ox为极轴；(3)以极点O为顶点，以极轴Ox为始边，通常按逆时针方向旋转极轴Ox确定出极角的终边；(4)以极点O为圆心，以极径为半径画弧，弧与极角终边的交点即是所求点的位置．2．在同一个极坐标系中，画出以下各点：A1，π4，B2，32π，C3，－π4，D4，94π.[解]如图所示．极坐标系的建立及应用[探究问题]1．建立极坐标系需要哪几个要素？这几个要素间有什么关系？[提示]建立极坐标系的要素是：(1)极点；(2)极轴；(3)长度单位；(4)角度单位和它的正方向，四者缺一不可．极轴是以极点为端点的一条射线，它与极轴所在的直线是有区别的；极角θ的始边是极轴，它的终边随着θ的大小和正负而取得各个位置；θ的正方向通常取逆时针方向，θ的值一般是以弧度为单位的量数；点M的极径ρ表示点M与极点O的距离|OM|，因此ρ≥0.但必要时，允许ρ＜0.2．为什么点的极坐标不唯一？能用三角函数的概念解释吗？[提示]根据我们学过的任意角的概念：一是终边相同的角有无数个，它们相差2π的整数倍，所以点(ρ，θ)还可以写成(ρ，θ＋2kπ)(k∈Z)；二是终边在一条直线上且互为反向延长线的两角的关系，所以点(ρ，θ)的坐标还可以写成(－ρ，θ＋2kπ＋π)(k∈Z)．【例3】某大学校园的部分平面示意图如图所示．用点O，A，B，C，D，E，F分别表示校门、器材室、公寓、教学楼、图书馆、车库、花园，建立适当的极坐标系，写出各点的极坐标．(限定ρ≥0,0≤θ＜2π且极点为(0,0))．[精彩点拨]解答本题先选定极点作极轴，建立极坐标系，再求出各点的极径和极角，即可得出各点的极坐标．[尝试解答]以点O为极点，OA所在的射线为极轴Ox(单位长度为1m)，建立极坐标系，如图所示．由|OB|＝600m，∠AOB＝30°，∠OAB＝90°，得|AB|＝300m，|OA|＝3003m，同样求得|OD|＝2|OF|＝3002m，所以各点的极坐标分别为O(0,0)，A(3003，0)，B600，π6，C300，π2，D3002，3π4，E(300，π)，F1502，3π4.在极坐标系中，由点的位置求极坐标时，随着极角的范围的不同，点的极坐标的表示也会不同，只有在ρ＞0，θ∈[0,2π)的限定条件下，点的极坐标才是唯一的．3．在极坐标系中，已知△ABC的三个顶点的极坐标分别为A2，π3，B(2，π)，C2，5π3.(1)判断△ABC的形状；(2)求△ABC的面积．[解](1)如图所示，由A2，π3，B(2，π)，C2，5π3得|OA|＝|OB|＝|OC|＝2，∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝2π3.∴△AOB≌△BOC≌△AOC，∴AB＝BC＝CA，故△ABC为等边三角形．(2)由上述可知，AC＝2OAsinπ3＝2×2×32＝23，∴S△ABC＝34×(23)2＝33.当堂固双基达标1．在极坐标系中与点P2，π3表示同一点的是()A.－2，π3B．2，－π3C.－2，4π3D．－2，－π3[解析]在极坐标系中将点P确定，再逐个验证知C正确．[答案]C2．已知极坐标平面内的点P2，－5π3，则P关于极点的对称点的极坐标为()A.2，π3B．2，－π3C.2，2π3D．2，－2π3[解析]点P2，－5π3关于极点的对称点的极坐标为2，－2π3.[答案]D3．若A3，4π3，B5，π6，O为极点，则△AOB的面积为________．[解析]S△AOB＝12×3×5×sin43π－π6＝154.[答案]1544．关于极坐标系的下列叙述：①极轴是一条射线；②极点的极坐标是(0,0)；③点(0,0)表示极点；④点M4，π4与点N4，5π4表示同一个点．其中，叙述正确的序号是________．[解析]设极点为O，极轴就是射线Ox，①正确；极点O的极径ρ＝0，极角θ是任意实数，极点的极坐标应为(0，θ)，②错误；给定极坐标(0,0)，可以在极坐标平面内确定唯一的一点，即极点，③正确；点M与点N的极角分别是θ1＝π4，θ2＝5π4，二者的终边互为反向延长线，④错误．[答案]①③5．已知边长为2的正方形ABCD的中心在极点，且一组对边与极轴Ox平行，求正方形的顶点的极坐标(限定ρ≥0,0≤θ＜2π)．[解]如图所示，由题意知|OA|＝|OB|＝|OC|＝|OD|＝2，∠xOA＝π4，∠xOB＝3π4，∠xOC＝5π4，∠xOD＝7π4.∴正方形的顶点坐标分别为A2，π4，B2，3π4，C2，5π4，D2，7π4.