2019-2020学年高中数学 第1章 坐标系 1.5 柱坐标系和球坐标系课件 新人教B版选修4-4

第一章坐标系1.5柱坐标系和球坐标系1.5.1柱坐标系1.5.2球坐标系学习目标：1.了解柱坐标系、球坐标系的意义，能用柱坐标系、球坐标系刻画简单问题中的点的位置．(重点)2.知道柱坐标、球坐标与空间直角坐标的互化关系与公式．(难点)自主预习探新知1．柱坐标系(1)柱坐标设空间中一点M的直角坐标为(x，y，z)，M点在xOy坐标面上的投影点为M0，M0点在xOy平面上的极坐标为(ρ，θ)，如图1­5­1所示，则三个有序数ρ，θ，z构成的数组______________称为空间中点M的______．在柱坐标中，限定____________________，z为任意实数．(ρ，θ，z)柱坐标ρ≥0,0≤θ2π(2)空间直角坐标与柱坐标的变换公式空间点M(x，y，z)与柱坐标(ρ，θ，z)之间的变换公式为.x＝ρcosθy＝ρsinθz＝z2．球坐标系(1)球坐标设空间中一点M的直角坐标为(x，y，z)，点M在xOy坐标面上的投影点为M0，连接OM和OM0.如图所示，设z轴的正向与向量OM→的夹角为φ，x轴的正向与OM0→的夹角为θ，M点到原点O的距离为r，则由三个数r，θ，φ构成的有序数组______________称为空间中点M的______．若设投影点M0在xOy平面上的极坐标为(ρ，θ)，则极坐标θ就是上述的第二个球坐标θ.在球坐标中限定____________________，0≤φ≤π.(r，θ，φ)球坐标r≥0,0≤θ2π(2)空间直角坐标与球坐标的变换公式空间点M(x，y，z)与球坐标(r，θ，φ)之间的变换公式为.x＝rsinφcosθy＝rsinφsinθz＝rcosφ思考1：要刻画空间一点的位置，就距离和角的个数来说有什么限制？[提示]空间点的坐标都是三个数值，其中至少有一个是距离．思考2：在柱坐标系中，方程ρ＝1表示空间中的什么曲面？在球坐标系中，方程r＝1分别表示空间中的什么曲面？[提示]柱坐标系中，ρ＝1表示以z轴为中心，以1为半径的圆柱面；球坐标系中，方程r＝1表示球心在原点的单位球面．1．在空间直角坐标系中，点P的柱坐标为(2，π4，3)，P在xOy平面上的射影为Q，则Q点的坐标为()A．(2,0,3)B．(2，π4，0)C．(2，π4，3)D．(2，π4，0)[解析]由点的空间柱坐标的意义可知，选B.[答案]B2．已知点A的柱坐标为(1,0,1)，则点A的直角坐标为()A．(1,1,0)B．(1,0,1)C．(0,1,1)D．(1,1,1)[解析]x＝ρ·cosθ＝1cosθ＝1，y＝ρsinθ＝0，z＝1.[答案]B3．设点M的直角坐标为(－1，－3，3)，则它的柱坐标是()A．(2，π3，3)B．(2，2π3，3)C．(2，4π3，3)D．(2，5π3，3)[解析]∵ρ＝－12＋－32＝2，tanθ＝－3－1＝3，∴θ＝π3或43π.又∵M的直角坐标中x＝－1，y＝－3，∴排除θ＝π3，∴θ＝43π.∴M的柱坐标为(2，4π3，3)．3．设点M的直角坐标为(－1，－3，3)，则它的柱坐标是()A．(2，π3，3)B．(2，2π3，3)C．(2，4π3，3)D．(2，5π3，3)[答案]C4．设点M的直角坐标为(－1，－1,0)，则它的球坐标为()A．(2，π4，0)B．(2，5π4，π2)C．(2，5π4，0)D．(2,0，π4)[解析]由坐标变换公式，得r＝x2＋y2＋z2＝2，cosφ＝zr＝0，∴φ＝π2.∵tanθ＝yx＝1，∴θ＝54π.[答案]B合作探究提素养点的柱坐标与直角坐标互化【例1】设点M的直角坐标为(1,1,1)，求它的柱坐标系中的坐标．[思路探究]已知直角坐标系中的直角坐标化为柱坐标，利用公式x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，z＝z.求出ρ，θ即可．[解]设M的柱坐标为(ρ，θ，z)，则有1＝ρcosθ，1＝ρsinθ，z＝1，解之得，ρ＝2，θ＝π4.因此，点M的柱坐标为(2，π4，1)．由直角坐标系中的直角坐标求柱坐标，可以先设出点M的柱坐标为(ρ，θ，z)代入变换公式x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，z＝z.求ρ；也可以利用ρ2＝x2＋y2，求ρ.利用tanθ＝yx，求θ，在求θ的时候特别注意角θ所在的象限，从而确定θ的取值．1．根据下列点的柱坐标，分别求直角坐标：(1)(2，5π6，3)；(2)(2，π4，5)．[解]设点的直角坐标为(x，y，z)．(1)∵(ρ，θ，z)＝(2，5π6，3)，∴x＝ρcosθ＝2cos5π6＝－3，y＝ρsinθ＝2sin5π6＝1，z＝3，因此所求点的直角坐标为(－3，1,3)．(2)∵(ρ，θ，z)＝(2，π4，5)，∴x＝ρcosθ＝2cosπ4＝1，y＝ρsinθ＝2sinπ4＝1，z＝5.故所求点的直角坐标为(1,1,5)．将点的球坐标化为直角坐标【例2】已知点M的球坐标为(2，34π，34π)，求它的直角坐标．[思路探究]球坐标―――――――――――――――――→x＝rsinφcosθ，y＝rsinφsinθ，z＝rcosφ直角坐标[解]设点的直角坐标为(x，y，z)．∵(r，θ，φ)＝(2，34π，34π)，∴x＝2sin34πcos34π＝2×22×(－22)＝－1，y＝2sin34πsin34π＝2×22×22＝1，z＝2cos34π＝2×(－22)＝－2.因此点M的直角坐标为(－1,1，－2)．1．根据球坐标系的意义以及与空间直角坐标系的联系，首先要明确点的球坐标(r，θ，φ)中角φ，θ的边与数轴Oz，Ox的关系，注意各自的限定范围，即0≤θ2π，0≤φ≤π.2．化点的球坐标(r，θ，φ)为直角坐标(x，y，z)，需要运用公式x＝rsinφcosθ，y＝rsinφsinθ，z＝rcosφ.转化为三角函数的求值与运算．[解]设M的直角坐标为(x，y，z)．∵(r，θ，φ)＝(3，5π3，5π6)，x＝rsinφcosθ＝3sin5π6cos5π3＝34，y＝rsinφsinθ＝3sin5π6sin5π3＝－334，z＝rcosφ＝3cos5π6＝－332.∴点M的直角坐标为(34，－334，－332)．2．若“例2”中点M的球坐标改为M(3，5π3，5π6)，试求点M的直角坐标．空间点的直角坐标化为球坐标【例3】已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，底面正方形ABCD的边长为1，棱AA1的长为2，如图1­5­3所示，建立空间直角坐标系Axyz，Ax为极轴，求点C1的直角坐标和球坐标．[思路探究]先确定C1的直角坐标，再根据空间直角坐标系与球坐标系的联系，计算球坐标．[解]点C1的直角坐标为(1,1，2)．设C1的球坐标为(r，θ，φ)，其中r≥0,0≤θ2π，0≤φ≤π，由x＝rsinφcosθ，y＝rsinφsinθ，z＝r·cosφ，∴r＝x2＋y2＋z2＝12＋22＋12＝2.由z＝rcosφ，∴cosφ＝22，φ＝π4.又tanθ＝yx＝1，∴θ＝π4，从而点C1的球坐标为(2，π4，π4)．1．由直角坐标化为球坐标时，我们可以选设点M的球坐标为(r，θ，φ)，再利用变换公式x＝rsinφcosθ，y＝rsinφsinθ，z＝rcosφ.求出r，θ，φ.2．利用r2＝x2＋y2＋z2，tanθ＝yx，cosφ＝zr.特别注意由直角坐标求球坐标时，应首先看明白点所在的象限，准确取值，才能无误．3．若本例中条件不变，求点C的柱坐标和球坐标．[解]易知C的直角坐标为(1,1,0)．设点C的柱坐标为(ρ，θ，0)，球坐标为(r，φ，θ)，其中0≤φ≤π，0≤θ2π.(1)由于ρ＝x2＋y2＝12＋12＝2.又tanθ＝yx＝1，∴θ＝π4.因此点C的柱坐标为(2，π4，0)．(2)由r＝x2＋y2＋z2＝12＋12＋0＝2.∴cosφ＝zr＝0，∴φ＝π2.故点C的球坐标为(2，π2，π4)．(教材P21练习T2)设点M的柱坐标为(2，π6，7)，求它的直角坐标．在柱坐标系中，点M的柱坐标为(2，23π，5)，则|OM|＝________.[命题意图]本题主要考查柱坐标系的意义，以及点的位置刻画．[解析]设点M的直角坐标为(x，y，z)．由(ρ，θ，z)＝(2，23π，5)知x＝ρcosθ＝2cos23π＝－1，y＝2sin23π＝3.因此|OM|＝x2＋y2＋z2＝－12＋32＋52＝3.[答案]3