2019-2020学年高中数学 第1章 坐标系 1.3 曲线的极坐标方程 1.4 圆的极坐标方程课件

第一章坐标系1.3曲线的极坐标方程1.4圆的极坐标方程1.4.1圆心在极轴上且过极点的圆1.4.2圆心在点处且过极点的圆a，π2学习目标：1.了解极坐标方程的意义，了解曲线的极坐标方程的求法.2.会进行曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化；了解简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)表示的极坐标方程．(重点)自主预习探新知1．曲线C的直角坐标方程在给定的平面直角坐标系下，如果二元方程F(x，y)＝0满足下面两个条件，则称它为曲线C的方程：(1)曲线C上______________________都满足方程；(2)所有适合方程的(x，y)所________都在曲线C上．任一点的坐标(x，y)对应的点2．曲线的极坐标方程在给定的平面上的极坐标系下，有一个二元方程F(ρ，θ)＝0.如果曲线C是由________________满足方程的所有点组成的，则称此二元方程________________为曲线C的极坐标方程．极坐标(ρ，θ)F(ρ，θ)＝03．常见曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点，半径为r的圆______(0≤θ2π)圆心为(r,0)，半径为r的圆__________________(－π2≤θ≤π2)ρ＝rρ＝2rcosθ曲线图形极坐标方程圆心为(r，π2)，半径为r的圆ρ＝2rsinθ(0≤θπ)过极点，倾斜角为α的直线__________________过点(a,0)，与极轴垂直的直线ρcosθ＝a(－π2θπ2)3．常见曲线的极坐标方程θ＝α或θ＝α＋π思考：曲线的极坐标方程是否唯一？[提示]由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一，所以曲线上的点的极坐标有多种表示，曲线的极坐标方程不唯一．1．极坐标方程θ＝π(ρ∈R)表示()A．点B．线段C．圆D．直线[解析]当ρ≥0时，方程θ＝π表示极角为π的射线，当ρ0时，方程θ＝π表示上述射线的反向延长线．∵ρ∈R，∴θ＝π表示直线．[答案]D2．极坐标方程(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)表示的图形是()A．两个圆B．两条直线C．一个圆和一条射线D．一条直线和一条射线[解析]由题设，得ρ＝1，或θ＝π，ρ＝1表示圆，θ＝π(ρ≥0)表示一条射线．[答案]C3．直线θ＝π2和圆ρ＝2cosθ的位置关系为()A．相离B．相切C．相交D．无法确定[解析]由ρ＝2cosθ知表示曲线圆心为(1,0)，半径为1的圆．又θ＝π2过极点且与极轴垂直．∴直线θ＝π2与圆相切．[答案]B4．已知曲线C1，C2的极坐标方程分别为ρcosθ＝3，ρ＝4cosθ(ρ≥0,0≤θπ2)，则曲线C1与C2交点的极坐标为________．[解析]由ρ·cosθ＝3，ρ＝4cosθ，得4cos2θ＝3.又0≤θπ2，则cosθ0.∴cosθ＝32，θ＝π6，故ρ＝23.∴两曲线交点的极坐标为(23，π6)．[答案](23，π6)合作探究提素养圆的极坐标方程【例1】求圆心在C(2，3π2)处并且过极点的圆的极坐标方程，并判断点(－2，sin5π6)是否在这个圆上．[思路探究]解答本题先设圆上任意一点M(ρ，θ)，建立等式转化为ρ，θ的方程，化简可得，并检验特殊点．[解]如图，由题意知，圆经过极点O，OA为其一条直径，设M(ρ，θ)为圆上除点O，A以外的任意一点，则|OA|＝2r，连接AM，则OM⊥MA.在Rt△OAM中，|OM|＝|OA|cos∠AOM，即ρ＝2rcos(3π2－θ)，∴ρ＝－4sinθ，经验证，点O(0,0)，A(4，3π2)的坐标满足上式．∴满足条件的圆的极坐标方程为ρ＝－4sinθ.∵sin5π6＝12，∴ρ＝－4sinθ＝－4sin5π6＝－2，∴点(－2，sin5π6)在此圆上．1．求曲线的极坐标方程通常有以下五个步骤：①建立适当的极坐标系(本题无需作)；②在曲线上任取一点M(ρ，θ)；③根据曲线上的点所满足的条件写出等式；④用极坐标ρ，θ表示上述等式，并化简得曲线的极坐标方程；⑤证明所得的方程是曲线的极坐标方程．(一般只要对特殊点加以检验即可)2．求曲线的极坐标方程，关键是找出曲线上的点满足的几何条件，并进行坐标表示．1．在极坐标系中，分别求方程．(1)圆心在极点，半径为2的圆的极坐标方程；(2)圆心为C(2，π)，半径为2的圆的极坐标方程．[解](1)设M(ρ，θ)为所求圆上任意一点．结合图形，得|OM|＝2.∴ρ＝2.0≤θ2π.(2)设所求圆上任意一点M(ρ，θ)，结合图形．在Rt△OAM中，∠OMA＝90°.∠AOM＝π－θ，|OA|＝4.∵cos∠AOM＝OMOA，∴OM＝OA·cos∠AOM.即ρ＝4cos(π－θ)，故ρ＝－4cosθ为所求．直线或射线的极坐标方程【例2】求过点A(1,0)，且倾斜角为π4的直线的极坐标方程．[思路探究]画出草图―→设点M(ρ，θ)是直线上的任意一点―→建立关于ρ，θ的方程――→化简检验[解]法一设M(ρ，θ)为直线上除点A以外的任意一点．则∠xAM＝π4，∠OAM＝3π4，∠OMA＝π4－θ.在△OAM中，由正弦定理得|OM|sin∠OAM＝|OA|sin∠OMA，即ρsin3π4＝1sinπ4－θ，故ρsin(π4－θ)＝22，即ρ(sinπ4cosθ－cosπ4sinθ)＝22，化简得ρ(cosθ－sinθ)＝1，经检验点A(1,0)的坐标适合上述方程，所以满足条件的直线的极坐标方程为ρ(cosθ－sinθ)＝1，其中，0≤θπ4(ρ≥0)和5π4θ2π(ρ≥0)．法二以极点O为直角坐标原点，极轴为x轴，建立平面直角坐标系xOy.∵直线的斜率k＝tanπ4＝1，∴过点A(1,0)的直线方程为y＝x－1.将y＝ρsinθ，x＝ρcosθ代入上式，得ρsinθ＝ρcosθ－1，∴ρ(cosθ－sinθ)＝1，其中，0≤θπ4(ρ≥0)和5π4θ2π(ρ≥0)．法一通过运用正弦定理解三角形建立了动点M所满足的等式，从而集中条件建立了以ρ，θ为未知数的方程；法二先求出直线的直角坐标方程，然后通过直角坐标向极坐标的转化公式间接得解，过渡自然，视角新颖，不仅优化了思维方式，而且简化了解题过程．2．若本例中条件不变，如何求以A为端点且在极轴上方的射线的极坐标方程？[解]由题意，设M(ρ，θ)为射线上任意一点，根据例题可知，ρsin(π4－θ)＝22，化简得ρ(cosθ－sinθ)＝1.经检验点A(1,0)的坐标适合上述方程．因此，以A为端点且在极轴上方的射线的极坐标方程为ρ(cosθ－sinθ)＝1(其中ρ≥0,0≤θπ4)．极坐标方程与直角坐标方程的互化【例3】在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ2π)中，曲线ρ＝2sinθ与ρcosθ＝－1的交点的极坐标为________．[思路探究]着眼点极坐标方程化直角坐标方程把交点直角坐标化为极坐标[解]曲线ρ＝2sinθ化为：x2＋y2＝2y，即x2＋(y－1)2＝1，又ρcosθ＝－1化为x＝－1.联立x2＋y－12＝1，x＝－1，得交点(－1,1)．∴交点的极坐标为(2，34π)．[答案](2，34π)1．(1)进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是抓住互化公式：x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，ρ2＝x2＋y2，tanθ＝yx(x≠0)；(2)对方程进行合理变形，并注重公式的正向、逆向与变形使用．2．本题也可消去ρ，由二倍角公式求θ，进而求出极径ρ.3．如果将例题中的曲线方程改为“曲线ρ(cosθ＋sinθ)＝1与ρ(sinθ－cosθ)＝1”，试求曲线交点的极坐标．[解]曲线ρ(cosθ＋sinθ)＝1化为直角坐标方程x＋y＝1，曲线ρ(sinθ－cosθ)＝1化为直角坐标方程y－x＝1.两直线x＋y＝1与y－x＝1的交点为(0,1)，∴交点的极坐标为(1，π2).极坐标方程的应用【例4】从极点O作直线与另一直线l：ρcosθ＝4相交于点M，在OM上取一点P，使OM·OP＝12.(1)求点P的轨迹方程；(2)设R为l上的任意一点，试求|RP|的最小值．[思路探究]建立点P的极坐标方程，完成直角坐标与极坐标方程的互化，根据直线与圆的位置关系，数形结合求|RP|的最小值．[解](1)设动点P的极坐标为(ρ，θ)，M的极坐标为(ρ0，θ)，则ρρ0＝12.∵ρ0cosθ＝4，∴ρ＝3cosθ即为所求的轨迹方程．(2)将ρ＝3cosθ化为直角坐标方程，得x2＋y2＝3x，即(x－32)2＋y2＝(32)2，知P的轨迹是以(32，0)为圆心，半径为32的圆．直线l的直线坐标方程是x＝4.结合图形易得|RP|的最小值为1.1．用极坐标法可使几何中的一些问题得出很直接、简单的解法．当然，因为建系的不同，曲线的极坐标方程也会不同．2．解题时关键是极坐标要选取适当，这样可以简化运算过程，转化为直角坐标时也容易一些．4.(2019·全国卷Ⅲ)如图，在极坐标系Ox中，A(2,0)，B2，π4，C2，3π4，D(2，π)，弧︵AB，︵BC，︵CD所在圆的圆心分别是(1,0)，1，π2，(1，π)，曲线M1是弧︵AB，曲线M2是弧︵BC，曲线M3是弧︵CD.(1)分别写出M1，M2，M3的极坐标方程；(2)曲线M由M1，M2，M3构成，若点P在M上，且|OP|＝3，求P的极坐标．[解](1)由题设可得，弧︵AB，︵BC，︵CD所在圆的极坐标方程分别为ρ＝2cosθ，ρ＝2sinθ，ρ＝－2cosθ.所以M1的极坐标方程为ρ＝2cosθ0≤θ≤π4，M2的极坐标方程为ρ＝2sinθπ4≤θ≤3π4，M3的极坐标方程为ρ＝－2cosθ3π4≤θ≤π.(2)设P(ρ，θ)，由题设及(1)知若0≤θ≤π4，则2cosθ＝3，解得θ＝π6；若π4≤θ≤3π4，则2sinθ＝3，解得θ＝π3或θ＝2π3；若3π4≤θ≤π，则－2cosθ＝3，解得θ＝5π6.综上，P的极坐标为3，π6或3，π3或3，2π3或3，5π6.(教材P16练习T2)把圆的极坐标方程ρ＝sinθ化为直角坐标方程，并说明圆心和半径．在直角坐标系xOy中，直线C1：x＝－2，圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C1，C2的极坐标方程；(2)若直线C3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R)，设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．[解](1)因为x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，所以C1的极坐标方程为ρcosθ＝－2，C2的极坐标方程为ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0.(2)将θ＝π4代入ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0，得ρ2－32ρ＋4＝0，解得ρ1＝22，ρ2＝2.故ρ1－ρ2＝2，即|MN|＝2.由于C2的半径为1，所以△C2MN的面积为12.