第一章推理与证明章末复习课归纳推理【例1】(1)观察式子:1+12232,1+122+13253,1+122+132+14274,……,由此可归纳出的式子为()A.1+122+132+…+1n212n-1B.1+122+132+…+1n212n+1C.1+122+132+…+1n22n-1nD.1+122+132+…+1n22n2n+1(2)两点等分单位圆时,有相应正确关系为sinα+sin(π+α)=0;三点等分单位圆时,有相应正确关系为sinα+sinα+2π3+sinα+4π3=0,由此可以推知,四点等分单位圆时的相应正确关系为__________.思路探究:(1)观察各式特点,找准相关点,归纳即得.(2)观察各角的正弦值之间的关系得出结论.(1)C(2)sinα+sinα+π2+sin(α+π)+sinα+3π2=0[(1)由各式特点,可得1+122+132+…+1n22n-1n.故选C.(2)用两点等分单位圆时,关系为sinα+sin(π+α)=0,两个角的正弦值之和为0,且第一个角为α,第二个角与第一个角的差为(π+α)-α=π,用三点等分单位圆时,关系为sinα+sinα+2π3+sinα+4π3=0,此时三个角的正弦值之和为0,且第一个角为α,第二个角与第一个角的差与第三个角与第二个角的差相等,即有α+4π3-α+2π3=α+2π3-α=2π3.依此类推,可得当四点等分单位圆时,为四个角正弦值之和为0,且第一个角为α,第二个角为2π4+α=π2+α,第三个角为π2+α+2π4=π+α,第四个角为π+α+2π4=3π2+α,即其关系为sinα+sinα+π2+sin(α+π)+sinα+3π2=0.]归纳推理的特点及一般步骤1.已知函数y=sin4x+cos4x(x∈R)的值域是12,1,则(1)函数y=sin6x+cos6x(x∈R)的值域是__________;(2)类比上述结论,函数y=sin2nx+cos2nx(n∈N+)的值域是__________.(1)14,1(2)[21-n,1][(1)y=sin6x+cos6x=(sin2x+cos2x)(sin4x-sin2xcos2x+cos4x)=sin4x-sin2xcos2x+cos4x=(sin2x+cos2x)2-3sin2xcos2x=1-34sin2(2x)=1-38(1-cos4x)=58+38cos4x∈14,1.(2)由类比可知,y=sin2nx+cos2nx的值域是[21-n,1].]类比推理【例2】类比三角形内角平分线定理:设△ABC的内角A的平分线交BC于点M,则ABAC=BMMC.若在四面体PABC中,二面角BPAC的平分面PAD交BC于点D,你可得到什么结论?并加以证明.思路探究:此题是平面图形与立体图形作类比,因为平面图形中得出的结论是线段的比,所以立体图形中可想到面积的比.[解]画出相应图形,如图所示.由题意类比推理所探索结论为S△BDPS△CDP=S△BPAS△CPA.证明如下:由于平面PAD是二面角BPAC的平分面,所以点D到平面BPA与它到平面CPA的距离相等.所以VDBPAVDCPA=S△BPAS△CPA.①又因为VDBPAVDCPA=VABDPVACDP=S△BDPS△CDP,②由①②知S△BDPS△CDP=S△BPAS△CPA成立.类比推理的特点及一般步骤2.在Rt△ABC中,若∠C=90°,则cos2A+cos2B=1,则在立体几何中,给出四面体相应结论的猜想.[解]直角三角形类比三个侧面两两垂直的四面体;直角三角形的两个锐角类比上述四面体的三个侧面与底面所成的角,分别设为α,β,γ;类比直角三角形中相应的结论猜想cos2α+cos2β+cos2γ=1.综合法与分析法【例3】设a0,b0,a+b=1,求证:1a+1b+1ab≥8.试用综合法和分析法分别证明.思路探究:(1)综合法:根据a+b=1,分别求1a+1b与1ab的最小值.(2)分析法:把1ab变形为a+bab=1a+1b求证.[证明]法一:(综合法)∵a0,b0,a+b=1,∴1=a+b≥2ab,ab≤12,ab≤14,∴1ab≥4.又1a+1b=(a+b)1a+1b=2+ba+ab≥4,∴1a+1b+1ab≥8(当且仅当a=b=12时等号成立).法二:(分析法)∵a0,b0,a+b=1,要证1a+1b+1ab≥8,只要证1a+1b+a+bab≥8,只要证1a+1b+1b+1a≥8,即证1a+1b≥4,也就是证a+ba+a+bb≥4,即证ba+ab≥2,由基本不等式可知,当a0,b0时,ba+ab≥2成立,所以原不等式成立.分析法和综合法的证明特点1.综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法,也是解决数学问题的常用的方法,综合法是由因导果的思维方式,而分析法的思路恰恰相反,它是执果索因的思维方式.2.分析法和综合法是两种思路相反的推理方法.分析法是倒溯,综合法是顺推,二者各有优缺点.分析法容易探路,且探路与表述合一,缺点是表述易错;综合法条理清晰,易于表述,因此对于难题常把二者交互运用,互补优缺,形成分析综合法,其逻辑基础是充分条件与必要条件.3.(1)已知a,b,c为互不相等的非负数,求证:a2+b2+c2abc(a+b+c).(2)用分析法证明:2cos(α-β)-sin2α-βsinα=sinβsinα.[证明](1)因为a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,a2+c2≥2ac,又因为a,b,c为互不相等的非负数,所以上面三个式子中都不能取“=”,所以a2+b2+c2ab+bc+ac,因为ab+bc≥2ab2c,bc+ac≥2abc2,ab+ac≥2a2bc,又a,b,c为互不相等的非负数,所以ab+bc+acabc(a+b+c),所以a2+b2+c2abc(a+b+c).(2)要证原等式成立,只需证:2cos(α-β)sinα-sin(2α-β)=sinβ,①因为①左边=2cos(α-β)sinα-sin[(α-β)+α]=2cos(α-β)sinα-sin(α-β)cosα-cos(α-β)sinα=cos(α-β)sinα-sin(α-β)cosα=sinβ=右边,所以①成立,即原等式成立.反证法【例4】设{an}是公比为q的等比数列.(1)推导{an}的前n项和公式;(2)设q≠1,证明:数列{an+1}不是等比数列.思路探究:(1)利用等比数列的概念及通项公式推导前n项和公式;(2)利用反证法证明要证的结论.[解](1)设{an}的前n项和为Sn,当q=1时,Sn=a1+a1+…+a1=na1;当q≠1时,Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1,①qSn=a1q+a1q2+…+a1qn,②①-②得,(1-q)Sn=a1-a1qn,∴Sn=a11-qn1-q,∴Sn=na1,q=1,a11-qn1-q,q≠1.(2)证明:假设{an+1}是等比数列,则对任意的k∈N+,(ak+1+1)2=(ak+1)(ak+2+1),a2k+1+2ak+1+1=akak+2+ak+ak+2+1,a21q2k+2a1qk=a1qk-1·a1qk+1+a1qk-1+a1qk+1,∵a1≠0,∴2qk=qk-1+qk+1.∵q≠0,∴q2-2q+1=0,∴q=1,这与已知矛盾.∴假设不成立,故{an+1}不是等比数列.反证法证题思路反证法是间接证明的一种基本方法,用反证法证明时,假定原结论的对立面为真,从反设和已知条件出发,经过一系列正确的逻辑推理,得出矛盾结果,断定反设不成立,从而肯定结论.反证法的思路:反设→归谬→结论.4.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0)的图像与x轴有两个不同的交点,若f(c)=0,且0xc时,f(x)0.(1)证明:1a是f(x)=0的一个根;(2)试比较1a与c的大小.[解](1)证明:∵f(x)的图像与x轴有两个不同的交点,∴f(x)=0有两个不等实根x1,x2.∵f(c)=0,∴x1=c是f(x)=0的根.又x1x2=ca,∴x2=1a1a≠c,∴1a是f(x)=0的一个根.(2)假设1ac,又1a0,由0xc时,f(x)0,知f1a0与f1a=0矛盾,∴1a≥c.又∵1a≠c,∴1ac.数学归纳法【例5】已知正数数列{an}(n∈N+)中,前n项和为Sn,且2Sn=an+1an,用数学归纳法证明:an=n-n-1.[证明](1)当n=1时,a1=S1=12a1+1a1,所以a21=1(an0),所以a1=1,又1-0=1,所以n=1时,结论成立.(2)假设n=k(k≥1,k∈N+)时,结论成立,即ak=k-k-1.当n=k+1时,ak+1=Sk+1-Sk=12ak+1+1ak+1-12ak+1ak=12ak+1+1ak+1-12k-k-1+1k-k-1=12ak+1+1ak+1-k,所以a2k+1+2kak+1-1=0,解得ak+1=k+1-k(an0),所以n=k+1时,结论成立.由(1)(2)可知,对n∈N+都有an=n-n-1.数学归纳法使用的两个关注点关注点一:用数学归纳法证明等式问题是数学归纳法的常见题型,其关键点在于“先看项”,弄清等式两边的构成规律,等式两边各有多少项,初始值n0是多少.关注点二:由n=k到n=k+1时,除等式两边变化的项外还要利用n=k时的式子,即利用假设,正确写出归纳证明的步骤,从而使问题得以证明.5.设数列{an}的前n项和Sn=nan+12(n∈N+),a2=2.(1)求a1,a3;(2)猜想{an}的通项公式,并证明.[解](1)由Sn=nan+12,得a1=1,又由a2=2,得a3=3.(2)猜想:an=n.证明如下:①当n=1时,猜想成立.②假设当n=k(k≥2)时,猜想成立,即ak=k,那么当n=k+1时,ak+1=Sk+1-Sk=k+1ak+1+12-kak+12=k+1ak+1+12-kk+12.所以ak+1=k+1,所以当n=k+1时,猜想也成立.根据①②知,对任意n∈N+,都有an=n.