2019-2020学年高中数学 第1章 统计 1-8 最小二乘估计课件 北师大版必修3

统计第一章§8最小二乘估计自主预习学习目标目标解读1.掌握最小二乘法的思想．2．能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程.重点：最小二乘法的思想．难点：线性回归方程系数公式的应用.1．如果有n个点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，可以用下面的表达式来刻画这些点与直线y＝a＋bx的接近程度：[y1－(a＋bx1)]2＋[y2－(a＋bx2)]2＋…＋[yn－(a＋bxn)]2.使得上式达到的直线y＝a＋bx就是我们所要求的直线，这种方法称为．知识梳理最小值最小二乘法问题探究1：学习最小二乘法有何意义与作用？提示：最小二乘法(又称最小平方法)是一种数学优化技术．它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配．利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小．2．如果用x－表示x1＋x2＋…＋xnn，用y－表示y1＋y2＋…＋ynn，则可求得b＝，a＝，这样得到的直线方程称为，a，b是线性回归方程的系数．x1y1＋x2y2＋…＋xnyn－nx－y－x21＋x22＋…＋x2n－nx－2y－－bx－线性回归方程求回归直线方程的步骤：(1)列表求xi，yi，xiyi；(2)计算x－，y－，i＝1nx2i，i＝1ny2i，i＝1nxiyi；(3)代入公式计算b，a的值；(4)写出直线方程．3．利用最小二乘法估计时，要先作出数据的．如果散点图呈现一定的规律性，我们再根据这个规律进行拟合．如果散点图呈现出线性关系，我们可以用估计出线性回归方程；如果散点图呈现出其他的曲线关系，我们就要利用其他的曲线进行拟合．散点图最小二乘法问题探究2：具有线性相关的两个变量的散点图，各点大致分布在一条直线的附近，那么，这样的散点图中回归直线是唯一的吗？提示：在最小二乘法下，回归直线方程有且只有一个，这个方程所确定的直线是所有直线中接近程度最高的一条．要点导学知道x与y线性相关，就无需进行相关性检验，否则，应先进行相关性检验．若两个变量不具备相关关系，或者说，它们之间的线性相关关系不显著，即使求出回归直线方程也是毫无意义的，而且用其估计和预测的量也是不可信的．要点一明确两个变量线性相关，求回归直线方程假设关于某设备的使用年限x(年)和所支出的维修费用y(万元)有如下统计资料：x23456y2.23.85.56.57.0若由资料知，y与x线性相关．(1)求回归直线方程y＝bx＋a中a与b的值；(2)估计使用年限为10年时，维修费用是多少？【思路启迪】(1)求回归直线方程的步骤是什么？(2)如何求a，b?(3)怎样利用回归直线方程估计维修费用？【解】(1)列表：ixiyix2ixiyi122.24.44233.811.49345.522.016456.532.525567.042.036合计2025112.390其中，b＝i＝15xiyi－5x－y－i＝15x2i－5x－2＝112.3－5×4×590－5×42＝12.310＝1.23，a＝y－－bx－＝5－1.23×4＝0.08.所以a＝0.08，b＝1.23.(2)回归直线方程为y＝1.23x＋0.08.当x＝10时，y＝1.23×10＋0.08＝12.38，即使用年限为10年时，维修费用约为12.38万元．求回归直线方程的步骤：第一步列表xi，yi，xiyi，x2i；第二步计算x，y；第三步代入公式计算a，b的值；第四步写出直线方程．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：单价x(元)88.28.48.68.89销量y(件)908483807568(1)求回归直线方程y＝bx＋a，其中b＝－20，a＝y－－bx－.(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本)解：(1)因为x－＝16(8＋8.2＋8.4＋8.6＋8.8＋9)＝8.5，y－＝16(90＋84＋83＋80＋75＋68)＝80.又因为b＝－20，所以a＝y－－bx－＝80＋20×8.5＝250，从而回归直线方程为y＝－20x＋250.(2)设工厂获得的利润为L元，依题意得L＝x(－20x＋250)－4(－20x＋250)＝－20x2＋330x－1000＝－20x－3342＋361.25.当且仅当x＝8.25时，L取得最大值．故当单价定为8.25元时，工厂可获得最大利润.求回归直线方程，首先应注意到，只有在散点图大致呈线性时，求出的回归直线方程才有实际意义．否则，求出的回归直线方程毫无意义．因此，对一组数据作线性回归分析时，应先看其散点图是否成线性．要点二未明确两个变量线性相关，求回归直线方程某市近5年的煤气消耗量与使用煤气户数如下表：年份20082009201020112012x(万户)11.11.21.61.8y(百万立方米)6791112(1)检验是否线性相关；(2)若线性相关，求y对x的回归直线方程．【思路启迪】(1)怎样检验两变量是否线性相关？(2)求回归直线方程的步骤是什么？【解】(1)作出散点图，观察呈线性正相关，如图所示．(2)x－＝1＋1.1＋1.5＋1.6＋1.85＝75，y－＝6＋7＋9＋11＋125＝9，i＝15x2i＝12＋1.12＋1.52＋1.62＋1.82＝10.26，i＝15xiyi＝1×6＋1.1×7＋1.5×9＋1.6×11＋1.8×12＝66.4，∴b^＝i＝15xiyi－5x－y－i＝15x2i－5x－2＝66.4－5×75×910.26－5×4925＝17023，a^＝y－－b^x－＝9－17023×75＝－3123，∴y对x的回归直线方程为y^＝17023x－3123.求回归直线方程，通常是用计算器来完成的．在有的科学计算器中，可通过直接按键得出回归直线方程中的a，b.如果用一般的计算器进行计算，则要先列出相应的表格，有了表格中的相关数据，回归直线方程中的a，b就容易求出来了．某种产品的广告费支出x(单位：百万元)与销售额y(单位：百万元)之间有如下对应数据：x24568y3040605070(1)画出散点图；(2)如果x与y具有线性相关关系，求回归方程y＝bx＋a，并说明b的意义．解：(1)散点图如下图所示．(2)由散点图知x与y具有线性相关关系．x－＝5，y－＝50，i＝15xiyi＝1380，i＝15x2i＝145，∴b＝i＝15xiyi－5x－y－i＝15x2i－5x－2＝1380－5×5×50145－5×52＝6.5，a＝y－－bx－＝50－6.5×5＝17.5.所求回归方程为y＝6.5x＋17.5.b表示广告费每增加100万元，销售额平均增加650万元.利用回归直线，我们可以进行预测．若回归直线方程为y＝bx＋a，则x＝x0处的估计值为：y0＝bx0＋a.要点三利用回归直线方程对总体进行估计某5名学生的总成绩和数学成绩如下表所示：学生ABCDE总成绩(x)482383421364362数学成绩(y)7865716461(1)画出散点图；(2)求数学成绩y对总成绩x的回归方程；(3)如果一个学生的总成绩为450，试预测这个同学的数学成绩．【思路启迪】(1)画散点图时应注意什么？(2)求回归方程的步骤是什么？(3)如何预测该同学的数学成绩？【解】(1)散点图如下图所示：(2)列表：i12345xi482383421364362yi7865716461xiyi3759624895298912329622082x－＝20125，y－＝3395，i＝15x2i＝819794，i＝15xiyi＝137760，b＝i＝15xiyi－5x－y－i＝15x2i－5x－2＝137760－5×20125×3395819794－5×201252≈0.132452，a＝y－－bx－≈3395－0.132452×20125≈14.501315.∴回归方程y＝0.132452x＋14.501315.(3)当x＝450时，y≈74，即当一个学生的总成绩为450分时，他的数学成绩约为74分．此类问题求线性回归方程是关键，只有确定了回归直线方程，才能估计和预测，求回归方程的关键是求系数a，b，注意用公式时要先求b，再求a.下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能源y(吨标准煤)的几组对照数据：x3456y2.5344.5(1)请画出上表数据的散点图；(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y＝bx＋a；(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？(参考数值：3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5)解：(1)散点图如图所示：(2)由题意，得i＝14xiyi＝3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5，x－＝3＋4＋5＋64＝4.5，y－＝2.5＋3＋4＋4.54＝3.5，i＝14x2i＝32＋42＋52＋62＝86，∴b＝66.5－4×4.5×3.586－4×4.52＝66.5－6386－81＝0.7，a＝y－－bx－＝3.5－0.7×4.5＝0.35.故线性回归方程为y＝0.7x＋0.35.(3)根据回归方程可预测，现在生产100吨甲产品的生产能耗为0.7×100＋0.35＝70.35(吨标准煤)，故预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前减少了90－70.35＝19.65(吨标准煤)．易错点忽视相关关系、散点图、回归直线间的联系某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如下：零件的个数x(个)2345加工的时间y(小时)2.5344.5易错盘点(1)在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；(2)求出y关于x的线性回归方程y＝bx＋a，并在坐标系中画出回归直线；(3)试预测加工10个零件需要多少时间？(注：b＝i＝1nxiyi－nxyi＝1nx2i－nx－2，a＝y－bx－.)【错因分析】如果忽视相关关系、散点图、回归直线间的联系，孤立的学习，就难以灵活运用所学知识解决实际问题．【正确解答】(1)散点图如图．(2)由表中数据得i＝14xiyi＝52.5，x＝3.5，y－＝3.5，i＝14x2i＝54，∴b＝0.7，∴a＝1.05，∴y＝0.7x＋1.05.回归直线如图所示．(3)将x＝10代入回归直线方程，得y＝0.7×10＋1.05＝8.05(小时)．∴预测加工10个零件需要8.05小时．直线回归图包括回归直线的图象和散点图，它可以醒目地表示x和y的数量关系．某工厂在2004年的各月中，一产品的月总成本y(万元)与月产量x(吨)之间有如下数据：x4.164.244.384.564.724.965.185.365.65.745.966.14y4.384.564.64.834.965.135.385.555.715.896.046.25若2005年1月份该产品的计划产量是6吨，试估计该产品1月份的总成本．解：(1)散点图如下图，从图中可以看到，各点大致在一条直线附近，说明x与y有较强的线性相关关系．(2)代入公式得：b≈0.9100，a≈0.6475，回归直线方程是y＝0.9100x＋0.6475.(3)当x＝6时，y＝0.9100×6＋0.6475≈6.11(万元)，即该产品1月份的总成本的估计值为6.11万元．1．“回归”和“相关”含义是不同的；如果两个变量中的一个变量是人力可以控制、非随机的，另一变量的变化是随机的且随控制变量的变化而变化，则这两变量间的关系就称为回归关系；若两个变量都是随机的，则称它们之间的关系为相关关系，在本教材中，两者不加区别．学习小结2．回归直线是将部分观测值所反映的规律性进行了延伸，它在情况预报、资料补充等方面有着广泛的应用，应用回归方程可以把非确定性问题转化为确定性