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统计第一章§7相关性自主预习学习目标目标解读1.了解变量间的相关关系．2．能利用散点图直观认识变量间的相关关系，并能初步判定这种相关关系.重点：经历描述两个变量线性相关关系的过程．难点：体会统计思想与确定性思维的差异.1．散点图在考虑两个量的关系时，为了对变量之间的关系有一个大致的了解，人们通常将变量所描出来，这些点就组成了变量之间的一个图，通常称这种图为变量之间的散点图．知识梳理对应的点问题探究：散点图有什么作用？提示：散点图是表示两个变量之间关系的图，又称相关图，它是用平面直角坐标系上点的散点图形来表示两种事物之间的相关性及联系的模式，用于分析两测定值之间的相关关系．散点图具有直观、简便的优点，通过散点图不但可以从点的位置判断测量值的高低、大小、变动趋势或变化范围，还可以通过观察剔除异常数据，从而提高用计算法估算相关程度的准确性，所以散点图对于探究两种事物、两种现象之间的关系起着重要的作用．2．变量之间的相关关系从散点图上看，如果两个变量之间存在着某种关系，这些点会有一个集中的大趋势，这种趋势通常可以用一条光滑的来近似，这样近似的过程称为曲线拟合．若两个变量x和y的散点图中，所有点看上去都在附近波动，则称这两个变量是线性相关的，而若所有点看上去都在某条(不是一条直线)附近波动，则称此相关为非线性相关．如果所有点在散点图中没有显示，则称变量间是不相关的.曲线一条直线曲线任何关系要点导学相关关系与函数关系的异同(1)相同点：两者均是指两个变量的关系．(2)不同点：①函数关系是一种确定的关系，如匀速直线运动中时间t与路程s的关系；相关关系是一种非确定的关系，如一块农田的水稻产量与施肥量之间的关系．事实上，函数关系是两个非随机变量的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系．②函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系．要点一相关关系与函数关系的判断有下列关系：①炼钢时钢水的含碳量与冶炼时间的关系②曲线上的点与该点的坐标之间的关系③柑橘的产量与气温之间的关系④森林中的同一种树木，其横断面直径与高度之间的关系其中具有相关关系的是________．【思路启迪】(1)什么叫相关关系？(2)相关关系与函数关系有什么区别？【解析】①炼钢的过程就是一个降低含碳量进行氧化还原的过程，除了与冶炼时间有关外，还受冶炼温度等其他因素的影响，具有相关关系．②曲线上的点与该点的坐标之间的关系是一一对应的，即是一种确定性关系，不具有相关关系．③柑橘的产量除了受气温影响以外，还受施肥量以及水分等因素的影响，具有相关关系．④森林中的同一种树木，其横断面直径随高度的增加而增加，但是还受光照等因素的影响，具有相关关系．【答案】①③④相关关系与函数关系的区别在于是否具有确定性．在区分二者时，如果一个变量每取一个值，另一个变量总有唯一确定的值与之对应，那么这两个变量就是函数关系，不是相关关系；如果一个变量每取一个值，另一个变量的取值带有一定的随机性，并且从总体上来看有关系，但不是确定性关系，那么这两个变量之间就是相关关系，不是函数关系．确定相关关系时有时要依靠生活经验大致确定．下列关系中，具有相关关系的是________．①正方形的边长与面积之间的关系②水稻产量与施肥量之间的关系③人的身高与年龄之间的关系④降雪量与交通事故的发生率之间的关系解析：①正方形的边长与面积之间的关系是函数关系．②水稻产量与施肥量之间不是严格的函数关系，但是具有相关性，因而是相关关系．③人的身高与年龄之间的关系既不是函数关系，也不是相关关系，因为人的年龄达到一定时期身高就不发生明显变化了，因而他们不具有相关关系．④降雪量与交通事故的发生率之间具有相关关系．故答案为：②④答案：②④散点图就是把两个变量的值一个作为横坐标，另一个作为纵坐标在平面直角坐标系中作出的点的集合．散点图能直观地反映两变量的变化关系．利用散点图判定相关性，要从散点图中找出点的分布规律和特点，看看所有点是呈一定的趋势变化，还是杂乱无章，从而判断两个变量是否有相关关系．画散点图是判断两个变量是否相关的一种重要方法和手段．要点二利用散点图判断变量之间是否具有相关关系李老师为了了解学生的计算能力，对某同学进行了10次测验，收集数据如下：题数x/道5101520253035404550做题时间y/分钟9192637485261738189画出散点图，并判断它们是否有线性相关关系．【思路启迪】根据表格中的数据制成散点图，你能从散点图中发现做题时间与题数之间的近似关系吗？【解】散点图如图，由散点图可以看出，两者之间具有线性相关关系．两个随机变量x和y相关关系的确定方法：(1)散点图法：通过散点图，观察它们的分布是否存在一定规律，直观地判断；(2)表格、关系式法：结合表格或关系式进行判断；(3)经验法：借助积累的经验进行分析判断．从高一(1)班中随机选出10名同学，将他们的身高、数学成绩和物理成绩列表如下：身高(m)1.51.61.551.651.451.061.521.661.71.4数学成绩x90857888877695756870物理成绩y88848083787090807468试判断数学成绩与身高和物理成绩是否成相关关系．解：我们将上述数据，分别在“数学成绩—身高”和“数学成绩—物理成绩”的坐标平面上画出散点图如下：从上图(1)上的散点分布，我们看不出身高与数学成绩之间有什么相关性，也就是说，这两个变量之间不存在相关性，而从上图(2)上，我们却发现，在数学成绩与物理成绩之间有某种相关性：数学成绩好的同学，不少物理成绩也很好，两者之间似乎有一种线性关系，也就是说，这两个变量近似成线性相关关系．易错点忽视散点图在判断相关关系的作用在一次对人体脂肪含量与年龄关系的研究中，研究人员获得了一组样本数据如下表.易错盘点年龄23273941454950535456586061人体脂肪百分比9.517.821.225.927.526.328.229.630.231.433.535.234.6根据上述数据，人体的脂肪含量与年龄之间具有怎样的关系？请你应用统计知识加以分析．【错因分析】许多学生不使用散点图，而直接通过数据判断两个变量是否具备相关关系．【正确解答】根据样本数据作出散点图如图所示．根据散点图，我们可以看出，人体的脂肪含量随年龄的增长也在不断增加，因此人体脂肪含量与年龄之间具有正相关的相关关系．从散点图中我们可以看到人体脂肪含量与年龄对应的点分布在一条直线周围，因此具有相关关系．散点图是判断两个变量是否具有相关关系的依据之一．直接根据所给出的数据进行判定，一是容易判断错误，二是不具备科学的判定依据．部分国家13岁学生数学测试平均分数为：中国韩国瑞士俄罗斯法国授课天数251222207210174分数8073717064以色列加拿大英国美国约旦授课天数215188192180191分数6362615546试作出该数据的散点图，分数与授课天数是否具有相关关系？解：散点图如下图：由散点图可以看出两个变量的对应点集中在一条直线的周围，具有相关关系．1．相关关系是一种新型的关系，表示的关系是非确定性关系，得到的数据值也只是估计值．2．散点图是判断两个变量是否具备相关关系的一种形象直观的方法，判断的方法就是观察这些点是否集中于某条直线或者曲线附近．学习小结1．下列两个变量之间的关系是相关关系的是()A．底面积为常数时，棱柱的体积和高B．单位圆中角的度数和所对的弧长C．单产为常数时，土地面积和总产量D．日照时间与水稻的亩产量随堂训练解析：选项A、B、C均是可以列出具体关系式的函数关系，只有选项D是具有不是非常确定的相关关系．答案：D2．给出下列x、y值的数据如下：y35917x1248则根据数据可以判断x和y的关系是________．(填：“函数关系”、“相关关系”或者“没有关系”)解析：由表中数据的特征可以得到x、y之间是一种函数关系：y＝2x＋1，所以x和y是一种确定的关系，也即函数关系，它和相关关系有明显的区别．答案：函数关系3．下列语句所表示的事件中的因素不具有相关关系的是()A．瑞雪兆丰年B．名师出高徒C．山雨欲来风满楼D．喜鹊叫喜，乌鸦叫丧解析：运用相关关系的定义求解．答案：D4．有下列关系：①人的寿命与他(她)每天坐着的时间之间的关系；②曲线上的点与该点关于原点的对称点的坐标之间的关系；③苹果的产量与气候之间的关系；④森林中的同一种树木，其断面直径与高度之间的关系．其中，具有相关关系的是________．解析：利用相关关系的概念进行判断，②中两变量的关系是一种确定性关系．答案：①③④5．能从各散点图中点的分布状况，直观上判断两个量之间有线性相关关系的是()解析：在选项A中，点的分布毫无规则，横轴、纵轴表示的两个量之间的相关程度很小．在选项B中，所有的点严格地分布在一条直线上，横轴、纵轴表示的两个量之间有确定的关系——函数关系．在选项C中，点的分布基本上集中在一个带状区域内，横轴、纵轴表示的两个变量之间有线性相关关系．在选项D中，点的分布基本上集中在某条曲线两侧带状区域内，因此横轴、纵轴表示的两个变量也有相关关系，只是它是非线性相关关系．答案：C