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第1章算法初步1.1算法的含义学习目标核心素养1.通过实例体会算法的思想，了解算法的含义．(难点)2．能按步骤用自然语言写出简单问题的算法过程．(重点、难点)3．了解算法的主要特点(有限性和确定性)．(难点、易混点)1.通过书写算法提升学生的逻辑推理素养．2．借助解决实际问题的算法练习，培养学生的数学建模素养.自主预习探新知1．算法的概念一般而言，对一类问题的_______、_______求解方法称为算法．广义地说，为解决某一问题而采取的方法和步骤，我们都可以称之为算法，不要认为只有“计算”才有算法．例如：广播操图解是广播操的算法，菜谱是做菜的算法，歌谱是一首歌曲的算法，空调说明书是空调使用的算法．我们过去学习的许多数学公式都是算法，加、减、乘、除运算法则以及多项式的运算法则也是算法．机械的统一的2．算法的特征(1)有限性：一个算法的步骤序列是_____的，必须在_____操作之后停止，不能是_____的．(2)确定性：算法中的每一步应该是_____的并且能有效地执行且得到_____的结果，而不应当模棱两可．有限有限无限确定确定(3)顺序性与正确性：算法从初始步骤开始，分为若干明确的步骤，每一个步骤只能有一个确定的_____步骤，前一步是后一步的_____，只有执行完前一步才能进行下一步，并且每一步都准确无误，才能完成问题．(4)不唯一性：求解某一问题的算法不一定是_____的，对于同一个问题可以有_____的算法．(5)普遍性：很多具体的问题，都可以设计合理的算法去解决，如心算、计算器计算都要经过有限、事先设计好的步骤加以解决．后续前提唯一不同3．算法的设计要求(1)_______和_______是算法的两个重要特征，我们在写算法时，一定要注意满足这_____特征．(2)虽然解决一个问题的算法不是唯一的，但不同的算法有繁有简，因此在设计一个算法时，应本着_________的原则进行．(3)要保证算法正确，且能够被_______执行．确定性有限性两个简捷方便计算机1．下面的语句正确的是()①算法的每一步操作必须是明确的，不能有歧义；②一个算法可以无止境地运算下去；③完成一件事情的算法有且只有一种；④设计算法要本着简单、方便的原则．A．①②B．③④C．①④D．②④C[算法的步骤必须明确，其中不能含有模糊不清、让人误解的叙述，所以①正确；一个算法必须在执行有限步之后结束，且每一步都应在有限时间内完成，所以②错误；由于求解某一类问题的算法不是唯一的，所以③错误；算法设计要尽量简单，步骤应尽量少，所以④正确．]①②④[根据算法的含义知①②④都是算法，而③只是一个纯数学问题，没有确定的解决问题的步骤，不属于算法．]2．下列语句是算法的有________．(填序号)①解方程2x－6＝0的过程是移项和系数化为1；②从济南到温哥华要先乘火车到北京，再转乘飞机；③解方程2x2＋x－1＝0；④利用公式S＝πr2计算半径为3的圆的面积就是计算π×32.将第三步中的运算结果64与41相加，得到105[本题是一个连续相加的问题，可以按逐一相加的方法解决．]3．下面是求1＋11＋21＋31＋41的值的一个算法，请将其补充完整．第一步计算1＋11，得12；第二步将第一步中的运算结果12与21相加，得到33；第三步将第二步中的运算结果33与31相加，得到64；第四步______________________________，即为最后结果．4．有人对命题“任何大于4的偶数都能写成两个奇质数之和”设计了如下操作步骤：第一步检验6＝3＋3.第二步检验8＝3＋5.第三步检验10＝5＋5.…不能不是[确定性和有限性是任何算法都必须满足的重要特点，若不满足则不能称之为算法．]利用计算机一直进行下去！请问：利用这种步骤________(填“能”或“不能”)证明猜想的正确性，这________(填“是”或“不是”)算法．合作探究提素养算法的概念和特征【例1】下面语句是算法的有________个．①从南京到台湾旅游，先坐火车，再坐飞机抵达；②解一元一次方程的步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1；③方程x2－1＝0有两个实根；④求1＋2＋3＋4＋5的值，先计算1＋2＝3，再求3＋3＝6,6＋4＝10,10＋5＝15，最终结果为15.3[因为算法是为解决某类问题而设计的一系列可操作可计算的步骤，通过这些步骤能够有效地解决问题，因此①②④都是算法，③不是算法．]判断一个语句是不是算法，依据是算法的概念，它是解决一类问题的具体步骤，未给出步骤的解决方法，不能够称之为算法，即按照所给出的步骤，能将问题解决，则这些步骤就可以称为一个算法．1．下列对算法的描述正确的个数是________．①一个算法应包含有限的步骤，而不能是无限的；②算法中的每一个步骤都应当是确定的，而不应当是含糊的、模棱两可的；③算法中的每一个步骤都应当有效地执行，并得到确定的结果；④一个问题只能设计出一种算法．3[由算法的有限性知①正确；由算法的确定性知②正确；由算法的可输出性知③正确；对于同一个问题可以有不同的算法，因此④不正确．故正确的个数为3.]2．著名数学家华罗庚提出的“烧水泡茶”的两个算法如下，算法1：第一步烧水；第二步水烧开后，洗刷茶具；第三步沏茶．算法2：第一步烧水；第二步在烧水过程中，洗刷茶具；第三步水烧开后沏茶．其中更高效的算法是________，原因是________．算法2它更节约时间[算法不同，解决问题的繁简程度不同，我们研究算法，就是要找出解决问题的最好算法．在算法1中三步所用的时间为烧水、洗茶具和沏茶时间的和，而在算法2中所用的时间为烧水和沏茶时间的和，故算法2更高效．]算法的设计【例2】给出求1＋3＋5＋7＋9＋11＋13的值的一个算法．思路点拨：本题是一个连续相加的问题，加数的个数不多，可以按逐一相加的方法解决．注意到加数依次排列可构成一个等差数列，故也可运用公式1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2解决，当加数较多时，如计算1＋3＋5＋…＋99，逐个相加的方法显然是不可取的，除了使用公式1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2解决该问题之外，还有没有别的方法？为此，我们还可以引入变量和循环的方法解决．[解]算法1：第一步计算1＋3，得到4；第二步将第一步中的运算结果4与5相加，得到9；第三步将第二步中的运算结果9与7相加，得到16；第四步将第三步中的运算结果16与9相加，得到25；第五步将第四步中的运算结果25与11相加，得到36；第六步将第五步中的运算结果36与13相加，得到49.算法2：第一步取n＝7；第二步计算n2；第三步输出运算结果．算法3：第一步使p＝1；第二步使i＝3；第三步使p＋i的和仍放在变量p中，可表示为p＝p＋i；第四步使i的值加2，即i＝i＋2；第五步若i≤13，返回第三步，重新执行第三步及之后的第四、第五步，否则，算法结束，最后得到的p的值就是1＋3＋5＋7＋9＋11＋13的值．1．写出求1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19的一个算法．[解]第一步取n＝10；第二步计算n2；第三步输出运算结果．2．写出求2＋4＋6＋8＋…＋200的一个算法．思路点拨：运用公式2＋4＋6＋8＋…＋2n＝n(n＋1)．[解]第一步取n＝100；第二步计算n(n＋1)；第三步输出运算结果．1．算法的设计目的设计算法的目的实际上是寻求一类问题的算法，它可以通过计算机来完成．设计算法的关键是把过程分解成若干个明确的步骤，然后用计算机能够接受的“语言”准确地描述出来，从而达到计算机执行的目的．2．算法的设计要求(1)写出的算法必须能解决一类问题；(2)要使算法尽量简单、步骤尽量少；(3)要保证算法正确，且计算机能够执行．3．设计算法的步骤(1)分析问题，寻找可以解决问题的一般的数学方法；(2)将问题的各种情况加以分类；(3)将每一类情况划分为若干步骤；(4)用简练的语言、数学符号和各种参数将各个步骤表达出来；(5)按照步骤的顺序将步骤列出来．提醒：(1)算法从初始步骤开始，每一个步骤只能有一个确定的后续步骤，从而组成一个步骤序列，序列的终止表示问题得到解答或指出问题没有解．(2)一个具体问题的算法不唯一．(3)不同的算法有简繁、优劣之分，但每一种算法都会使问题有一个最终的结果，对于一个具体的问题，我们可以找到一个算法步骤相对较少、执行步骤也较少的算法，即最优算法．算法在实际生活中的应用【例3】一位商人有9枚银元，其中有1枚略轻的是假银元，你能用天平(不用砝码)将假银元找出来吗？写出解决这一问题的一种算法．思路点拨：可以两枚两枚地称，直到称出假银元为止，也可以先分组再称．[解]法一：第一步任取2枚银元分别放在天平的两边，如果天平左右不平衡，则轻的一枚就是假银元，如果天平平衡，则进行第二步；第二步取下右边的银元，放在一边，然后把剩余的7枚银元依次放在右边进行称量，直到天平不平衡，偏轻的那一枚就是假银元．法二：第一步把银元分成3组，每组3枚；第二步先将两组分别放在天平的两边，如果天平不平衡，那么假银元就在轻的那一组里，如果天平左右平衡，则假银元就在未称的第3组里；第三步取出含假银元的那一组，从中任取两枚银元放在天平的两边，如果天平左右不平衡，则轻的那一枚就是假银元，如果天平两边平衡，则未称的那一枚就是假银元．算法在生活中的应用主要包括一些非数值型的问题．在设计算法时，应当先建立过程模型，也就是找到解决问题的方案，再把它细化为一步接一步的步骤，从而设计出算法．3．有蓝、黑两个墨水瓶，现把蓝墨水错装在了黑墨水瓶中，黑墨水错装在了蓝墨水瓶中，要求将两个墨水瓶中的墨水互换，请设计一个算法．[解]由于两个墨水瓶中的墨水不能直接交换，故可以考虑通过引入第三个空墨水瓶来解决问题．算法如下：第一步取一个空的墨水瓶，设其为白色；第二步将黑墨水瓶中的蓝墨水倒入白瓶中；第三步将蓝墨水瓶中的黑墨水倒入黑墨水瓶中；第四步将白瓶中的蓝墨水倒入蓝墨水瓶中；第五步交换结束．4．两个大人和两个小孩一起渡河，渡口只有一条小船，每次只能渡一个大人或两个小孩，他们四人都会划船，但都不会游泳，他们如何渡河？请写出你设计的渡河的算法．[解]因为每次只能渡一个大人或两个小孩，而船还要来回渡其他人，所以只能让两个小孩先渡河，然后回来一个，一直到四人全过河．第一步两个小孩同船渡过河去；第二步一个小孩划船回来；第三步一个大人独自划船渡过河去；第四步对岸的小孩划船回来；第五步两个小孩再同船渡过河去；第六步一个小孩划船回来；第七步余下的另一个大人独自划船渡过河去；第八步对岸的小孩划船回来；第九步两个小孩再同船渡过河去．1．本节课的重点是理解算法的概念，体会算法的思想，难点是掌握简单问题算法的表述．2．本节课要重点掌握的规律方法(1)掌握算法的特征；(2)掌握设计算法的一般步骤；(3)会设计实际问题的算法．3．在解决某类数学问题时，逐一列举、验证计算量较大，不易操作，若根据题意把其分成几个组，先研究组与组之间的关系，再研究小组内的关系，可以减少操作步骤，使问题易于解决，这就是分组讨论思想．当堂达标固双基1．下列关于算法的说法，正确的个数为()①求解某一类问题的算法是唯一的；②算法必须在有限步操作之后停止；③算法的每一步操作必须是明确的，不能有歧义或模糊；④算法执行后一定产生确定的结果．A．1B．2C．3D．4C[由算法的特征(有限性、确定性、有序性、有输出等)可知②③④正确，但解决某一类问题的算法不一定是唯一的，故①错．]bacde[利用时间最短排序．]2．假设家中生火泡茶有下列几个步骤，最优的一个算法是________．a．生火；B．将水倒入锅中；C．找茶叶；D．洗茶壶茶杯；e.用开水冲茶．①②④[算法是解决问题的方法步骤，这个问题并不仅仅限于数学问题，①②④都是算法，而③没有确定的解题步骤，不是算法．]3．下列语句表达中是算法的是________．①从济南到巴黎可以先乘火车到北京，再坐飞机抵达；②利用公式S＝12ah计算底为1，高为2的三角形的面积；③12x2x－4；④求M(1,2)与N(－3，－5)两点连线所