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第1页§4数列在日常经济生活中的应用第2页要点1储蓄利息的计算公式设本金a元，利率r，存期n，本利和为y.按单利计算：y＝a＋a×r×n.按复利计算：y＝a×(1＋r)n.依法纳税计算公式为：应纳税额＝利息金额×税率．第3页要点2分期付款分期付款之四条规定：①在分期付款中，每期的利息均按复利计算；②分期付款中规定每期所付款额相同；③分期付款时，本金和每期所付款额在贷款全部付清前会随着时间的推移而不断增值；第4页④各期所付款额连同到最后一次付款时所生的利息之和，等于本金及从购买到最后一次付款时的利息之和，[这一规定实际上是解决问题关键步骤(列方程)的依据]．第5页授人以渔第6页题型一储蓄利息的计算公式例1甲、乙两人于同一天分别携款1万元到银行储蓄，甲存五年期定期储蓄，年利率为2.88%.乙存一年期定期储蓄，年利率为2.25%，并在每年到期时将本息续存一年期定期储蓄，按规定每次计息时，储户须交纳利息的20%作为利息税，若存满五年后两人同时从银行取出存款，则甲与乙所得本息之和的差为________元．(假定利率五年内保持不变，结果精确到1分)第7页【解析】由已知甲所得本息之和a＝10000＋10000×2.88%×5×(1－20%)．而乙实际上年利率在去掉利息税后为45×2.25%.故乙所得本息之和应按复利计算为b＝10000(1＋45×2.25%)5.经计算a－b≈219.01元．第8页探究1定期整存整取储蓄利息的计算没有申明时一般不计复利，其公式是：利息＝本金×存期×利率．第9页题型二分期付款例2某银行设立了教育助学贷款，其中规定一年期以上月均等额还本付息(利息按月以复利计算)，如果贷款10000元，两年还清，月利率为0.4575%，那么每月应还多少钱呢？第10页【解析】首先要弄清到贷款两年付清时，10000元贷款的本金与它的利息之和是多少，可以通过填出下表获得答案．10000元贷款的本金与它的利息之和1个月后10000×1.004575元2个月后10000×1.0045752元3个月后10000×1.0045753元……23个月后10000×1.00457523元24个月后10000×1.00457524元第11页再弄清到贷款两年付清时，各月所付款额与它的利息之和是多少，也可以填出下表获得答案.各月所付款额与它的利息之和1个月后还x元1.00457523x元2个月后还x元1.00457522x元3个月后还x元1.00457521x元……23个月后还x元1.004575x元24个月后还x元x元第12页最后根据到期偿还贷款的含义，即各所付款额连同到贷款付清时所生利息之和，等于贷款本金及贷款付清时的利息之和，计算每月应付款额．也就是说，x＋1.004575x＋…＋1.00457522x＋1.00457523x＝10000×1.00457524，即(1＋1.004575＋…＋1.00457522＋1.00457523)·x＝10000×1.00457524.第13页可以发现，上述等式是一个关于x的一次方程，且等号左边括号内是一个首项为1，公比为1.004575的等比数列的前24项的和，于是x·1－1.004575241－1.004575＝10000×1.00457524，x＝10000×1.00457524×（1－1.004575）1－1.00457524，算得x≈440.91(元)，即每月应还440.91元．第14页探究2错误解答一：设每月应付x元，则∴x＝10000×1.0045752424≈464.9(元)．第15页错误解答三：设每月应付x元，则x＋1.004575x＋1.0045752x＋…＋1.00457523x＝10000×1.00457523，∴x·1.00457524－11.004575－1＝10000×1.00457523.∴x＝10000×1.00457523×0.0045751.00457524－1≈438.9(元)．第16页误点分析分期付款中的四项规定，体现了银行与贷款人之间平等对待、公平贸易的原则，尤其是第三条规定“分期付款时，本金和每期所付款额在贷款全部付清前会随着时间的推移而不断增值”，错误解答一中，每期所付款额与本金都没有增值，按这一方法分期付款，银行就要亏损了(为什么)；错误解答二中，忽视了每期所付款额在贷款全部付清前会随着时间的推移而不断增值，按照这一方法分期付款，贷款人就要吃亏了(为什么)；第17页错误解答三中，主要是期数没有弄清，由于是在贷款后的第一个月才分期付款，到贷款全部付清时，历时整整24个月(24期)，10000元增值到了10000×1.00457524元，而不是10000×1.00457523元．第18页例3顾客购买一件售价为5000元的商品时如果采取分期付款，一年内分6次付清，每2个月付1次款，月利率为0.8%，每月利息按复利计算，每期应付款多少，总共应付款多少，按下列步骤逐步探究(假定每期付款x元)．(1)写出商品购买后1年贷款全部付清时，其商品价值增值到________元(用式子表示)．第19页(2)写出第1，2，3，4，5，6期所付的款额到全部付清时连同利息的和分别为________元，________元，________元，________元，________元，________元．(3)利用分期付款的有关规定得到关于x的等式是__________________________________________．(4)用计算器及等比数列求和公式计算得x≈________元．(5)6次所付款额共为________元．第20页【思路分析】分期付款的计算应按分期付款的规定列出其等量关系．【解析】(1)商品购买后1个月，该商品售价增值为5000(1＋0.008)＝5000×1.008(元)，由于利息按复利计算，在商品购买后2个月，商品售价增值为5000×1.008×(1＋0.008)＝5000×1.0082(元)，……于是，在商品购买后12个月，其售价增值为5000×1.00812(元)．第21页(2)第1期付款x元后，过10个月款全部付清，所付款连同利息之和为x×1.00810元．同理得第2，3，4，5，6期所付款额全部付清时连同利息的和为1.0088x(元)，1.0086x(元)，1.0084x(元)，1.0082x(元)，x(元)．(3)x＋1.0082x＋1.0084x＋…＋1.00810x＝5000×1.00812.第22页(4)x·(1＋1.0082＋1.0084＋…＋1.00810)＝5000×1.00812.于是x·1－（1.0082）61－1.0082＝5000×1.00812.x＝5000×1.00812×（1.0082－1）1.00812－1.算得x≈880.8元．(5)880.8×6＝5284.8(元)．第23页探究3分期付款的本质是商品售价在未还清贷款时，按复利要增值，而每期所付款额在未还清贷款时，也要按复利增值，且它们的总和相等．第24页●思考题1把例4中“一年内分6次付清，每2个月付1次款”分别改为“一年内分3次付清，每4个月付1次款，”“一年内分12次付清，每1个月付一次款”得到另两种付款方案(其他条件不变)，与例1对比填写下表.付款方法x的等式每期所付款额付款总额与一次性付款差额6次3次12次第25页【解析】①付款6次时，x的等式为x(1＋1.0082＋1.0084＋…＋1.00810)＝5000×1.00812.每期所付款额为880.8元，付款总额为5284.8元，与一次性付款差额为284.8元．②付款3次时，x的等式为x(1＋1.0084＋1.0088)＝5000×1.00812.每期所付款额为1775.8元，付款总额为5327.4元，与一次性付款差额为327.4元．第26页③付款12次时，x的等式为x(1＋1.008＋1.0082＋…＋1.00811)＝5000×1.00812.每期所付款额为438.6元，付款总额为5263.2元，与一次性付款差额为263.2元．第27页题型三增长率问题例4某城市2011年底人口为500万，人均居住面积为6平方米，如果该城市每年人口平均增长率为1%，每年平均新增住房面积为30万平方米，到2021年底该城市人均住房面积是多少平方米？增加了还是减少了？(精确到0.01平方米)第28页【解析】设2011年，2012年，…，2021年住房面积总数成等差数列{an}，人口数组成等比数列{bn}，则2011年：a1＝500×6＝3000(万平方米)，b1＝500(万)．2012年：a2＝a1＋d＝3000＋30＝3030(万平方米)，b2＝b1×q＝500×(1＋1%)＝505(万)．…第29页2021年：a11＝a1＋10d＝3000＋10×30＝3300(万平方米)，b11＝b1×q10＝500×(1＋1%)10＝500×1.0110≈552(万)．所以人均住房面积是3300552≈5.98(平方米)．答：该城市人均住房面积约5.98平方米，人均住房面积反而减少了．第30页●思考题2某制糖厂第1年制糖5万吨，如果平均每年的产量比上一年增加10%，那么从第一年起，几年内可以使总产量达到30万吨？(保留到个位)第31页【解析】根据题意，每年产量比上一年增加的百分率相同，所以从第1年起，平均每年的产量(万吨)组成一个等比数列，记为{an}，其中a1＝5，q＝1＋10%＝1.1，Sn＝30，所以5（1－1.1n）1－1.1＝30，整理得，1.1n＝1.6，两边取对数得nlg1.1＝lg1.6，所以n＝lg1.6lg1.1≈5(年)．第32页课后巩固第33页1．(2013·江西)某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵树是前一天的2倍，则需要的最少天数n(n∈N*)等于________．答案6第34页2．一个热气球在第一分钟上升了25m的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80%.这个热气球上升的高度能超过125m吗？第35页解析用an表示热气球在第n分钟上升的高度，由题意，得an＋1＝45an，因此，数列{an}是首项a1＝25，公比q＝45的等比数列．热气球在前n分钟内上升的总高度为Sn＝a1＋a2＋…＋an＝a1（1－qn）1－q＝25×[1－（45）n]1－45＝125×[1－(45)n]125.所以这个热气球上升的高度不能超过125m.第36页3．为保护我国的稀土资源，国家限定某矿区的出口总量不能超过80吨，该矿区计划从2012年开始出口，当年出口a吨，以后每年出口量均比上一年减少10%.(1)以2012年为第一年，设第n年出口量为an吨，试求an的表达式；(2)因稀土资源不能再生，国家计划10年后终止该矿区的出口，问2012年最多出口多少吨？(保留一位小数)参考数据：0.910≈0.35.第37页解析(1)由题意知每年的出口量构成等比数列，且首项a1＝a，公比q＝1－10%＝0.9，所以an＝a·0.9n－1(n∈N*)．(2)10年的出口总量S10＝a（1－0.910）1－0.9＝10a(1－0.910)，因为S10≤80，所以10a(1－0.910)≤80，即a≤81－0.910.所以a≤12.3.故2012年最多出口12.3吨．第38页