2019-2020学年高中数学 第1章 数列 1.3.2.2 等比数列的前n项和（第二课时）课件 北

第1页3．2等比数列的前n项和(第二课时)第2页要点Sn的性质(1)若{an}为等比数列，且Sn＝Aqn＋B(q≠0，1)，则A＋B＝0(AB≠0)．(2)设数列{an}是公比为q的等比数列，若项数为2n(n∈N*)，则S偶S奇＝q.第3页(3)如果等比数列{an}的公比为q，其依次每k项之和组成一个数列Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…若其中的每一项均不为零，那么它们依次组成一个公比为qk的等比数列．灵活运用上面的性质，有利于提高运算速度与运算的准确性．第4页1．若数列{an}中前n项和Sn＝3n＋1，则数列{an}是()A．等差数列B．等比数列C．既是等差数列也是等比数列D．既不是等差数列也不是等比数列第5页答：D∵an＝4（n＝1），2·3n－1（n≥2），∴{an}既不是等差数列，也不是等比数列．第6页2．数列1，x，x2，…，xn－1(x≠0)的前n项和为()A.1－xn1－xB.1－xn－11－xC.1－xn＋11－xD．以上均不正确第7页答：D在不能确定公比q是否为1时，要分类讨论．当x≠1时，Sn＝1－xn1－x；当x＝1时，Sn＝n.第8页授人以渔第9页题型一等比数列前n项和的性质例1在等比数列{an}中，已知Sn＝48，S2n＝60，求S3n.第10页【解析】方法一：∵S2n≠2Sn，∴q≠1.由已知得a1（1－qn）1－q＝48，①，a1（1－q2n）1－q＝60，②由②÷①，得1＋qn＝54，即qn＝14.③将③代入①，得a11－q＝64.∴S3n＝a1（1－q3n）1－q＝64(1－143)＝63.第11页方法二：∵{an}为等比数列，∴Sn，S2n－Sn，S3n－S2n也成等比数列，∴(S2n－Sn)2＝Sn(S3n－S2n)．∴S3n＝（S2n－Sn）2Sn＋S2n＝（60－48）248＋60＝63.第12页探究1通过两种解法比较可看出，利用等比数列的性质解题，思路清晰，过程较为简捷．第13页●思考题1(1)等比数列{an}中，公比q＝2，S4＝1，则S8的值为()A．15B．17C．19D．21(2)等比数列{an}中，Sn是它的前n项和，且S4＝1，S8＝4，则a17＋a18＋a19＋a20＝__________．【答案】(1)B(2)81第14页题型二含参数的求和问题例2设ab≠0，化简：an＋an－1b＋an－2b2＋…＋bn.第15页【思路分析】先分析an，an－1b，an－2b2，…，bn是什么数列．其次弄清有多少项．第16页【解析】an＋an－1b＋an－2b2＋…＋bn＝an1＋ba＋ba2＋…＋ban(有n＋1项)＝an·1－ban＋11－ba（当ba≠1时），（n＋1）an（当ba＝1时）第17页(讨论公比q＝ba是否等于1)＝an＋1－bn＋1a－b（当a≠b时），n＋1）an（当a＝b时）.第18页探究2在弄不清一个等比数列的公比是不是等于1时，要分两种情况讨论．(这种情况经常发生在公比q用字母表示时)q＝1时，不能用Sn＝a1（1－qn）1－q及Sn＝a1－anq1－q的公式求和；q≠1时，也不能用Sn＝na1的公式求和．第19页●思考题2求和：1＋a＋a2＋…＋an(a≠0)．【答案】a＝1时为n＋1；a≠1且a≠0时为1－an＋11－a第20页题型三方程(组)的思想解数列问题例3记等差数列{an}的前n项和为Sn，设S3＝12，且2a1，a2，a3＋1成等比数列，求Sn.第21页【解析】设数列{an}的公差为d，依题设有2a1（a3＋1）＝a22，a1＋a2＋a3＝12，即a12＋2a1d－d2＋2a1＝0，a1＋d＝4.解得a1＝1，d＝3或a1＝8，d＝－4.因此Sn＝12n(3n－1)或Sn＝2n(5－n)．第22页探究3在等差数列{an}中，通常把首项a1和公差d作为基本量，在等比数列{bn}中，通常把首项b1和公比q作为基本量，列关于基本量的方程(组)是解决等差数列和等比数列的常用方法．第23页●思考题3设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知13S3与14S4的等比中项为15S5，13S3与14S4的等差中项为1，求等差数列{an}的通项公式an.第24页【解析】设等差数列{an}的首项为a，公差为d，则an＝a＋(n－1)d，前n项和Sn＝na＋n（n－1）2d.由题意得13S3·14S4＝（15S5）2，13S3＋14S4＝2，第25页其中S5≠0，于是得13（3a＋3×22d）×14（4a＋4×32d）＝125（5a＋5×42d）2，13（3a＋3×22d）＋14（4a＋4×32d）＝2，整理得3ad＋5d2＝0，2a＋52d＝2，解得d＝0，a＝1或d＝－125，a＝4.由此得an＝1或an＝4－125(n－1)＝325－125n.第26页经验证an＝1时，S5＝5或an＝325－125n时，S5＝－4均适合题意．故所求数列的通项公式为an＝1或an＝325－125n.第27页课后巩固第28页1．等比数列{an}中，已知a1＋a2＝20，a3＋a4＝40，则a5＋a6＝()A．20B．40C．80D．120答案C第29页2．公差不为零的等差数列{an}的第二、第三、第六项构成等比数列，则公比为()A．1B．2C．3D．4答案C第30页3．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S6S3＝3，则S9S6＝()A．2B.73C.83D．3第31页答案B解析方法一：设数列{an}的公比为q，则S6S3＝1－q61－q3＝（1＋q3）（1－q3）1－q3＝1＋q3＝3，所以q3＝2.S9S6＝1－q91－q6＝1－231－22＝73，故选B.第32页方法二：∵{an}为等比数列，∴S3，S6－S3，S9－S6成等比数列，即(S6－S3)2＝S3·(S9－S6)．又S6S3＝3，S63＝S3代入上式，得49S62＝S63·(S9－S6)得到S9S6＝73，选B.第33页4．若{an}是等比数列，且前n项和为Sn＝3n－1＋t，则t＝________．第34页答案－13解析显然q≠1，此时应有Sn＝A(qn－1)，又Sn＝3n－1＋t，所以t＝－13.第35页5．已知{an}是公差不为零的等差数列，a1＝1，且a1，a3，a9成等比数列．(1)求{an}的通项公式an；(2)求数列{2an}的前n项和．第36页解析(1)由题设知公差d≠0，由a1＝1，a1，a3，a9成等比数列得1＋2d1＝1＋8d1＋2d，解得d＝1或d＝0(舍去)．故{an}的通项公式an＝1＋(n－1)×1＝n.(2)由(1)知2an＝2n，由等比数列前n项和公式得Sn＝2＋22＋23＋…＋2n＝2（1－2n）1－2＝2n＋1－2.第37页自助餐第38页等比数列前n项和的最值问题例1数列{an}是等比数列，项数是偶数，各项均为正，它所有项的和等于偶数项和的4倍，且第二项与第四项的积是第三项与第四项和的9倍，问数列{lgan}的前多少项和最大．第39页【解析】由题意知q≠1，且a1（1－qn）1－q＝4a1q[1－（q2）n2]1－q2，即4q1＋q＝1，∴q＝13.又∵a1q·a1q3＝9(a1q2＋a1q3)，∴a1＝108，∴an＝108·13n－1＝43n－4.∴lgan＝2lg2－(n－4)lg3.第40页∴当n≥2时，lgan－lgan－1＝2lg2－(n－4)lg3－[2lg2－(n－5)lg3]＝－lg30.所以数列{lgan}是递减的等差数列，且lga1＝lg(22×33)0.第41页设数列{lgan}的前n项和最大，则有lgan≥0，lgan＋10.即2lg2－（n－4）lg3≥0，2lg2－（n－3）lg30.∴n≤4＋log34，n3＋log34.又∵1log342，n∈N*，∴n＝5.∴数列{lgan}的前5项和最大．第42页例2已知数列{an}的首项a1＝21，前n项和Sn＝an2＋bn，等比数列{bn}的前n项和Tn＝2n＋1＋a，求Sn的最大值．第43页【解析】由Tn＝2×2n＋a，可求出a＝－2，∴Sn＝－2n2＋bn，∴数列{an}为等差数列．又∵a1＝21，Sn＝－2n2＋bn，故b＝21－(－2)＝23.∴Sn＝－2n2＋23n＝－2(n－234)2＋5298.当n＝6时，Sn取得最大值66.第44页