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第1页3．2等比数列的前n项和(第一课时)第2页要点等比数列的前n项和公式Sn＝na1（q＝1），a1（1－qn）1－q（q≠1），或Sn＝na1（q＝1），a1－anq1－q（q≠1）.无论等比数列的前n项和公式以哪种形式出现，在Sn，n，a1，q，an这五个量中，只要给出其中三个量便可以求出另外的两个量．第3页1．从函数观点看等比数列前n项和公式．答：(1)当公比q≠1时，公式可写成Sn＝－Aqn＋A的形式，数列{Sn}对应的点(n，Sn)是指数型函数y＝－Aqx＋A图像上的一些离散的点．(2)当公比q＝1时，应为a1≠0，所以Sn＝na1是n的正比例函数，数列{Sn}对应的点(n，Sn)是正比例函数y＝a1x图像上的一些离散的点．另外应注意：如果已知数列的前n项和公式Sn＝－Aqn＋A(A≠0，q≠0且q≠1，n∈N*)，那么这个数列一定是公比为q的等比数列．第4页2．假如一个人得到了一条消息，他偷偷告诉了两个朋友，1小时后这两个朋友又各自偷偷告诉了自己的两个朋友，如果每个得到消息的人在1小时内把这一消息告诉两个朋友，计算一下，24小时后至多有多少人知道了这条消息？第5页答：按题意1小时后有1＋2人，2小时后有1＋2＋22人，…，设24小时后有x人知道，则x＝1＋2＋22＋…＋224＝1·（1－225）1－2＝225－1.用计算器计算知：x≈33554431，所以24小时后至多有33554431人知道了这条消息．第6页授人以渔第7页题型一等比数列的前n项和公式例1已知{bn}为等比数列，且b1＞0，b2＝－13，b4＝－127，求数列的前n项和．第8页【思路分析】求出公比q，应用公式．【解析】由于b4＝b2q2，故－13q2＝－127.所以q＝±13.因为b1＞0，b2＜0，所以q＜0.故q＝－13.由b1＝b2q，得b1＝1.因此数列的前n项和Sn＝1·1－－13n1－－13＝341－－13n.第9页探究1熟练掌握公式是解决问题的关键，切记牢记．第10页●思考题1在等比数列{an}中，若a1＝1，a4＝18，则该数列的前10项和为()A．2－128B．2－129C．2－1210D．2－1211第11页【解析】本题主要考查等比数列的通项公式和前n项和公式．设公比为q，则a1＝1，a1q3＝18，解得q＝12.则该数列的前10项和为S10＝a1（1－q10）1－q＝1－12101－12＝2－129.【答案】B第12页【讲评】求等比数列的前n项和的关键是明确首项和公比，常用解方程组的方法求得，解方程组消元的策略是将所得方程相除．第13页例2在等比数列{an}中，a1＋an＝66，a2an－1＋a3an－2＝256，且前n项和Sn＝126，求n及公比q.第14页【思路分析】利用等比数列的性质，将a2·an－1转化为a1·an，从而易求得a1和an，然后再求n和q的值．【解析】∵{an}是等比数列，∴a1an＝a2an－1＝a3an－2.∵a2an－1＋a3an－2＝256，∴a1an＝128.又a1＋an＝66，∴a1＝2，an＝64，或a1＝64，an＝2.第15页显然q≠1，由公式Sn＝a1－anq1－q＝126.(1)当a1＝2，an＝64时，得q＝2.由an＝a1×qn－1，得2n－1＝32，∴n＝6.(2)当a1＝64，an＝2时，同理解得q＝12，n＝6.综上，n＝6，q＝2或12.第16页探究2(1)“知三求二”的实质是方程思想．(2)当已知a1，q(q≠1)及n时，用公式Sn＝a1（1－qn）1－q求和比较方便；当已知a1，q，an时，则用公式Sn＝a1－anq1－q求和．第17页●思考题2在等比数列{an}中，若a6－a4＝216，a3－a1＝8，Sn＝40，求q，a1及n.【答案】q＝3，a1＝1，n＝4第18页题型二等比数列前n项和的应用例3等比数列{an}中，an＞0，Sn＝80，S2n＝6560，前n项中值最大的项是54，求其通项公式an.第19页【思路分析】应用前n项和公式，弄清最大项是哪一项．【解析】因为Sn＝80，S2n＝6560.故q≠1.所以a1（1－qn）1－q＝80，①，a1（1－q2n）1－q＝6560.②①÷②得1＋qn＝82，所以qn＝81③，将③代①得a1（1－81）1－q＝80，即a1＝q－1.因为n∈N*，且qn＝81＞1.所以q＞1，a1＝q－1＞0.第20页所以{an}是递增数列，an是前n项中值最大的项．所以a1qn－1＝54，所以a1＝23q.综上得a1＝2，q＝3.所以an＝2·3n－1(n∈N*)．第21页探究3若未证明{an}是递增数列，则an未必是前n项中值最大的项．等比数列{an}，若a1＞0，则0＜q＜1时是递减数列；q＞1时是递增数列，q0时是摆动数列，这个结果是有用的．第22页●思考题3在等比数列{an}中，a2＋a4＝60，a1·a3＝36，Sn＞400，求正数n的取值范围．第23页【思路分析】把握问题的关键，熟练的应用公式Sn＝a1（1－qn）1－q将题解之．第24页【解析】由a1a3＝a22＝36，得a2＝±6.再由a2＋a4＝60，得a4＝54或a4＝66.因为a2与a4同号，所以a2＝6，a4＝54.再由q2＝a4a2＝9，得q＝±3.当q＝3时，a1＝a2q＝2.此时，Sn＝2（3n－1）3－1＞400，即3n＞401.所以n＞6.第25页当q＝－3时，a1＝－2，此时Sn＝（－2）[（－3）n－1]－3－1＞400，即(－3)n＞801.所以n≥8(n∈N*且n为偶数)．综上：当a1＝2，q＝3时，n是大于6的正整数，当a1＝－2，q＝－3时，n是不小于8的偶数．第26页例4在等比数列{an}中，S3＝72，S6＝632，求an.第27页【解析】由已知S6≠2S3，则q≠1，又S3＝72，S6＝632，即a1（1－q3）1－q＝72，①，a1（1－q6）1－q＝632，②②÷①得1＋q3＝9，∴q＝2.将q＝2代入①，可求得a1＝12.因此an＝a1qn－1＝2n－2.第28页探究4使用等比数列的前n项和公式要注意公比q＝1和q≠1情况的区别，而在解方程的过程中，一般采用两式相除的方法．第29页●思考题4设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＋S6＝2S9，试求公比q的值．第30页【解析】若q＝1，则S3＋S6＝3a1＋6a1＝9a1≠2S9.所以q≠1，由已知，可得a1（1－q3）1－q＋a1（1－q6）1－q＝2a1（1－q9）1－q.所以q3(2q6－q3－1)＝0.第31页因为q≠0，所以2q6－q3－1＝0.所以(q3－1)(2q3＋1)＝0.因为q≠1，所以q3＝－12，所以q＝－342.第32页课后巩固第33页1．等比数列{2n}的前n项和Sn＝()A．2n－1B．2n－2C．2n＋1－1D．2n＋1－2答案D第34页2．已知等比数列的公比为2，且前5项和为1，那么前10项和等于()A．31B．33C．35D．37答案B第35页3．设等比数列{an}的公比q＝12，前n项和为Sn，则S4a4＝________．答案15解析S4a4＝a1＋a1q＋a1q2＋a1q3a1q3＝q－3＋q－2＋q－1＋1＝8＋4＋2＋1＝15.第36页4．数列{(－1)n＋2}的前n项和为Sn，则S2015＝__________．答案－1第37页5．设等比数列{an}的前n项和为Sn.若a1＝1，S6＝4S3，则a4＝________．答案3第38页6．在等比数列{an}中，S3＝139，S6＝3649，求an.解析由已知，S6≠2S3，则q≠1.又S3＝139，S6＝3649，即a1（1－q3）1－q＝139，①，a1（1－q6）1－q＝3649，②②÷①，得1＋q3＝28，∴q＝3.可求得a1＝19.因此an＝a1qn－1＝3n－3.第39页