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第1页3．1等比数列(第二课时等比数列的性质)第2页要点等比数列的常用性质性质1通项公式的推广：an＝am·qn－m(n，m∈N*)性质2若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak·al＝am·an性质3若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}，{1an}，{an2}，{an·bn}，{anbn}仍是等比数列性质4在等比数列{an}中距首末两端等距离的两项的积相等，即a1an＝a2an－1＝a3an－2＝…性质5在等比数列{an}中，序号成等差数列的项仍成等比数列第3页1．等比数列的单调性．答：等比数列{an}的通项公式an＝a1qn－1(a1q≠0)，当a10，q1时，等比数列{an}是递增数列；当a10，0q1时，等比数列{an}是递增数列；当a10，0q1时，等比数列{an}是递减数列；当a10，q1时，等比数列{an}是递减数列；当q0时，等比数列{an}是摆动数列；当q＝1时，等比数列{an}是常数列．第4页2．等比数列的“子数列”的特性．答：若数列{an}是公比为q的等比数列，则(1){an}去掉前几项后余下的项仍组成公比为q的等比数列．(2)奇数项数列{a2n－1}是公比为q2的等比数列；偶数项数列{a2n}是公比为q2的等比数列．(3)若{kn}成等差数列且公差为d，则{akn}是公比为qd的等比数列，也就是说等比数列中项的序号若成等差数列，则对应的项依次成等比数列．第5页授人以渔第6页题型一等比数列的性质例1(1)在等比数列{an}中，已知a4a7＝－512，a3＋a8＝124，且公比为整数，求a10.(2)若{an}为等比数列，且a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8，求an.第7页【思路分析】利用等比数列的性质．【解析】(1)∵3＋8＝4＋7，∴由a4a7＝－512，知a3a8＝－512.解方程组a3a8＝－512，a3＋a8＝124，且q为整数，得a3＝－4，a8＝128或a3＝128，a8＝－4(舍去)．q＝5a8a3＝－2.∴a10＝a3q7＝－4(－2)7＝512.第8页(2)∵在等比数列中，a1a3＝a22，∴由a1a2a3＝8，得a23＝8，a2＝2.将a2＝2代入题中条件，得方程组：a1＋a3＝5，a1a3＝4.解之得a1＝1，a3＝4或a1＝4，a3＝1.从而得q＝2或q＝12.于是得an＝2n－1或an＝12n－3.第9页探究1灵活应用性质2，能极大地提高我们的计算速度，当然本题也可采用基本量法．第10页●思考题1(1)在各项都为正数的等比数列{an}中，若a5·a6＝9，则log3a1＋log3a2＋log3a3＋…＋log3a10等于()A．8B．10C．12D．2＋log35(2)(2015·汕头模拟)已知等比数列{an}中，an0，a1，a99为方程x2－10x＋16＝0的两根，则a20·a50·a80的值为()A．32B．64C．256D．±64第11页【答案】(1)B(2)B第12页例2在等比数列{an}中，a9＋a10＝a(a≠0)，a19＋a20＝b，则a99＋a100等于()A.b9a8B.ba9C.b10a9D.ba10第13页【解析】∵数列{an}为等比数列，∴a9＋a10，a19＋a20，a29＋a30，…，a99＋a100组成等比数列，首项为a9＋a10＝a，公比为a19＋a20a9＋a10＝ba.∴a99＋a100＝a·ba9＝b9a8，故选A.【答案】A第14页●思考题2一个公比为正数的等比数列{an}，若a1＋a2＝20，a3＋a4＝80，求a5＋a6的值．【答案】320第15页题型二对称法设未知项例3已知有四个数前三个数成等差，后三个数成等比，中间两数之积为16，首尾两个数之积为－128，求这四个数．第16页【思路分析】求四个数，给出四个条件，若列四个方程组成方程组虽可解，但较麻烦，因此可依据条件减少未知数的个数．设未知数时，可以根据前三个数成等差来设，也可以依据后三个数成等比来设，还可以依据中间(或首尾)两数之积来设，关键是要把握未知量要尽量少，下一步运算要简捷．第17页【解析】设四个数为2aq－a，aq，a，aq，则由题意得a2q＝16，（2aq－a）·aq＝－128，解得a＝8，q＝4或a＝－8，q＝4.因此所求的四个数为－4，2，8，32或4，－2，－8，－32.第18页探究2(1)根据四个数中前3个成等差、后三个成等比列方程时，可以依据后三个数成等比用a，q表示四个数，也可以据前三个数成等差，用a，d表示四个数，由于中间两数之积为16，将中间两个数设为aq，aq这样既可使未知量减少，同时解方程也较为方便．第19页(2)注意到中间两数的特殊地位，可设第三个数为x，则第二个数为16x，则第一个数为32x－x，最后一个数为x316，再利用首尾两数之和为－128可列出关于x的方程x316·(32x－x)＝－128，解之得x＝±8，则更简捷．第20页●思考题3三个互不相等的数成等差数列，若适当排列三个数，又可成为等比数列，这三个数的和为6，则这三个数为________．第21页【解析】由已知，可设这三个数为a－d，a，a＋d，则a－d＋a＋a＋d＝6，∴a＝2.这三个数可表示为2－d，2，2＋d，①若2－d为等比中项，则有(2－d)2＝2(2＋d)，解之得d＝6或d＝0(舍去)．此时三个数为－4，2，8.第22页②若2＋d是等比中项，则有(2＋d)2＝2(2－d)，解之得d＝－6或d＝0(舍去)．此时三个数为8，2，－4.③若2为等比中项，则22＝(2＋d)·(2－d)，∴d＝0(舍去)．综上可知此三数为－4，2，8.【答案】－4，2，8第23页题型三等比数列与等差数列的综合问题例4(1)已知等比数列{an}满足a1＝3，且4a1，2a2，a3成等差数列，则此数列的公比等于()A．1B．2C．－2D．－1第24页【解析】设等比数列{an}的公比为q，因为4a1，2a2，a3成等差数列，所以4a1q＝4a1＋a1q2，即q2－4q＋4＝0，解得q＝2.【答案】B第25页(2)在3和一个未知数间填上一个数，使三数成等差数列，若中间项减去6，则成等比数列，则此未知数是________．【解析】设此三数为3，a，b，则2a＝3＋b，（a－6）2＝3b，解得a＝3，b＝3或a＝15，b＝27.所以这个未知数为3或27.【答案】3或27第26页(3)已知数列{an}为等差数列，Sn为其前n项和，且a2＝3，4S2＝S4.①求数列{an}的通项公式；②求证：数列{2an}是等比数列；③求使得Sn＋22Sn成立的n的集合．第27页【解析】①设数列{an}的首项为a1，公差为d，由题意，得a1＋d＝3，4×（2a1＋d）＝4a1＋6d.解得a1＝1，d＝2，所以an＝2n－1.②依题意，得2an2an－1＝4，所以数列{2an}是首项为2，公比为4的等比数列．第28页③由a1＝1，d＝2，an＝2n－1，得Sn＝n2，所以Sn＋22Sn⇒(n＋2)22n2⇒(n－2)28.所以n＝1，2，3，4，故n的集合为{1，2，3，4}．第29页探究3求解等差、等比数列综合的问题的技巧：(1)理清各数列的基本特征量，明确两个数列间各量的关系．(2)发挥两个数列的基本量a1，d或a1，q的作用，并用好方程这一工具．(3)结合题设条件对求出的量进行必要的检验．第30页●思考题4(2015·武威高二检测)已知等比数列{an}中，有a3a11＝4a7，数列{bn}是等差数列，且b7＝a7，则b5＋b9＝________．【答案】8第31页课后巩固第32页1．在等比数列{an}中，a4＝4，则a2·a6等于()A．4B．8C．16D．32答案C第33页2．在等比数列{an}中，a2＝8，a5＝64，则公比q为()A．2B．3C．4D．8答案A第34页3．等比数列{an}中，公比为q，则下列式子正确的是()A．an＝a4qn－1B．an＝a4qn－2C．an＝a4qn－3D．an＝a4qn－4答案D第35页4．已知{an}是等比数列，且an0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，那么a3＋a5的值等于()A．5B．10C．15D．20答案A第36页5．在等比数列{an}中，存在正整数m，有am＝3，am＋5＝24，则am＋15＝________．答案1536第37页6．设正整数数列{an}为一个等比数列，且a2＝4，a4＝16，求lgan＋1＋lgan＋2＋…＋lga2n.第38页解析由a2＝4，a4＝16，得a1＝2，q＝2，所以an＝2n.所以lgan＋1＋lgan＋2＋…＋lga2n＝lg(an＋1·an＋2·…·a2n)＝lg2(n＋1)＋(n＋2)＋…＋2n＝lg23n2＋n2＝3n2＋n2lg2.第39页