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第1页2．2等差数列的前n项和(第二课时)第2页要点Sn的性质1．等差数列的前n项和Sn是形如Sn＝pn2＋qn的函数的形式，故Snn也是等差数列．2．等差数列的依次每k项之和Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…组成公差为k2d的等差数列．第3页3．若等差数列的项数为2n(n∈N*)，S偶＝a2＋a4＋…＋a2n，S奇＝a1＋a3＋…＋a2n－1，则S偶－S奇＝nd，S奇S偶＝anan＋1.证明如下：S偶－S奇＝(a2－a1)＋(a4－a3)＋…＋(a2n－a2n－1)＝d＋d＋…＋d＝nd；S奇S偶＝n2（a1+a2n－1）n2（a2+a2n）＝a1+a2n－1a2+a2n＝2an2an＋1＝anan＋1.第4页4．若等差数列的项数为2n－1(n∈N*)，则S2n－1＝(2n－1)an；记S奇＝a1＋a3＋…＋a2n－1，S偶＝a2＋a4＋…＋a2n－2，则S奇－S偶＝an，S奇S偶＝nn-1.第5页求数列{|an|}的前n项和的步骤．答：(1)求出数列的通项公式．(2)判断出an的符号．(3)找出数列{an}中项的正负分界点．(4)利用拆项法求和．第6页授人以渔第7页题型一Sn的性质例1(1)若{an}是等差数列，且a3＋a5＋a12＋a19＋a21＝15，求S23.(2)若等差数列的前4项和为21，末4项和为67，前n项和为286，求项数n.(3)项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，求此数列的项数与中间项．第8页【思路分析】熟练运用等差数列的有关性质是解这类题的关键．【解析】(1)∵a3＋a21＝a5＋a19＝2a12，∴5a12＝15，a12＝3.∴S23＝23a12＝69.(2)依题意有a1＋a2＋a3＋a4＋an－3＋an－2＋an－1＋an＝21＋67，∴a1＋an＝14(21＋67)＝22.又Sn＝n（a1＋an）2＝286⇒n＝26.第9页(3)设项数为n，中间项为a，由于S奇＋S偶＝Sn，S奇－S偶＝a，Sn＝na，--------→由题意Sn＝77，a＝11，n＝7.第10页探究1(1)利用等差数列的性质，整体处理等差数列的有关问题，可使解法简捷，运算简便，从而极大地提高解题效率．(2)S2n－1＝(2n－1)an.第11页●思考题1等差数列{an}的公差d＝12，且S100＝145，求a1＋a3＋a5＋…＋a99.第12页【解析】∵S100＝(a1＋a3＋…＋a99)＋(a2＋a4＋…＋a100)＝2(a1＋a3＋…＋a99)＋50d＝145，又d＝12，∴a1＋a3＋…＋a99＝60.第13页例2等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项的和为()A．130B．170C．210D．260第14页【解析】方法一：∵对任何正的自然数m，题中都有且只有一个结论是正确的，∴不妨取m＝1，即S1＝30，S2＝100，求S3.于是a1＝30，a2＝S2－S1＝70.则S3＝a1＋a2＋a3＝3a2＝3×70＝210.第15页方法二：令b1＝a1＋a2＋…＋am，b2＝am＋1＋am＋2＋…＋a2m，b3＝a2m＋1＋a2m＋2＋…＋a3m，…，则{bn}也为等差数列．∵b1＝Sm＝30，b1＋b2＝S2m＝100，∴b2＝S2m－Sm＝70.故S3m＝b1＋b2＋b3＝3b2＝3×70＝210.【答案】C第16页探究2在等差数列{an}中，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…成等差数列，此性质可用以解题．在解选择题时特殊值法是常用而且有效的方法．第17页●思考题2(1)一个等差数列，前n项的和为25，前2n项的和为100，求前3n项的和．(2)等差数列{an}的前n项和为Sn，若S30＝50，S50＝30，求S80.【答案】(1)225(2)－80第18页题型二最值问题例3等差数列{an}中，a1＜0，S9＝S12，该数列前多少项的和最小？第19页【解析】方法一：∵S9＝S12，∴a10＋a11＋a12＝0.∴a11＝0，∴a1＋10d＝0.∵a10，∴前10项或11项和最小．方法二：∵S9＝S12，∴a10＋a11＋a12＝0.∴3a11＝0.∴a11＝0.∵a1＜0，∴前10项或前11项和最小．第20页方法三：∵S9＝S12，∴Sn的图像所在的抛物线的对称轴为x＝9＋122＝10.5.又a1＜0，∴{an}的前10项或前11项的和最小．方法四：由S9＝S12，得9a1＋9×82d＝12a1＋12×112d.化简得a1＝－10d.第21页∵a1＜0，∴d＞0.此时Sn＝na1＋12n(n－1)d＝d2n2＋(a1－d2)n＝d2n2－21d2n.∵n∈N*且－－21d22×d2＝212，∴当n＝10或n＝11时Sn最小，即{an}的前10项或前11项的和最小．第22页探究3在上述四种解法中，方法一、二是利用数列的特殊性来解决问题，方法三、四是利用函数的共性来解决问题，方法四是基本方法，是通性通法．第23页●思考题3在等差数列{an}中，已知a1＝20，前n项和为Sn，且S10＝S15，求当n取什么值时，Sn有最大值，并求出它的最大值．【答案】当n＝12或13时，Sn有最大值130第24页题型三等差数列的综合应用例4已知等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，若SnTn＝2n3n＋1，则a8b8＝________．第25页【解析】a8b8＝2a82b8＝a1＋a15b1＋b15＝15（a1＋a15）215（b1＋b15）2＝S15T15＝2×153×15＋1＝3046＝1523.【答案】1523第26页●思考题4已知{an}，{bn}都是等差数列，它们的前n项和分别为Sn，Tn，且对任意的n∈N*有SnTn＝2n＋67n＋11.则a11b11＝________．【答案】2479第27页课后巩固第28页1．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若S7＝35，则a4＝()A．8B．7C．6D．5答案D第29页2．(2015·银川模拟)已知数列{an}中，a32＋a82＋2a3a8＝9，且an0，则S10等于()A．－1B．－11C．－13D．－15答案D第30页3．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a5a3＝59，则S9S5等于()A．1B．－1C．2D.12答案A第31页4．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9＝________．答案45第32页5．若数列a1，a2，…，a10为等差数列，S10＝140，a1＋a3＋a5＋a7＋a9＝125，求a6.第33页解析方法一：∴a6＝113－22×5＝3.方法二：设S偶＝a2＋a4＋…＋a10，S奇＝a1＋a3＋…＋a9，则S偶＝140－125＝15＝5a6(因为a2＋a10＝a4＋a8＝2a6)，∴a6＝3.第34页