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第1页2．2等差数列的前n项和(第一课时)第2页要点1等差数列的前n项和及公式等差数列的前n项和：(1)定义：对于数列{an}，一般地，称a1＋a2＋a3＋…＋an为数列{an}的前n项和．(2)表示：常用符号Sn表示，即Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an.第3页要点2等差数列{an}的前n项和公式(1)两种不同形式．①当已知首项a1和末项an时，用Sn＝n（a1＋an）2；②当已知首项a1和公差d时，用Sn＝na1＋n（n－1）2d．第4页(2)公式的结构．①Sn＝n（a1＋an）2形似于梯形面积公式．②Sn＝na1＋n（n－1）2d＝d2n2＋(a1－d2)n形似n的二次式，且常数项为0，n2的系数为d2即公差的一半．{an}为等差数列⇔Sn＝An2＋Bn.第5页(3)图像特征．Sn＝na1＋n（n－1）2d＝d2n2＋(a1－d2)n，①当d＝0，a1≠0时，Sn是n的一次函数．②当d≠0时，Sn是n的二次函数．当d＞0时，Sn有最小值；当d＜0时，Sn有最大值．第6页(4)在a1，an，d，n，Sn五个量中，已知其中三个量，可以求得其余两个量．第7页1．如果已知数列{an}的前n项和Sn的公式，那么这个数列确定了吗？如果确定了，那么如何求它的通项公式？应注意一些什么问题？第8页答：确定了，理由如下：数列{an}的前n项和为Sn，项an与和Sn之间的关系：当n＝1时，S1＝a1；当n≥2时，Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an，①Sn－1＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1，②第9页①－②得：Sn－Sn－1＝an.综上可知：an＝S1，（n＝1），Sn－Sn－1，（n≥2）.此公式建立了项an与前n项和Sn的等量关系式，是用Sn的递推公式给出的．使用此公式求解时，要注意此公式是一个分段的形式，在n≥2中，Sn－Sn－1＝an，是一个递推公式，由它推得的an不含第一项a1，所以在求通项公式时，所得的通项公式能否包含a1，必须对其检验．第10页2．如果一个数列的前n项和的公式是Sn＝an2＋bn＋c(a，b，c为常数)，那么这个数列一定是等差数列吗？第11页答：不一定是，理由如下：因为等差数列的前n项和公式Sn＝na1＋n（n－1）2d＝d2n2＋(a1－d2)n，令d2＝a，a1－d2＝b，则Sn＝an2＋bn，因此一个数列的前n项和是一个没有常数项的二次函数，则此数列为等差数列．所以若某数列的前n项和的公式是Sn＝an2＋bn＋c(a，b，c为常数)，则当且仅当c＝0时，这个数列是等差数列．第12页授人以渔第13页题型一an与Sn的关系例1已知数列{an}的前n项和Sn的公式，求数列{an}的通项公式．(1)Sn＝2n＋1；(2)Sn＝n2＋n.第14页【解析】(1)当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n＋1)－(2n－1＋1)＝2n－2n－1＝2n－1；当n＝1时，a1＝S1＝21＋1＝3.∴an＝3（n＝1），2n－1（n≥2）.第15页(2)当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(n2＋n)－[(n－1)2＋(n－1)]＝2n.当n＝1时，a1＝S1＝12＋1＝2＝2×1，即a1能合并到an＝2n中去．∴an＝2n(n≥1)．第16页探究1(1)an＝S1（n＝1），Sn－Sn－1（n≥2）.这是一个非常重要的公式，望牢记！(2)由Sn求an时，要分n＝1和n≥2两种情况分别计算，然后验证两种情形可否有统一表达式表示，若不能统一，则用分段函数的形式表示．第17页●思考题1已知an前n项和为Sn，且Sn＝n2＋2n＋1.(1)求通项公式an；(2)证明：{an}不是等差数列．第18页【解析】(1)当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(n＋1)2－[(n＋1)－1]2＝2n＋1，又a1＝12＋2×1＋1＝4，不适合上式．∴an＝4（n＝1），2n＋1（n≥2）.(2)由(1)可知a1＝4，a2＝5，a3＝7，∵a2－a1＝5－4＝1，a3－a2＝7－5＝2，1≠2，∴数列{an}不是等差数列．第19页题型二等差数列的前n项和公式应用例2已知数列{an}是等差数列，(1)若a1＝1，an＝－512，Sn＝－1022，求公差d；(2)若a2＋a5＝19，S5＝40，求a10.第20页【解析】(1)∵an＝a1＋(n－1)d，Sn＝na1＋n（n－1）2d，又a1＝1，an＝－512，Sn＝－1022，∴1＋（n－1）d＝－512，n＋12n（n－1）d＝－1022.解得n＝4，d＝－171.第21页(2)方法一：由已知可得a1＋d＋a1＋4d＝19，5a1＋5×42d＝40.解得a1＝2，d＝3.所以a10＝a1＋9d＝29.方法二：由S5＝5a3＝40，得a3＝8.所以a2＋a5＝a3－d＋a3＋2d＝2a3＋d＝16＋d＝19，得d＝3.所以a10＝a3＋7d＝8＋3×7＝29.第22页探究2a1，n，d称为等差数列的三个基本量，an和Sn都可以用这三个基本量来表示，五个量a1，n，d，an，Sn中可知三求二，一般是通过通项公式和前n项和公式联立方程(组)求解，这种方法是解决数列问题的基本方法，在具体求解过程中应注意已知与未知的联系及整体思想的运用．第23页●思考题2在等差数列{an}中，前n项和为Sn.(1)已知S8＝48，S12＝168，求a1和d；(2)已知a3＋a15＝40，求S17.第24页【解析】(1)由等差数列的前n项和公式，得8a1＋28d＝48，12a1＋66d＝168.解这个方程组，得a1＝－8，d＝4.(2)∵a1＋a17＝a3＋a15＝40，∴S17＝a1＋a172·17＝20×17＝340.第25页题型三含绝对值的等差数列的前n项和例3已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2－23n，bn＝|an|，求数列{bn}的前n项和Tn.第26页【解析】当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－23n－2(n－1)2＋23(n－1)＝4n－25，令n＝1，a1＝S1＝－21，∴an＝4n－25，∴an－an－1＝4.∴{an}为等差数列．第27页令an＝4n－250，an＋1＝4（n＋1）－25≥0，解得514≤n614.∴n＝6.即数列{|an|}的前6项是以21为首项，公差为－4的等差数列，从第7项起以后各项构成公差为4的等差数列．第28页当n≤6时，Tn＝－Sn＝－2n2＋23n，当n≥7时，Tn＝－S6＋a7＋a8＋…＋an＝－2S6＋(a1＋a2＋…＋an)＝－2S6＋Sn＝2n2－23n＋132.综上所述，Tn＝－2n2＋23n（n≤6），2n2－23n＋132（n≥7）.第29页探究3本题求{|an|}的前n项和为非常规数列的求和问题，数列{an}的前6项为负数，故必须分n≤6与n≥7两种情况写出{|an|}的分段函数型求和公式．第30页●思考题3已知等差数列{an}中，S2＝16，S4＝24，求数列{|an|}的前n项和An.第31页【解析】由已知列方程组2a1＋2×12d＝16，4a1＋4×32d＝24，解得a1＝9，d＝－2，∴an＝11－2n.当n≤5时，an0，∴An＝Sn＝－n2＋10n.第32页当n≥6时，an0，∴An＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5－a6－a7－…－an＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5－(a6＋a7＋…＋an)＝2S5－(a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＋…＋an)＝2S5－Sn＝2×(－52＋50)－(－n2＋10n)＝n2－10n＋50.∴数列{|an|}的前n项和An＝－n2＋10n（n≤5），n2－10n＋50（n≥6）.第33页课后巩固第34页1．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋1，则a1＝()A．0B．1C．2D．3答案C第35页2．若一个等差数列的首项为0，公差为2，则这个等差数列的前20项之和为()A．360B．370C．380D．390答案C第36页3．在等差数列{an}中，a2＝1，a4＝5，则{an}的前5项和S5＝()A．7B．15C．20D．25答案B第37页4．设Sn是等差数列{an}的前n项和．已知a2＝3，a6＝11，则S7等于()A．13B．35C．49D．63答案C解析S7＝7（a1＋a7）2＝7（a2＋a6）2＝7×142＝49，故选C.第38页5．设数列{an}，{bn}都是等差数列，若a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，则a5＋b5＝________．第39页答案35解析设两等差数列组成的和数列为{cn}，由题意知新数列仍为等差数列且c1＝7，c3＝21，则c5＝2c3－c1＝2×21－7＝35，即a5＋b5＝35.第40页6．已知等差数列{an}中，a1＝1，a3＝－3.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{an}的前k项和Sk＝－35，求k的值．第41页解析(1)设等差数列{an}的公差为d，则an＝a1＋(n－1)d.由a1＝1，a3＝－3可得1＋2d＝－3.解得d＝－2.从而，an＝1＋(n－1)×(－2)＝3－2n.(2)由(1)可知an＝3－2n.所以Sn＝n[1＋（3－2n）]2＝2n－n2.进而由Sk＝－35，可得2k－k2＝－35.又k∈N*，故k＝7为所求．第42页