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第1页2．1等差数列(第二课时)等差数列的性质及综合问题第2页要点1等差数列的性质若{an}为等差数列，公差为d，则：(1)an＝am＋(n－m)d.(2)an，an－1，an－2，…，a2，a1仍为等差数列，其公差为－d.(3)从第二项起，每一项是它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项．第3页(4)a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝…(5)序号成等差数列的项仍为等差数列．(6)若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq；反之，当d≠0时，若am＋an＝ap＋aq，则m＋n＝p＋q.(7)若{an}，{bn}为等差数列，则{k·an}，{aan＋bbn}也成等差数列．第4页1．等差数列的公差与直线斜率的关系．答：(1)一次函数f(x)＝kx＋b(k≠0)的图像是一条直线，斜率k＝f（x2）－f（x1）x2－x1(x1≠x2)．当k＝0时，对于常数函数f(x)＝b，上式仍然成立．(2)等差数列{an}的公差本质上是相应直线的斜率，如am，an是等差数列{an}的任意两项，由an＝am＋(n－m)d，类比直线方程的斜率公式得d＝an－amn－m.第5页2．等差数列的“子数列”的性质．第6页答：若数列{an}是公差为d的等差数列，则(1)数列{an}去掉前几项后余下的项仍组成公差为d的等差数列．(2)奇数项数列{a2n－1}是公差为2d的等差数列；偶数项数列{a2n}是公差为2d的等差数列．第7页(3)若数列{kn}是等差数列，则数列{akn}也是等差数列．(4)从等差数列{an}中等距离的抽取项，所得的数列仍为等差数列，当然公差要随之发生变化．第8页授人以渔第9页题型一等差数列的性质例1已知a5＝11，a8＝5，求等差数列{an}的通项公式．【思路分析】可用an＝am＋(n－m)d解答．第10页【解析】∵a8－a5＝(8－5)d＝5－11，∴d＝－2.∴an＝a5＋(n－5)d＝11＋(n－5)·(－2)＝21－2n.第11页探究1本题构思巧妙，灵活运用an＝am＋(n－m)d和它的变形an－amn－m＝d.第12页●思考题1已知等差数列{an}的公差是正数，且a3·a7＝－12，a4＋a6＝－4，求它的通项公式．【答案】an＝2n－12第13页例2已知{an}是等差数列，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，求a2＋a8.第14页【思路分析】依性质(6)若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq解答．【解析】∵a3＋a7＝a4＋a6＝2a5＝a2＋a8，∴a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝450⇒a5＝90.∴a2＋a8＝2a5＝180.第15页●思考题2在等差数列{an}中，a1－a4－a8－a12＋a15＝2，则a3＋a13＝__________．【答案】－4第16页例3在等差数列{an}中，a9＝p，a18＝q，求a36.【思路分析】由a9＝p，a18＝q，直接列方程组；解出两个基本量a1和d，这是常规解法，但比较麻烦．观察a9，a18，a36的下标，可以联想到a9，a18，a27，a36成等差数列，利用等差数列的性质，必能提高解题速度．第17页【解析】方法一：d＝a18－a918－9＝q－p9，∴a36＝a18＋(36－18)d＝q＋18·q－p9＝3q－2p.第18页方法二：∵a9，a27，a36成等差数列，∴2a18＝a9＋a27，2a27＝a18＋a36.∴a36＝2a27－a18＝2(2a18－a9)－a18＝3a18－2a9＝3q－2p.第19页探究2在等差数列中，若下标成等差，则项成等差．第20页●思考题3已知{an}是等差数列，a3＝8，a5＝14，则a11等于()A．32B．30C．29D．16【答案】A第21页例4已知两个等差数列5，8，11，…和3，7，11，…都有100项，问它们有多少共同项？第22页【思路分析】可以求出两个数列的通项公式，令两个通项公式相等，再判断相同项的个数．第23页【解析】由题意得，两个数列的通项公式分别为an＝3n＋2，bn＝4n－1，方法一：令an＝bm，则3n＋2＝4m－1，∴n＝4m3－1.∵n∈N*，且n≤100，∴m＝3，6，9，…，75共25个数，即两数列有25个相同项．第24页方法二：第一个数列的公差为3，第二个数列的公差为4，则这两个数列的共同项组成的新数列{cn}的公差为3×4＝12.又∵c1＝11，∴cn＝11＋(n－1)·12＝12n－1.又∵a100＝302，b100＝399，∴cn＝12n－1≤302，即n≤25.25.又∵n∈N*，∴所给两数列共有25个共同项．第25页探究3在方法一中为什么an＝bm，而不是an＝bn？这是因为an＝bn的意思是数列{an}和数列{bn}中的序号及数值都分别相等的项，这就歪曲了题意，题目只能要求数值相等即可，在方法二中，要注意cn是{an}与{bn}的共同项，因此，cn≤b100，而a100≤302＜b100，因此，只要，cn≤302.第26页●思考题4已知两个等差数列4，7，10，…和3，7，11，…都有200项．求它们有多少共同项．【答案】50项第27页题型二等差数列中对称法设未知项例5成等差数列的四个数之和为26，第二个数和第三个数之积为40，求这四个数．第28页【解析】设四个数分别为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，则（a－3d）＋（a－d）＋（a＋d）＋（a＋3d）＝26，①（a－d）（a＋d）＝40.②由①，得a＝132.代入②，得d＝±32.∴四个数为2，5，8，11或11，8，5，2.第29页●思考题5已知三个数成等差数列，它们的和为9，它们的平方和为35，试求这三个数．第30页【解析】设这三个数分别为a－d，a，a＋d，根据题意，得（a－d）＋a＋（a＋d）＝9，（a－d）2＋a2＋（a＋d）2＝35，解得a＝3，d＝±2.∴这三个数为1，3，5或5，3，1.第31页题型三等差数列性质的应用例6在△ABC中，若lg(sinA)，lg(sinB)，lg(sinC)成等差数列，并且三个内角A，B，C也成等差数列，试判断该三角形的形状．第32页【解析】由A，B，C成等差数列，得2B＝A＋C.又A＋B＋C＝π，∴3B＝π，∴B＝π3.∵lg(sinA)，lg(sinB)，lg(sinC)成等差数列，∴2lg(sinB)＝lg(sinA)＋lg(sinC)，即sin2B＝sinAsinC.∴sinAsinC＝34.第33页又∵cos(A＋C)＝cosAcosC－sinAsinC，cos(A－C)＝cosAcosC＋sinAsinC，∴sinAsinC＝－12[cos(A＋C)－cos(A－C)]．∴－12[cos2π3－cos(A－C)]＝34.∴14＋12cos(A－C)＝34.∴cos(A－C)＝1.第34页∵A－C∈(－π，π)，∴A－C＝0，即A＝C＝π3，∴A＝B＝C.故△ABC为等边三角形．第35页●思考题6若关于x的方程x2－x＋a＝0和x2－x＋b＝0(a≠b)的4个根可组成首项为14的等差数列，则a＋b的值为()A.38B.1124C.1324D.3172第36页【解析】判断各个根对应数列的项数．因为每个方程的两个根的和都为1，故必有一个方程的根为14和34，不妨设方程x2－x＋a＝0的根为14和34.14为等差数列的首项，34为等差数列4项中的某一项，由x2－x＋b＝0的两根和为1，且两根为等差数列中的后3项中的两项，知只有34为第4项，才能满足中间两项之和为第37页1的条件，所以四根的排列顺序为14，512，712，34，∴a＋b＝14×34＋512×712＝3172.【答案】D第38页课后巩固第39页1．等差数列{an}中，下列关系成立的是()A．a1＋a8＝a3＋a5B．a2＋a7＝2a5C．a1＋a9＝2a5D．a2－a1＝a8－a9答案C第40页2．已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，则a20等于()A．－1B．1C．3D．7第41页答案B解析两式相减，可得3d＝－6，d＝－2.由已知可得3a3＝105，a3＝35，所以a20＝a3＋17d＝35＋(－34)＝1.第42页3．(2015·威海模拟)等差数列{an}中，a1＋a2＋a3＝－24，a18＋a19＋a20＝78，则a3＋a18等于()A．16B．18C．20D．22答案B第43页4．等差数列{an}中，a2＝－5，a6＝a4＋6，则a1＝____________．答案－8第44页5．在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，求a5与a2＋a8的值．答案a5＝90，a2＋a8＝180第45页