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第1页§2等差数列2．1等差数列(第一课时)等差数列的概念、通项公式第2页要点1等差数列如果一个数列从第二项起，每一项与它前面一项的差都等于同一常数，那么此数列叫做等差数列．第3页要点2等差数列的通项公式(1)等差数列的通项公式：an＝a1＋(n－1)d．变形：d＝an-a1n-1.(2){an}是等差数列⇔an＝kn＋b(k可以是零)其中k就是等差数列的公差．第4页(3)对于an＝a1＋(n－1)d，由于an＋1－an＝d，①d0时，an＋1＞an，数列{an}是递增数列；②d＝0时，an＋1＝an，数列{an}是常数列；③d0时，an＋1＜an，数列{an}是递减数列．(4)通项公式an＝a1＋(n－1)d的推广：an＝am＋(n－m)d(m，n∈N*)．变形d＝an－amn－m.第5页要点3等差中项的概念(1)A为a，b的等差中项⇔A＝a＋b2．(2)推论：{an}是等差数列⇔an＋1＝an＋an＋22(n∈N*)．第6页1．对等差数列概念的理解．答：(1)定义中“从第二项起”这一前提条件有两层含义：其一，第一项前面没有项，无法与后续条件中的“与前一项的差”相吻合；其二，定义包括首项这一基本量，且必须从第二项起保证数列中各项均与其前面一项作差．第7页(2)定义中“每一项与它的前一项的差”这一运算要求，它的含义也有两层：其一，作差的顺序，即后面的项减前面的项；其二，强调这两项必须相邻．(3)定义中要求“同一个常数”，否则这个数列不是等差数列．第8页2．对等差数列的通项公式的理解．答：(1)确定a1和d是确定通项的一般方法．(2)由方程思想，根据an，a1，n，d中任何三个量可求解另一个量，即知三求一．(3)通项公式可变形为an＝dn＋(a1－d)，可把an看作自变量为n的一次函数．第9页3．对等差中项的几点说明．答：(1)在等差数列中除首末两项外，任何一项都是前后两项的等差中项．(2)若an－an－1＝an＋1－an(n≥2)，则该数列{an}为等差数列，反之亦然．所以2an＝an－1＋an＋1(n≥2)⇔数列{an}为等差数列，这是判断一个数列是否为等差数列的一种方法．第10页授人以渔第11页题型一等差数列的概念例1我们先看下面几组数列：(1)3，4，5，6，7，…；(2)6，3，0，－3，－6，…；(3)1.1，2.2，3.3，4.4，5.5，…；(4)－1，－1，－1，－1，－1，….观察上述数列，我们发现这几组数列的共同特点是________________________________________________________________________________________________________.第12页【答案】从第二项起，每一项与前一项的差都等于同一常数第13页探究1(1)等差数列的定义给出了等差数列的递推关系an＋1＝an＋d(n∈N*)．(2)定义给出判断一个数列{an}是否为等差数列的基本方法．第14页●思考题1判断下列各数列是否为等差数列．(1)1，2，4，6，8；(2)7，7，7，7，7；(3)a－d，a，a＋d；(4)m，m＋n，m＋2n，2m＋n.第15页【思路分析】关键看所给的各项是否符合等差数列的定义．第16页【解析】(1)∵2－1＝1，4－2＝6－4＝8－6＝2，1≠2，∴该数列不是等差数列．(2)∵7－7＝7－7＝7－7＝7－7＝0，∴该数列是等差数列．(3)∵a－(a－d)＝a＋d－a＝d，∴该数列是等差数列．第17页(4)∵(m＋n)－m＝(m＋2n)－(m＋n)＝n，2m＋n－(m＋2n)＝m－n，∴当m＝2n时，是等差数列；当m≠2n时，不是等差数列．第18页【讲评】本题是利用定义：an＋1－an＝d(n∈N*)，d为常数，判断数列是否是等差数列．对等差数列的判定方法还有等差数中项法或通项公式法．第19页题型二等差数列的定义例2已知数列的通项公式为an＝6n－1，问这个数列是等差数列吗？若是等差数列，其首项与公差分别是多少？第20页【解析】∵an＋1－an＝[6(n＋1)－1]－(6n－1)＝6(常数)，∴{an}是等差数列，其首项a1＝6×1－1＝5，公差为6.第21页探究2判断一个数列{an}是否为等差数列，只要依据定义验证an＋1－an＝d(d为常数)是否成立．第22页●思考题2若1b＋c，1a＋c，1a＋b成等差数列，求证：a2，b2，c2成等差数列．第23页【证明】由已知得1b＋c＋1a＋b＝2a＋c，即2b＋c＋a（b＋c）（a＋b）＝2c＋a.即(2b＋a＋c)(c＋a)＝2(b＋c)(a＋b)．∴a2＋c2＝2b2，∴a2，b2，c2成等差数列．第24页题型三等差数列的通项公式及应用例3(1)(2015·邵阳高二检测)已知数列3，9，15，…，3(2n－1)，…，那么81是它的第________项()A．12B．13C．14D．15第25页【解析】an＝3(2n－1)＝6n－3，由6n－3＝81，得n＝14.【答案】C第26页(2)(2015·临沂高二检测)在等差数列{an}中，首项a1＝3，公差d＝5，若an＝2013，则序号n等于()A．400B．401C．402D．403第27页【解析】由a1＝3，d＝5可得通项公式an＝a1＋(n－1)d＝3＋5(n－1)＝5n－2，由5n－2＝2013，得n＝403，故选D.【答案】D第28页(3)已知等差数列{an}中，a15＝33，a61＝217，试判断153是不是这个数列中的项，如果是，是第几项？第29页【解析】设首项为a1，公差为d，则an＝a1＋(n－1)d.由已知得a1＋（15－1）d＝33，a1＋（61－1）d＝217，解得a1＝－23，d＝4.所以an＝－23＋(n－1)×4＝4n－27，令an＝153，即4n－27＝153，得n＝45∈N*.所以153是所给数列中的第45项．第30页探究3处理等差数列基本问题的方法：在等差数列{an}中，首项a1与公差d是两个最基本的元素，有关等差数列的问题，若条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关a1，d的关系列方程组求解，但是要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量．第31页●思考题3在等差数列{an}中，(1)已知a1＝2，d＝3，n＝10，则an＝________；(2)已知a1＝3，d＝2，an＝21，则n＝________；(3)已知a1＝12，a6＝27，则d＝________；(4)已知d＝－13，a7＝8，则a1＝________．第32页【答案】(1)29(2)10(3)3(4)10第33页题型四等差中项例4若lg2，lg(2x－1)，lg(2x＋3)成等差数列，则x的值等于()A．1B．0或32C．32D．log25第34页【解析】∵lg2，lg(2x－1)，lg(2x＋3)成等差数列，∴lg2＋lg(2x＋3)＝2lg(2x－1)，2(2x＋3)＝(2x－1)2.∴(2x)2－4·2x－5＝0.∴2x＝5，∴x＝log25.【答案】D第35页探究4由定义可知在等差数列{an}中，从第二项起，每一项都是前一项与后一项的等差中项，即当m∈N*，且m≤n时，am＋1＝am＋am＋22.第36页●思考题4(1)2与－4的等差中项为________．(2)15＋3与15－3的等差中项为________．(3)在等差数列{an}中，a1＋a9＝10，则a5的值为()A．5B．6C．8D．10第37页【解析】(3)因为a1＋a9＝2a5，所以a5＝5.【答案】(1)－1(2)52(3)A第38页课后巩固第39页1．已知等差数列{an}的通项公式为an＝5－4n，则公差为()A．4B．5C．－4D．－5答案C第40页2．等差数列1，－1，－3，－5，…，－89，它的项数是()A．26B．47C．46D．45答案C第41页3．已知等差数列{an}中，首项a1＝4，公差d＝－2，则通项公式an等于()A．4－2nB．2n－4C．6－2nD．2n－6答案C第42页4．已知a＝13＋2，b＝13－2，则a，b的等差中项为()A.3B.2C.33D.22答案A第43页5．在数列{an}中，若a1＝2，an＋1＝an＋1(n≥1)，则该数列的通项公式an＝________．答案n＋1第44页6．在等差数列{an}中，已知a5＝10，a12＝31，求首项a1和公差d.解析由题意可知a1＋4d＝10，①a1＋11d＝31，②由②－①，得7d＝21，解得d＝3.再将d＝3代入①，得a1＝－2，即这个数列的首项是－2，公差是3.第45页