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第1页1．2数列的函数特性第2页要点1数列与函数的关系序号1234…n…项a1a2a3a4…an…第3页要点2数列的分类类别含义递增数列从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列递减数列从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列常数列各项相等的数列摆动数列从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列第4页1．数列是一种特殊的函数，你认为下列说法是否正确？①数列可以用图像来表示；②数列不能用列表法表示；③数列若用图像表示，从图像上看是一群孤立的点；④数列的通项公式就是相应函数的解析式．第5页答：①③④正确．数列可以用列表法表示，故②错误．第6页2．数列与函数的关系．答：(1)数列作为特殊的函数，它具有函数的通性，定义域、值域、对应关系．(2)数列是特殊的函数，其定义域是N*或者它的有限子集{1，2，3，…，n}，故数列对应的图像是一列孤立的点．(3)数列的单调性和函数的单调性一致，可以用函数的单调性来研究数列的单调性．第7页授人以渔第8页题型一数列的分类例1下列数列哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？哪些是递增、递减数列？哪些是摆动数列？哪些是常数列？(1)1，12，13，…，1n，…；(2)1，2，22，…，263，…；(3)1，－0.1，0.12，…，(－0.1)n－1，…；(4)0，10，20，…，1000；(5)－1，1，－1，1，…；(6)6，6，6，….第9页【解析】(1)是无穷递减数列(1n1n＋1)．(2)是无穷递增数列(项随着序号的增加而增大)．(3)是无穷数列，由于奇数项为正，偶数项为负，故为摆动数列．(4)是有穷递增数列．(5)是无穷数列，也是摆动数列．(6)是无穷数列，且是常数列．第10页探究1数列的主要特征是有序性，观察数列的前n项的变化规律，考查数列的项随序号的变化趋势、符号特征，是刻画数列性质的重要方面．第11页●思考题1下列数列哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？哪些是递增、递减数列？哪些是摆动数列？哪些是常数列？(1)1，0.84，0.842，0.843，…；(2)2，4，6，8，10，…；(3)7，7，7，7，…；(4)13，19，127，181，…；(5)0，0，0，0，0，0；(6)0，－1，2，－3，4，－5，….第12页【解析】(5)是有穷数列；(1)(2)(3)(4)(6)是无穷数列；(2)是递增数列；(1)(4)是递减数列；(6)是摆动数列；(3)(5)是常数列．第13页题型二数列的单调性例2已知数列{an}的通项公式为an＝n2n2＋1.求证此数列为递增数列．第14页【证明】∵an＋1－an＝（n＋1）2（n＋1）2＋1－n2n2＋1＝（n＋1）2（n2＋1）－n2[（n＋1）2＋1][（n＋1）2＋1]（n2＋1）＝2n＋1[（n＋1）2＋1]（n2＋1），由n∈N*，得an＋1－an0，即an＋1an.∴数列{an}是递增数列．第15页探究2函数的性质在数列中的应用：(1)数列是特殊的函数，数列的项数和项类似于函数的定义域和值域中的元素，通项公式类似于函数解析式．(2)可以利用研究函数的方法研究数列的相关性质，如单调性，但要注意数列中定义域为从1开始的无穷正整数集或其一部分组成的集合．第16页●思考题2已知数列{an}的通项公式an＝2n－53，则此数列为()A．递增数列B．递减数列C．摆动数列D．常数列【答案】A第17页题型三求数列的最大项例3已知an＝9n（n＋1）10n(n∈N*)，试问数列{an}中有没有最大项？如果有，求出这个最大项；如果没有，说明理由．第18页【解析】有．因为an＋1－an＝(910)n＋1·(n＋2)－(910)n·(n＋1)＝(910)n＋1·[(n＋2)－109(n＋1)]＝(910)n＋1·8－n9＝（910）n＋1·8－n90，（n≤7时）（910）n＋1·8－n9＝0，（n＝8时）（910）n＋1·8－n90，（n≥9时）第19页所以a1a2a3…a7a8＝a9a10a11…，故数列{an}存在最大项，最大项为a8＝a9＝99108.第20页探究3已知数列通项公式求最大(小)项的基本思路：已知数列的通项公式求数列的最大(小)项，其实质是求函数的最大(小)值，但要注意函数的定义域，本题可以利用差值比较法来探讨数列的单调性，以此求解最大项．第21页●思考题3在数列{an}中，an＝(n＋1)(1011)n(n∈N*)．(1)求证：数列{an}先递增，后递减；(2)求数列{an}的最大项．第22页【思路分析】因为an＝(n＋1)(1011)n是积幂式子的形式且an0，所以可用比商法比较an与an－1的大小．第23页【解析】(1)令anan－1≥1(n≥2)，即（n＋1）（1011）nn·（1011）n－1≥1.整理得n＋1n≥1110.解得n≤10.令anan＋1≥1，即（n＋1）（1011）n（n＋2）（1011）n＋1≥1.第24页整理得n＋1n＋2≥1011.解得n≥9.又a9＝a10，∴从第1项到第9项递增，从第10项起往后递减．(2)由(1)知a9＝a10＝1010119最大．第25页课后巩固第26页1．数列1，12，14，…，12n，…是()A．递增数列B．递减数列C．常数列D．摆动数列答案B第27页2．已知数列{an}的通项公式是an＝2nn＋1，那么这个数列是()A．递增数列B．递减数列C．摆动数列D．常数列答案A第28页3．下列四个数列中，即是无穷数列又是递增数列的是()A．1，12，13，14，…B．sinπ7，sin2π7，sin3π7，…C．－1，－12，－14，－18，…D．1，2，3，…，21第29页答案C解析D是有穷数列，A是递减数列，B是摆动数列，故选C.第30页4．若数列{an}的通项公式an＝－58＋16n－n2，则()A．{an}是递增数列B．{an}是递减数列C．{an}先增后减，有最大值D．{an}先减后增，有最小值第31页答案C解析an＝－(n－8)2＋6，这是关于n的二次函数，开口向下，当n≤8时，{an}递增，当n8时，{an}递减，当n＝8时，a8最大，故选C.第32页5．下列说法：①已知数列{an}中，an＝1n（n＋2），那么1120是这个数列的第10项，且最大项为第一项；②已知数列{an}中，an＝kn－5，且a8＝11，则a17＝29；③已知an＋1＝an＋3，则数列{an}是递增数列．其中正确的个数为________．第33页答案3解析对于①，令an＝1n（n＋2）＝1120，则n＝10，易知最大项为第一项，①正确；对于②，an＝kn－5且a8＝11，则k＝2，an＝2n－5，故a17＝34－5＝29，②正确；对于③，an＋1＝an＋3得到an＋1－an0，故③正确．第34页6．若数列{an}为递增数列，且an＝n2＋λn(n∈N*)，则实数λ应满足什么条件？解析因为{an}为递增数列，所以an＋1an.即(n＋1)2＋λ(n＋1)n2＋λn.∴λ－2n－1.故λ－3，故实数λ－3.第35页