2019-2020学年高中数学 第1章 三角函数章末总结归纳课件 北师大版必修4

第一章三角函数章末总结归纳1三角函数概念专题有关三角函数的概念主要有以下两个方面：(1)任意角和弧度制，理解任意角的概念，弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算．(2)任意角的三角函数，掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义及三角函数线，能够利用三角函数线判断三角函数的符号，借助三角函数线求三角函数的定义域．已知角θ终边上一点P(x,3)(x≠0)，且cosθ＝1010x，求sinθ，tanθ的值．【解】因为r＝x2＋9，cosθ＝xr，所以1010x＝xr＝xx2＋9.又x≠0，所以x＝±1.又y＝3＞0，所以θ是第一或第二象限角．当θ为第一象限角时，sinθ＝31010，tanθ＝3；当θ为第二象限角时，sinθ＝31010，tanθ＝－3.2诱导公式专题1.诱导公式属于异角三角函数间的基本关系式，高考命题中，主要考查利用公式进行恒等变形的技能以及基本运算能力，特别突出对推理、计算的考查．2．在解决具体问题时常会用到数形结合思想、分类讨论思想、转化思想及函数与方程思想．已知f(α)＝sinα－3π·cos2π－α·sin－α＋32πcos－π－α·sin－π－α.(1)化简f(α)；(2)若α为第四象限角且sinα－32π＝15，求f(α)的值；(3)若α＝－313π，求f(α)．【解】(1)f(α)＝－sinα·cosα·－cosα－cosα·sinα＝－cosα.(2)因为sinα－32π＝sinα＋π2＝cosα＝15，所以f(α)＝－cosα＝－15.(3)f－313π＝－cos－313π＝－cos－6×2π＋53π＝－cos53π＝－cosπ3＝－12.3三角函数的图像及变换专题1.用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)的图像时，确定五个关键点的方法是分别令ωx＋φ＝0，π2，π，32π，2π.2．对于y＝Asin(ωx＋φ)＋h，应明确A、ω决定“形变”，φ、h决定“位变”，A影响值域，ω影响周期，A、ω、φ影响单调性．针对x的变换，即变换多少个单位，向左或向右很容易出错，应注意先“平移”后“伸缩”与先“伸缩”后“平移”的区别．右图是函数y＝Asin(ωx＋φ)＋kA＞0，ω＞0，|φ|＜π2的一段图像．(1)求此函数的解析式；(2)分析一下该函数是如何通过y＝sinx变换得来的？【解】(1)由图像知A＝－12－－322＝12，k＝－12＋－322＝－1，T＝2×2π3－π6＝π，∴ω＝2πT＝2.∴y＝12sin(2x＋φ)－1.当x＝π6时，2×π6＋φ＝π2，∴φ＝π6.∴所求函数的解析式为y＝12sin2x＋π6－1.(2)把y＝sinx的图像向左平移π6个单位，得到y＝sinx＋π6的图像，然后纵坐标保持不变，横坐标缩短为原来的12，得到y＝sin2x＋π6的图像，再横坐标保持不变，纵坐标变为原来的12，得到y＝12sin2x＋π6的图像，最后把函数y＝12sin2x＋π6的图像向下平移1个单位，得到y＝12sin2x＋π6－1的图像.4三角函数的性质专题三角函数的性质在考查时，着重考查三角函数的定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性等有关性质．研究三角函数的性质时，除了熟悉y＝sinx，y＝cosx和y＝tanx的性质，要注意整体代换和方程思想的应用．关于f(x)＝4sin2x＋π3，x∈R，有下列命题：①由f(x1)＝f(x2)＝0可得x1－x2是π的整数倍；②y＝f(x)的表达式可改写成y＝4cos2x－π6；③y＝f(x)的图像关于－π6，0对称；④y＝f(x)的图像关于x＝－π6对称．其中正确命题的序号为________．【解析】对于①，由f(x)＝0，可得2x＋π3＝kπ，k∈Z，∴x＝k2π－π6，∴x1－x2是π2的整数倍，∴①错；对于②，f(x)＝4sin2x＋π3＝4cosπ2－2x＋π3＝4cos2x－π6，∴②对；对于③，f(x)＝4sin2x＋π3的对称中心满足2x＋π3＝kπ，k∈Z，∴x＝k2π－π6，∴－π6，0是函数y＝f(x)的一个对称中心，∴③对；对于④，函数y＝f(x)的对称轴满足2x＋π3＝kπ＋π2，k∈Z，∴x＝π12＋kπ2，∴④错．【答案】②③5三角函数综合应用专题①求解复合函数的有关性质问题时，应同时考虑到内层函数与外层函数的各自特征及它们的相互制约关系，准确地进行等价转化；②在求三角函数的定义域时，不仅要考虑函数式有意义，而且要注意三角函数各自的定义域的要求．一般是归结为解三角函数不等式(组)，可用图像法或单位圆法；③求复合函数的单调区间应按照复合函数单调性的规则进行；④用周期函数的定义求函数的周期是求周期的根本方法，在证明有关函数的周期性问题时，也常用周期函数的定义来处理．设函数f(x)＝sin2ωx＋π3(其中ω＞0)，且f(x)的图像在y轴右侧的第一个最高点的横坐标是π6.(1)求y＝f(x)的最小正周期及对称轴；(2)若x∈－π3，5π6，函数g(x)＝fx＋π22－af(x)＋1的最小值为0.求a的值．【解】(1)∵f(x)的图像在y轴右侧第一个最高点的横坐标为π6，∴2ω×π6＋π3＝π2，∴ω＝12，f(x)＝sinx＋π3，∴最小正周期T＝2π，对称轴为x＝π6＋kπ，k∈Z.(2)g(x)＝sinx＋π3＋π22－asinx＋π3＋1＝cosx＋π32－asinx＋π3＋1＝－sin2x＋π3－asinx＋π3＋2，令t＝sinx＋π3，∵x∈－π3，5π6.∴x＋π3∈0，7π6，∴sinx＋π3∈－12，1，即t∈－12，1.∴y＝－t2－at＋2，t∈－12，1，当－a2≤14，即a≥－12时，ymin＝－1－a＋2＝0，a＝1；当－a214，即a＜－12时，ymin＝－14＋12a＋2＝0，a＝－72.综上所述a＝1或a＝－72.1．若函数f(x)＝sinωx(ω0)在区间0，π3上单调递增，在区间π3，π2上单调递减，则ω＝()A．3B．2C．32D．23解析：f(x)＝sinωx是奇函数，f(0)＝0，由题意得T4＝π3.∴T＝4π3＝2πω，∴ω＝32.答案：C2．下列四个函数中，既在0，π2上是增加的，又是以π为周期的偶函数是()A．y＝sinxB．y＝|sinx|C．y＝cosxD．y＝|cosx|解析：由周期是π，可排除A，C，又在0，π2是增加的，可排除D，故选B．答案：B3．已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)，其中φ为实数．若f(x)≤fπ6对x∈R恒成立，且fπ2f(π)，则f(x)的单调递增区间是()A．kπ－π3，kπ＋π6(k∈Z)B．kπ，kπ＋π2(k∈Z)C．kπ＋π6，kπ＋23π(k∈Z)D．kπ－π2，kπ(k∈Z)解析：由题意知，f(x)在π6取得最大或最小值．∴x＝π6是函数f(x)的对称轴．∴2×π6＋φ＝π2＋kπ，∴π3＋φ＝π2＋kπ.∴φ＝π6＋kπ.又∵fπ2f(π)，∴sin(π＋φ)sin(2π＋φ)，∴－sinφsinφ，∴sinφ0，∴φ＝－5π6.∴f(x)＝sin2x－5π6，由2kπ－π2≤2x－5π6≤π2＋2kπ，∴f(x)单调递增区间为kπ＋π6，kπ＋2π3(k∈Z)．答案：C4．已知a是实数，则函数f(x)＝1＋asinax的图像不可能是()解析：当a＝0时，f(x)＝1，其图像为C；当a1时，周期T＝2πa2π，f(x)max2，其图像可能是B；当0a1时，周期T2π，f(x)max2，其图像可能是A．故选D．答案：D5．设f(x)是定义在R上最小正周期为5π3的函数，且在－2π3，π上，f(x)＝sinx，x∈－2π3，0，cosx，x∈[0，π，则f－16π3的值为________．解析：由题意得f－16π3＝f－3×5π3－π3＝f－π3＝sin－π3＝－32.答案：－32