2019-2020学年高中数学 第1章 三角函数章末复习课件 新人教A版必修4

第一章三角函数章末复习1知识系统整合2规律方法总结1．在任意角和弧度制的学习中，要区分开角的各种定义，如：锐角一定是第一象限角，而第一象限角不全是锐角，概念要搞清；角的角度制和弧度制表示不能混用，如：α＝2kπ＋30°，k∈Z，这种表示法不正确．2．任意角的三角函数，首先要考虑定义域，其次要深刻认识三角函数的符号的含义，sinα＝yr≠sin×α；诱导公式的记忆要结合三角函数的定义去记忆．3．同角三角函数的基本关系式sin2α＋cos2α＝1及sinαcosα＝tanα，必须牢记这两个基本关系式，并能应用它们进行三角函数的求值、化简、证明，在应用中，注意掌握解题的技巧，能灵活运用公式．在应用平方关系求某个角的另一个三角函数值时，要注意根式前面的符号的确定．4．三角函数的诱导公式诱导公式一至六要正确、熟练地掌握其记忆的诀窍，更要灵活地运用．(1)－α角的诱导公式是把负角转化为正角的三角函数；(2)2kπ＋α(k∈Z)角的诱导公式是化大于2π的角成小于2π的角的三角函数；(3)π2±α，π±α，3π2±α，2π－α角的诱导公式是化非锐角为锐角的三角函数；(4)化负为正→化大为小→化为锐角；(5)记忆规律：奇变偶同，象限定号．5．正弦函数、余弦函数的图象与性质(1)五点法作图是画三角函数图象的基本方法，要切实掌握，作图时自变量要用弧度制．(2)奇偶性、单调性、最值、周期是三角函数的重要性质，如f(x＋T)＝f(x)应强调的是自变量x本身加的常数T才是周期，而f(2x＋T)＝f(2x)中，T不是周期．解答三角函数的单调性的题目一定要注意复合函数单调性法则，也要注意定义域．6．函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象主要掌握由y＝sinx⇒y＝Asin(ωx＋φ)的平移、伸缩等变换．注意各种变换对图象的影响，注意各物理量的意义，A，ω，φ与各种变换的关系．7．三角函数模型的简单应用(1)根据图象求解析式；(2)根据解析式作出图象；(3)将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型；(4)利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函数模拟．在建立三角函数模型的时候，要注意从数据的周而复始的特点以及数据变化趋势两个方面来考虑．3热点问题归纳一、三角函数变形的常见方法在本章所涉及的变形中，常用的变形方法有切化弦、弦化切和“1”的代换．1．切化弦当三角函数式中三角函数名称较多时，往往把三角函数化为弦，再化简变形．例1求证：sinθ(1＋tanθ)＋cosθ1＋1tanθ＝1sinθ＋1cosθ.[证明]左边＝sinθ1＋sinθcosθ＋cosθ1＋cosθsinθ＝sinθ＋sin2θcosθ＋cosθ＋cos2θsinθ＝sinθ＋cos2θsinθ＋sin2θcosθ＋cosθ＝sin2θ＋cos2θsinθ＋sin2θ＋cos2θcosθ＝1sinθ＋1cosθ＝右边．例2求证：sinα1－cosα·cosαtanα1＋cosα＝1.[证明]sinα1－cosα·cosαtanα1＋cosα＝sinα1－cosα·cosα·sinαcosα1＋cosα＝sinα1－cosα·sinα1＋cosα＝sin2α1－cos2α＝sin2αsin2α＝1.2．弦化切已知tanα的值，求关于sinα的齐次分式(sinα，cosα的次数相同)的值，可将求值式变为关于tanα的代数式，此方法亦称为“弦化切”．例3已知tanθ＝2，求：(1)cosθ＋sinθcosθ－sinθ；(2)sin2θ－sinθcosθ＋2cos2θ.[解](1)∵tanθ＝2，∴cosθ≠0，∴cosθ＋sinθcosθ－sinθ＝1＋sinθcosθ1－sinθcosθ＝1＋tanθ1－tanθ＝1＋21－2＝－3－22.(2)sin2θ－sinθcosθ＋2cos2θ＝sin2θ－sinθcosθ＋2cos2θsin2θ＋cos2θ＝sin2θcos2θ－sinθcosθ＋2sin2θcos2θ＋1＝2－2＋22＋1＝4－23.例4已知2cos2α＋3cosαsinα－3sin2α＝1，α∈－3π2，－π.求：(1)tanα；(2)2sinα－3cosα4sinα－9cosa.[解](1)2cos2α＋3cosαsinα－3sin2α＝2cos2α＋3cosαsinα－3sin2αsin2α＋cos2α＝2＋3tanα－3tan2α1＋tan2α，则2＋3tanα－3tan2α1＋tan2α＝1，即4tan2α－3tanα－1＝0.解得tanα＝－14或tanα＝1.∵α∈－3π2，－π，∴α为第二象限角，∴tanα0，∴tanα＝－14.(2)原式＝2sinαcosα－3cosαcosα4sinαcosα－9cosαcosα＝2tanα－34tanα－9＝－2×14－3－4×14－9＝720.3．“1”的代换在三角函数中，有时会含有常数1，常数1虽然非常简单，但有些三角函数式的化简却需要利用三角函数公式将1代换为三角函数式，常见的代换方法：1＝sin2α＋cos2α等．例5求证：1＋2sinαcosαcos2α－sin2α＝1＋tanα1－tanα.[证明]左边＝sin2α＋cos2α＋2sinαcosαcos2α－sin2α＝sinα＋cosα2cosα＋sinαcosα－sinα＝sinα＋cosαcosα－sinα＝tanα＋11－tanα＝右边．∴等式成立．例6已知tan2α＝2tan2β＋1，求证：sin2β＝2sin2α－1.[证明]∵tan2α＝2tan2β＋1，∴tan2α＋1＝2(tan2β＋1)．∴sin2α＋cos2αcos2α＝2·sin2β＋cos2βcos2β.∴1cos2α＝2cos2β.∴cos2β＝2cos2α.∴1－sin2β＝2(1－sin2α)．∴sin2β＝2sin2α－1.二、求三角函数值域与最值的常见类型求三角函数的值域或最值主要依据是利用三角函数的图象或三角函数的有界性，这就要求必须掌握好三角函数的图象和性质．1．形如y＝asinx＋b(a≠0)型的函数求解形如y＝asinx＋b(或y＝acosx＋b)的函数的最值或值域问题时，利用正、余弦函数的有界性(sinx，cosx∈[－1,1])求解，注意对a正、负的讨论．例7若y＝asinx＋b的最大值为3，最小值为1，求ab的值．[解]当a0时，a＋b＝3，－a＋b＝1，得a＝1，b＝2.当a0时，a＋b＝1，－a＋b＝3，得a＝－1，b＝2.∴ab＝2或ab＝－2.例8求函数y＝3－4cos2x＋π3，x∈－π3，π6的最大值、最小值及相应的x值．[解]∵x∈－π3，π6，∴2x＋π3∈－π3，2π3，从而－12≤cos2x＋π3≤1.∴当cos2x＋π3＝1即2x＋π3＝0，即x＝－π6时，ymin＝3－4＝－1，当cos2x＋π6＝－12即2x＋π3＝2π3，即x＝π6时，ymax＝3－4×－12＝5.2．形如y＝asin2x＋bsinx＋c(a≠0)型的函数求解形如y＝asin2x＋bsinx＋c(或y＝acos2x＋bcosx＋c)，x∈D的函数的值域或最值时，通过换元，令t＝sinx(或cosx)，将原函数转化为关于t的二次函数，利用配方法求值域或最值即可．求解过程中要注意t＝sinx(或cosx)的有界性．例9设a≥0，若y＝cos2x－asinx＋b的最大值为0，最小值为－4，试求a，b的值．[解]原函数变形为y＝－sinx＋a22＋1＋b＋a24.当0≤a≤2时，－a2∈[－1,0]，∴ymax＝1＋b＋a24＝0，①ymin＝－1＋a22＋1＋b＋a24＝－4.②由以上两式①②，得a＝2，b＝－2，舍a＝－6(与0≤a≤2矛盾)．当a2时，－a2∈(－∞，－1)，∴ymax＝－－1＋a22＋1＋b＋a24＝0.③ymin＝－1＋a22＋1＋b＋a24＝－4.由以上两式③④，得a＝2，不适合a2，∴应舍去．综上知，只有一组解a＝2，b＝－2.例10已知|x|≤π4，求函数y＝－sin2x＋sinx＋1的最小值．[解]令t＝sinx，因为|x|≤π4，所以－22≤sinx≤22，即t∈－22，22，则y＝－t2＋t＋1＝－t－122＋54，t∈－22，22.根据二次函数的性质可得当t＝－22，即x＝－π4时，y有最小值，为－－22－122＋54＝1－22.三、三角函数的图象三角函数的图象是研究三角函数性质的基础，又是三角函数性质的具体体现．在平时的考查中，主要体现在三角函数图象的变换和解析式的确定，以及通过对图象的描绘、观察来讨论函数的有关性质．例11函数f1(x)＝Asin(ωx＋φ)A0，ω0，|φ|π2的一段图象过点(0,1)，如图所示．(1)求函数f1(x)的表达式；(2)将函数y＝f1(x)的图象向右平移π4个单位，得函数y＝f2(x)的图象，求y＝f2(x)的最大值，并求出此时自变量x的集合．[解](1)由图知，T＝π，于是ω＝2πT＝2.将y＝Asin2x的图象向左平移π12，得y＝Asin2x＋π12＝Asin2x＋π6，∴φ＝π6.将(0,1)代入y＝Asin2x＋π6，得A＝2.故f1(x)＝2sin2x＋π6.(2)依题意，f2(x)＝2sin2x－π4＋π6＝－2cos2x＋π6.当2x＋π6＝2kπ＋π，即x＝kπ＋5π12(k∈Z)时，ymax＝2.∴此时x的值集合为x|x＝kπ＋5π12，k∈Z.四、三角函数的性质1．三角函数的性质，重点应掌握函数y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性，在此基础上，掌握函数y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)及y＝Atan(ωx＋φ)的相关性质．2．该热点是三角函数的重中之重，考查的形式也不唯一，主、客观题均有体现，在难度上较前三个热点有所增加，主观题以中档题为主，知识间的联系相对较大．例12已知函数f(x)＝logacos2x－π3(其中a0，且a≠1)．(1)求它的定义域；(2)求它的单调区间；(3)判断它的奇偶性；(4)判断它的周期性，如果是周期函数，求出它的周期．[解](1)由题意知cos2x－π30，∴2kπ－π22x－π32kπ＋π2(k∈Z)，即kπ－π12xkπ＋5π12(k∈Z)．故函数定义域为kπ－π12，kπ＋5π12(k∈Z)．(2)在定义域范围内求cos2x－π3的单调区间．函数u＝cos2x－π3在kπ－π12，kπ＋π6(k∈Z)上是增函数，在kπ＋π6，kπ＋5π12(k∈Z)上是减函数，∴当a1时，f(x)的单调增区间为kπ－π12，kπ＋π6(k∈Z)，单调减区间为kπ＋π6，kπ＋5π12(k∈Z)；当0a1时，f(x)的单调增区间为kπ＋π6，kπ＋5π12(k∈Z)，单调减区间为kπ－π12，kπ＋π6(k∈Z)．(3)∵f(x)的定义域不关于原点对称，∴函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．(4)f(x)是周期函数，∵f(x＋π)＝logacos2x＋π－π3＝logacos